王國(guó)燦

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

三階非線(xiàn)性微分方程的三點(diǎn)邊值問(wèn)題在常微分方程理論研究中有一定的積極意義，同時(shí)在工程物理學(xué)中有很多應(yīng)用[1-4]，但工作重點(diǎn)主要是分析特殊的非線(xiàn)性方程與線(xiàn)性邊值問(wèn)題，而且對(duì)于解的唯一性的研究并不多.本文利用上下解理論[5-8]，討論以下一般的三階非線(xiàn)性三點(diǎn)邊值問(wèn)題:

x?=f(t,x,x′,x″)

(1)

(2)

本文將在普通意義下研究問(wèn)題(1)與(2)的解的存在性、唯一性.

1 輔助引理

下面考慮一類(lèi)二階積分微分方程的非線(xiàn)性邊值問(wèn)題

u″=f(t,Tu,u,u′)

(3)

(4)

定義1 如果給定的函數(shù)β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，在[-1,1]上使得α(t)≤β(t)，β″(t)≤f(t,[Tβ](t),β(t),β′(t))，α″(t)≥f(t,[Tα](t),α(t),α′(t))，則稱(chēng)β(t)和α(t)為方程(3)的上解與下解.

引理1如果滿(mǎn)足下列條件：

(1)引理1中的(1)，(2)成立；

(2)g(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)對(duì)固定的ξ關(guān)于η單調(diào)不減；

(3)方程(3)有上解β(t)和下解α(t)，且

g(α(-1),α′(-1))≥0，

g(β(-1),β′(-1))≤0，

則邊值問(wèn)題(3)、(4)有解u(t)，使得α(t)≤u(t)≤β(t)，-1≤t≤1.

證明：利用迭代法構(gòu)造序列及一致有界同等連續(xù)原理，可得定理為真.

引理2如果滿(mǎn)足下列條件

則邊值問(wèn)題

(5)

ay′(-1)+by″(-1)=0,

y(0)=0,y′(1)=0

(6)

只有零解.

證明：利用反證法構(gòu)造與結(jié)論矛盾的結(jié)果，可知引理成立.

2 主要結(jié)果

下面將討論邊值問(wèn)題(1)、(2)解的存在性與唯一性.

定義2 如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，α′(t)≤β′(t)，β?(t)≤f(t,β(t),β′(t),β″(t))，α?(t)≥f(t,α(t),α′(t),α″(t))，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，

β(t)≤α(t)，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，α(t)≤β(t)，則稱(chēng)β(t)和α(t)為方程(1)的上下解.

如果函數(shù)f(t,x,x′,x″)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件之一，則稱(chēng)方程(1)具有三階Nagumo條件：

(a)對(duì)任何的正數(shù)N，存在正函數(shù)h=h(N)，使得(t,x,x′,x″)∈[0,1]×[-N,N]×R2成立時(shí)|f(t,x,x′,x″)|≤hΦr1(|x′|)Φr2(|x″|)，其中0≤r1≤1，r2>0，r1+r2≤3，且Φr(l)=max{1,lr},r>0，0≤l≤+∞；

(b)對(duì)任何的(t,x,x′)∈[0,1]×R2使得f(t,x,x′,x″)=O(|x″)|2)，|x″|→∞.

定理1如果下列條件滿(mǎn)足

(1)f(t,x,x′,x″)∈C([-1,1]×R3)，符合Nagumo要求，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不減；當(dāng)0≤t≤1時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不增；

(2)引理2中的(2)成立；

(3)方程(1)存在上下解β(t)和α(t)，且

則邊值問(wèn)題(1)，(2)存在解x(t)∈C3[-1,1]，不等式β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1成立.

(1)′

g(u(-1),u′(-1))=0,u(1)=B

(2)′

又由x(t)構(gòu)造得到

定理2如果下列條件滿(mǎn)足

(1)定理1中的(1)，(2)成立;

(2)存在函數(shù)β(t)∈C3[-1,1]，當(dāng)-1≤t≤1時(shí),0<β′(t),0<β″(t)，β?(t)≤fx″(t,x,x′,x″)β″(t)+fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，β(t)≤0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，0≤β(t)，β(0)=0；

(3)對(duì)任意ξ,η∈(-∞,+∞)，滿(mǎn)足gξ(ξ,η)β′(-1)+gη(ξ,η)β″(-1)<0；

則邊值問(wèn)題(1)、(2)有唯一解.

證明：利用反證法.如果邊值問(wèn)題(1)、(2)存在兩個(gè)相異的解x1(t)，x2(t)，記y(t)=x2(t)-x1(t)，則y(t)應(yīng)滿(mǎn)足下述邊值

由條件(1)知，a(t),b(t),c(t)于-1≤t≤1上連續(xù)，且c(t)≥0,-1≤t≤0，c(t)≤0,