鮑玲鑫

(福建農(nóng)林大學(xué)計算機與信息學(xué)院,福建福州 350002)

1 引言

輸出調(diào)節(jié)或伺服機制設(shè)計是控制理論的終極目標.輸出調(diào)節(jié)是設(shè)計一個輸出反饋控制以使閉環(huán)系統(tǒng)的性能輸出漸近跟蹤參考信號而不受外部干擾和初始狀態(tài)的影響,同時使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有子系統(tǒng)保持有界.上世紀70 年代,E.J.Davison[1],B.A.Francis與W.M.Wonham[2]對有限維系統(tǒng)發(fā)展了輸出調(diào)節(jié)的內(nèi)模原理.在過去近半個世紀中,大量的工作致力于將經(jīng)典的有限維系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)的內(nèi)模原理[1–6]推廣到非線性系統(tǒng)[7]以及無限維系統(tǒng)[8–15].一方面,雖然輸出調(diào)節(jié)的內(nèi)模原理允許參考信號和擾動由無窮維外系統(tǒng)生成,但內(nèi)模原理的干擾信號是幾乎已知的.而且,絕大多數(shù)無窮維系統(tǒng)的輸出跟蹤問題考慮的控制和觀測算子都是有界的.另一方面,在無窮維系統(tǒng)中,性能輸出跟蹤問題遠未得到充分解決.2016年,文獻[16]率先將無擾動的有限維線性系統(tǒng)[17]的性能輸出跟蹤問題推廣至具有未知的一般調(diào)和擾動的一維波動方程,其設(shè)計了自適應(yīng)跟蹤控制器使得參考信號和輸出之間的誤差漸近收斂于零.文獻[19–20]針對具有未知一般有界擾動的一維波動方程設(shè)計了指數(shù)跟蹤控制器得到文獻[16]的兩個改進的結(jié)果.最近,文獻[16]中關(guān)于波動方程指數(shù)穩(wěn)定性假設(shè)文獻[21–22]被去除,分別設(shè)計了伺服控制器使得控制輸出調(diào)節(jié)到零和控制輸出跟蹤上調(diào)和信號.不過文獻[21–22]的結(jié)果都被最近基于觀測器的偏微分系統(tǒng)的內(nèi)模原理[18]所覆蓋,且結(jié)果要深刻的多.關(guān)于一般有界干擾的輸出調(diào)節(jié)要困難的多.文獻[26–27]分別對一維熱方程和高維熱方程在一般有界干擾下的一般參考信號的性能輸出跟蹤問題有很大的進展,但控制和輸出的信號必須是同位的.

最近,文獻[28]中研究了Euler-Bernoulli梁方程的輸出跟蹤問題,且邊界帶有外部擾動,其控制方式是通過邊界彎矩控制.另外一方面,邊界剪切力控制是Euler-Bernoulli梁方程更容易實現(xiàn)的控制方式,如文獻[29]中關(guān)于穩(wěn)定性的討論.受以上文獻啟發(fā),本文考慮的是如下Euler-Bernoulli梁方程同時帶有外部擾動和內(nèi)部擾動通過剪切力控制的性能輸出跟蹤問題:

f:×L2(0,1)→R是一個未知的非線性函數(shù),f(y,yt)表示系統(tǒng)內(nèi)部不確定性.給定參考信號yref(t),e(t)表示跟蹤誤差,本文的目的是針對不確定系統(tǒng)(1)設(shè)計輸出反饋控制器u(t)使得:1)=0;2) 有界的干擾信號d(t)得到抑制;3)閉環(huán)系統(tǒng)的所有環(huán)節(jié)都是有界的;4)當d(t)=yref(t)=0時,閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)內(nèi)穩(wěn).

本文結(jié)構(gòu)如下,第2部分設(shè)計總擾動估計器來估計未知的外部干擾和內(nèi)部不確定,第3部分設(shè)計伺服系統(tǒng)用于跟蹤參考信號并給出反饋控制器設(shè)計,第4部分證明閉環(huán)系統(tǒng)的適定性與穩(wěn)定性,最后給出全文的總結(jié).

2 總擾動估計器設(shè)計

系統(tǒng)(1)的總擾動包括系統(tǒng)內(nèi)部非線性的不確定性和外部的干擾.本節(jié)的主要目的是基于觀測輸出ym(t)={yx(1,t),yt(1,t)},設(shè)計如下總擾動估計器系統(tǒng)用于估計總擾動“f(y,yt)+d(t)”:

其中c0是正的調(diào)節(jié)參數(shù).顯然系統(tǒng)(2)完全由測量yx(1,t),yt(1,t)和控制輸入u所確定,因此系統(tǒng)(2)完全可知.下面要證明

即未知的總擾動f(y,yt)+d(t)可以用估計器系統(tǒng)已知的量vxx(1,t)+qvxt(1,t)來近似.令

下面要證明算子A生成狀態(tài)空間H上指數(shù)穩(wěn)定的C0–半群.如此,則對任意初值(p(·,0),pt(·,0))∈D(A),系統(tǒng)(5)的解滿足|pxx(1,t)|≤Me?μt,其中M,μ>0.從而

這意味著式(3)有嚴格的依據(jù).下面證明A生成指數(shù)穩(wěn)定的C0–半群.為此,需要一些準備工作.

引理1設(shè)A如(7)所定義.則A?1是H上的緊算子,因此σ(A)=σp(A),即σ(A)只包含A的特征根.

證根據(jù)A的定義及邊界條件容易計算得到

根據(jù)Sobolev嵌入定理,A?1是H上的緊算子.

引 理2設(shè)A如(7)所定義.設(shè)λ=iτ20,則λ∈σp(A)當且僅當τ滿足如下特征方程:

并且λ對應(yīng)的特征函數(shù)是(?,λ?)T,其中

證不難驗證iτ2∈σ(A)當且僅當存在?(x)0滿足:

使得(?(x),iτ2?(x))T為對應(yīng)于iτ2的特征函數(shù).從而剩下只需要求解方程(8).首先,方程

具有如下形式解:

對于共軛的情形具有相同的結(jié)論.根據(jù)上面的討論以及定理1可知,A的廣義特征向量構(gòu)成狀態(tài)空間H的一個Riesz基. 證畢.

定理3設(shè)A如式(7)所定義.則A生成狀態(tài)空間H上一個指數(shù)穩(wěn)定的C0–半群.因此對任意初值(p(·,0),pt(·,t))T∈H,系統(tǒng)(5)存在唯一解并且是指數(shù)穩(wěn)定的.

證由定理2可知,A的廣義特征向量構(gòu)成狀態(tài)空間H的一個Riesz基,從而譜定增長條件成立.為了證明A生成狀態(tài)空間H上一個指數(shù)穩(wěn)定的C0–半群,只需證明Reλ<0對任意的λ ∈σ(A).事實上,

3 伺服系統(tǒng)

給定參考信號yref(t),設(shè)計如下伺服系統(tǒng):

根據(jù)第3個邊界條件可知,如果系統(tǒng)(34)能夠作為受控系統(tǒng)(1)的狀態(tài)的觀測器,則受控系統(tǒng)能夠跟蹤參考信號yref(t).因此,筆者希望通過系統(tǒng)(34)作為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)的觀測器來設(shè)計反饋控制器.

令z(x,t)=?y(x,t)?y(x,t),則有

此時原系統(tǒng)的性能輸出跟蹤誤差可表示為

設(shè)計輸出反饋控制器如下:

系統(tǒng)(36)代入控制器(35)得到閉環(huán)系統(tǒng)

定理5設(shè)pxx(1,t)由系統(tǒng)(5)生成,則對任意初值(z(·,0),zt(·,t))T∈H,系統(tǒng)(37)是指數(shù)穩(wěn)定的.

證聯(lián)立系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(37),并令α(x,t)=p(x,t)?z(x,t).則

系統(tǒng)(35)可以寫成如下發(fā)展方程:

根據(jù)文獻[23],系統(tǒng)(37)指數(shù)穩(wěn)定.由上一節(jié)的討論可知,z(x,t)=p(x,t)?α(x,t)也是指數(shù)穩(wěn)定的.

證畢.

為說明伺服系統(tǒng)(34)的適定性,回顧一個簡單引理[25].

4 閉環(huán)系統(tǒng)

對于參考信號yref(t),系統(tǒng)(1)在輸出反饋控制(36)下的閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成

2) 存在常數(shù)M,μ>0使得

5 結(jié)論

本文通過邊界剪切力控制討論了Euler-Bernoulli梁帶有控制非同位的邊界干擾輸出跟蹤問題.利用自抗擾方法設(shè)計了總擾動估計器在線估計未知總擾動(內(nèi)部擾動和外部擾動之和),然后利用估計出來的總擾動設(shè)計伺服系統(tǒng),其作用是在線模擬實際受控系統(tǒng).最后根據(jù)伺服系統(tǒng),給出控制輸出跟蹤的反饋控制,同時分析了跟蹤誤差與閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性.