蘇彩月,汪穎
(大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116021)
近年來,高階非線性拋物型方程的研究發(fā)展日益豐富,主要針對解的存在性、唯一性及解的爆破理論的研究.其中,非線性擴散方程更是一個研究的熱點問題,比如相變理論、滲透理論、生物化學(xué)等領(lǐng)域都有涉及,特別是退化和奇異的非線性拋物方程,它們在某方面更能反映實際物理意義,如擾動傳播的有限性、薄膜方程等.對于這類方程的系統(tǒng)論述Wu等[1]全面介紹了有關(guān)退化的非線性擴散方程的基本問題、典型方法以及主要結(jié)果等等.本文主要討論以下四階變指數(shù)退化拋物問題:
(1)
u=Δu=0,x∈?Ω,t>0
(2)
u(x,0)=u0(x),x∈Ω
(3)
Δ(Δup-2Δu)=λf(x,u)+μg(x,u),x∈Ω
u=Δu=0,x∈Ω
至少有三個弱解的存在性,但關(guān)于p-雙調(diào)和拋物型方程的文獻(xiàn)比較少.而本文所討論的方程類似于發(fā)展的p-Laplace方程,有關(guān)p-Laplace方程的相關(guān)性見文獻(xiàn)[3-4].此外,Carrillo和Toscani用熵泛函方法[5]研究了溶液的長時間行為.本文是在郭金勇等[6]研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究有關(guān)解的長時間行為和穩(wěn)定性.由于退化,問題(1)~(3)不再具有通常意義下的古典解,因此本文定義如下弱解.
定理1函數(shù)u(x,t)稱為問題(1)~(3)的弱解,若其滿足以下條件
(4)
(3)在L2(Ω)意義下,u(x,0)=u0(x).
定理2設(shè)u為滿足問題(1)~(3)的弱解(長時間行為),則有
證明 首先選擇φ=u作為式(4)的檢驗函數(shù),有
(5)
于是
(6)
接下來定義熵泛函
很容易得到
(7)
若λ>0,則有
通過求解常微分不等式f′(t)≤-C1f(t)可知
即結(jié)論(1)成立.
若λ=0,根據(jù)式(7)可知
由于f′≤0,f為遞減函數(shù),不妨設(shè)f(0)<1,利用嵌入定理可知
因此
即有
定理2證明完成.
則有
證明 由于u和v是問題(1)~(3)的兩個弱解,利用解的定義,可以得到
對固定的s∈[0,T],取φ=χ[0,s](u-v)作為上式的檢驗函數(shù),其中χ[0,s]是[0,s]上的特征函數(shù),則
利用事實不等式(|s|p(x)-2s-|t|p(x)-2t)(s-t)≥0,s,t∈R.
設(shè)λ≥0可知
即證.
本文主要研究了變指標(biāo)四階退化拋物方程問題,其存在性采用時間離散化技術(shù),通過構(gòu)造逼近解,結(jié)合能量估計獲得一致性估計,進(jìn)而得到存在性結(jié)果.在存在性基礎(chǔ)上,利用熵泛函方法,得到解基于熵的能量估計,給出解的長時間行為,進(jìn)而又獲得解的穩(wěn)定性.