趙志學(xué),郭寶珠,韓忠杰

(1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387;2.華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 102206;3.天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,天津 300354)

1 引言

對于物理學(xué)、化學(xué)以及生物學(xué)中的諸多問題,為了對它們進(jìn)行定性、定量研究,就要建立各種數(shù)學(xué)模型,其中大量的數(shù)學(xué)模型都可以歸結(jié)為反應(yīng)擴(kuò)散方程.實(shí)際上,工業(yè)中的許多控制都是控制溫度.此外,外來物種的入侵以及大氣、地下水污染等問題也都是典型的反應(yīng)擴(kuò)散問題[1–2],對此都可以通過建立相應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散模型來研究.

反應(yīng)擴(kuò)散方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ωt=?ω+f(ω),方程右端表示兩個(gè)物理過程的結(jié)合,其中第1項(xiàng)為擴(kuò)散項(xiàng),第2 項(xiàng)為反應(yīng)項(xiàng).對于這類方程的正演問題,相關(guān)研究成果很多,并且在化學(xué)化工、熱流模型以及種群動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.然而,對于從實(shí)際問題中建立起的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)控制方程中的參數(shù)通常是未知的,源項(xiàng)以及初始值也可能難以直接測量.因此,如何借助于一些易于測量的數(shù)據(jù),通過設(shè)計(jì)算法或發(fā)展相關(guān)技術(shù)對這些未知量進(jìn)行識(shí)別和確定,成為一類具有重要研究意義的課題.

當(dāng)反應(yīng)項(xiàng)為ω的線性函數(shù)時(shí),反應(yīng)擴(kuò)散方程可用如下拋物型方程來描述:

其中:q(x)稱為反應(yīng)項(xiàng)系數(shù),b(x,t)為源項(xiàng).已有的反問題研究中大多處理的是單一的反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)或源項(xiàng)辨識(shí)問題.例如,當(dāng)系統(tǒng)源項(xiàng)b(x,t)=0時(shí),Avdonin等人應(yīng)用邊界控制方法研究了基于邊界控制、邊界觀測的反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)辨識(shí)問題[3];Boumenir等人通過傅里葉分析方法證明了反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可以由邊界觀測唯一確定[4].當(dāng)反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)q(x)=0時(shí),相應(yīng)的反問題實(shí)際上成為熱傳導(dǎo)方程的源項(xiàng)反演問題,相關(guān)的研究成果也非常豐富,大部分文獻(xiàn)中要么假定源項(xiàng)僅依賴于空間變量[5]或時(shí)間變量[6],要么假定源項(xiàng)滿足時(shí)空分離性b(x,t)=h(t)f(x)[7–8],而一般情形時(shí)的源項(xiàng)b(x,t)辨識(shí)研究結(jié)果相對較少[9].此外,一些學(xué)者也對系數(shù)和源項(xiàng)的聯(lián)合反演進(jìn)行了研究,其中辨識(shí)所需觀測數(shù)據(jù)主要分為3類:邊界觀測ω(x0,t)(x0∈??),固定時(shí)刻觀測ω(x,T)(T >0),以及時(shí)間積分觀測ω(x,t)dt,其中μ(t)為權(quán)函數(shù).例如,文獻(xiàn)[10]分別在固定時(shí)刻觀測和邊界觀測情形研究了反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)辨識(shí)問題,但其要求系統(tǒng)初值取遍狀態(tài)空間一組標(biāo)準(zhǔn)正交基中的所有元素,這在實(shí)際中是不現(xiàn)實(shí)的;文獻(xiàn)[11]研究了根據(jù)3個(gè)不同時(shí)刻的溫度測量同時(shí)辨識(shí)系統(tǒng)的反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)、初值及源項(xiàng);文獻(xiàn)[12]研究了基于兩個(gè)不同權(quán)函數(shù)時(shí)間積分觀測的系數(shù)和源項(xiàng)同時(shí)反演問題,并給出了數(shù)值辨識(shí)算法.

從實(shí)際工程應(yīng)用的角度看,很多情況下邊界觀測更易實(shí)現(xiàn).例如,系統(tǒng)(1)可以用來描述化學(xué)反應(yīng)堆中的溫度分布,考慮到控制器和傳感器可能無法承受反應(yīng)堆內(nèi)部的極端溫度和惡劣環(huán)境,人們自然希望借助于邊界上能夠測量到的溫度、熱流等信息來識(shí)別系數(shù)及源項(xiàng),進(jìn)而對反應(yīng)堆內(nèi)部情況進(jìn)行識(shí)別和監(jiān)測.再比如,在水文地質(zhì)研究領(lǐng)域,也面臨著如何通過抽水井(點(diǎn)控制)、觀測井(點(diǎn)測量)中的水位、污染物濃度等信息來識(shí)別地下含水層參數(shù)或者污染源位置、污染強(qiáng)度等問題.

出于以上考慮,本文主要研究基于邊界控制、邊界觀測的一維反應(yīng)擴(kuò)散方程反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)反演問題:

其中q(x)表示未知的反應(yīng)項(xiàng)系數(shù),并且假定它屬于如下參數(shù)集合:

b ∈L2(0,1)表示未知源項(xiàng),假定它僅依賴于空間變量.u(t)表示Neumann邊界控制,yout(t)是邊界觀測.本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)邊界控制(0,∞),進(jìn)而通過有限時(shí)間邊界觀測yout(t),t ∈(0,T]同時(shí)識(shí)別q(x)和b(x).

本文的創(chuàng)新性主要體現(xiàn)在:1)辨識(shí)所需數(shù)據(jù)僅為邊界控制、邊界觀測,而不需要對系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行分布測量,這比固定時(shí)刻觀測、時(shí)間積分觀測在工程中更易實(shí)現(xiàn);2)通過設(shè)計(jì)邊界切換開關(guān)控制并估計(jì)譜數(shù)據(jù),將反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)反演問題分解為單一的系數(shù)辨識(shí)問題和單一的源項(xiàng)反演問題,從而可參考借鑒一些現(xiàn)有辨識(shí)算法,極大地簡化了多未知量的聯(lián)合反演問題.特別的,本文中提出的通過設(shè)計(jì)邊界控制進(jìn)而將多個(gè)未知量的聯(lián)合反演問題分解為單個(gè)未知量逐一辨識(shí)的方法具有一般性,可將其推廣應(yīng)用于其它一些多未知量同時(shí)辨識(shí)問題.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要給出相應(yīng)正問題的一些預(yù)備知識(shí).引入狀態(tài)空間H=L2(0,1),定義算子A:D(A)(?H)→H如下:

顯然,A是正定自伴算子,其本征值λn滿足如下漸近表達(dá)式[13]:

相應(yīng)的本征向量φn(x)構(gòu)成狀態(tài)空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交基,并且

也是t的連續(xù)函數(shù).從而,當(dāng)u(·)∈L∞(0,∞)時(shí)邊界觀測yout(t)在t>0時(shí)連續(xù). 證畢.

3 可辨識(shí)性

可辨識(shí)性是反問題中的一個(gè)基本問題,也是辨識(shí)算法設(shè)計(jì)的前提.粗略地講,如果觀測數(shù)據(jù)中包含充分多的信息能夠用來唯一確定待辨識(shí)的未知量,則稱未知量是可辨識(shí)的.為了給出反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)可辨識(shí)性定義,受文獻(xiàn)[16]啟發(fā),引入如下參考模型定:

這等價(jià)于將系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)反演問題轉(zhuǎn)化為單一的系數(shù)反演問題,從而原問題得到極大的簡化.基于以上分析,設(shè)計(jì)切換開關(guān)控制如下:

其中T2為小于T的任一正數(shù).當(dāng)t ∈(0,T2)時(shí),觀測數(shù)據(jù)yout(t)=ω(0,t;0,b)可唯一確定{(γn,λn)|γn0}n∈N,進(jìn)而唯一確定ω(0,t;0,b),t ∈(0,∞);當(dāng)t ∈[T2,T]時(shí),“輸入–輸出”映射M:u(t)(0,t;u,0)可唯一確定反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)q(x),其中ω(0,t;u,0)由式(14)確定.系數(shù)可辨識(shí)性得到后,剩下的僅是單一的源項(xiàng)反演問題.這就是整個(gè)可辨識(shí)性分析的基本思路.

下面,本文將沿著這一思路來證明系數(shù)和源項(xiàng)的同時(shí)可辨識(shí)性.具體的,設(shè)T >T2>T1>0是3個(gè)任意正數(shù),當(dāng)t ∈[T1,T2)時(shí),根據(jù)式(12)

4 辨識(shí)算法

從定理2的可辨識(shí)性證明過程可以看出,設(shè)計(jì)辨識(shí)算法的關(guān)鍵在于如何從有限時(shí)間觀測

中提取譜數(shù)據(jù).一旦得到了譜數(shù)據(jù){(γk,λk)}k∈K,就可以將邊界觀測中由未知源項(xiàng)決定的部分ω(0,t;0,b)從邊界觀測ω(0,t;u,b)中消掉,從而將原有的系數(shù)和源項(xiàng)同時(shí)反演問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)ω(0,t;u,0)辨識(shí)系數(shù)q(x)這樣一個(gè)單一的參數(shù)辨識(shí)問題,辨識(shí)出系數(shù)q(x)后,剩下的僅是一個(gè)單一的源項(xiàng)反演問題,這樣就極大地簡化了原來的系數(shù)、源項(xiàng)同時(shí)反演問題.基于上述分析,整個(gè)辨識(shí)過程由以下3部分構(gòu)成.

4.1 估計(jì)譜數(shù)據(jù)

令邊界控制u(t)=0,t ∈[0,T2),此時(shí),相應(yīng)的邊界觀測

4.2 重構(gòu)反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)

當(dāng)t ∈(T2,T)時(shí),令u(·)∈L∞(T2,T)且?guī)缀跆幪幏橇?將邊界觀測中依賴于未知源項(xiàng)的部分ω(0,t;0,b)從yout(t)中消掉

從而,可將系數(shù)與源項(xiàng)的同時(shí)反演問題(2)轉(zhuǎn)化為單一的系數(shù)反演問題.具體的,構(gòu)造如下輔助系統(tǒng):

則原來的系數(shù)、源項(xiàng)同時(shí)反演問題(2)轉(zhuǎn)化為:根據(jù)邊界控制u(t),t ∈[T2,T]以及近似“邊界觀測”{(t),t∈[T2,T]},重構(gòu)未知系數(shù)q(x).對于這樣的單一反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)辨識(shí)問題,現(xiàn)有文獻(xiàn)中有多種方法可供借鑒[3,20].

本文將借助于最優(yōu)擾動(dòng)正則化算法(見文獻(xiàn)[20,第6章])來重構(gòu)未知反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)q(x).設(shè){Pj(x),j=1,2,···,∞}表 示q(x)所在空間的一組基,q(x)滿足如下近似展開式:

這樣,就完成了一次迭代.繼續(xù)這一迭代過程直至滿足一定精度要求,迭代終止,從而得到最優(yōu)參數(shù)向量這就是通過最優(yōu)擾動(dòng)正則化算法重構(gòu)式(33)中未知系數(shù)q(x)的基本過程.

4.3 重構(gòu)源項(xiàng)

在辨識(shí)得到反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)后,剩下的相當(dāng)于單一的源項(xiàng)反演問題.下面根據(jù)邊界觀測yout(t),t ∈[T1,T2)來辨識(shí)源項(xiàng)b(x).當(dāng)t ∈[T1,T2)時(shí),系統(tǒng)(2)可寫為

其中qre(x)為反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)q(x)的估計(jì)值.同樣的,對于該源項(xiàng)反演問題,已有文獻(xiàn)中也有多種方法來處理[20,22].此處,本文仍采用最優(yōu)擾動(dòng)正則化算法通過求解如下優(yōu)化問題來估計(jì)源項(xiàng):

算法的具體過程和第4.2節(jié)完全類似,故省略細(xì)節(jié).

5 數(shù)值仿真

假設(shè)系統(tǒng)反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)為

選取參數(shù)T1=0.1,T2=0.5,T3=1,邊界切換開關(guān)控制

利用有限差分方法對系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值求解,可得yout(t)=ω(0,t;u,b).下面將{yout(t),0.1 ≤t≤1}作為觀測數(shù)據(jù),應(yīng)用第4節(jié)中的辨識(shí)算法來反演系數(shù)q(x)和源項(xiàng)b(x).

本算例中,選取勒讓德正交多項(xiàng)式的前五項(xiàng)作為基函數(shù),即

在這樣選定的多項(xiàng)式空間Ψ5=span{P0,P1,···,P4}中,反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)和源項(xiàng)有如下近似展開式:

圖1 反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)q(x)Fig.1 The reaction coefficient q(x)

圖2 源項(xiàng)b(x)Fig.2 The source term b(x)

可以看出,通過辨識(shí)算法重構(gòu)得到的系數(shù)與真實(shí)值比較吻合,源項(xiàng)反演結(jié)果與真實(shí)值之間存在一定誤差,但整體仍在可接受范圍內(nèi),這就驗(yàn)證了辨識(shí)算法的有效性.關(guān)于源項(xiàng)反演誤差,首先,在最優(yōu)擾動(dòng)正則化算法中,本文選取勒讓德正交多項(xiàng)式作為基函數(shù),用多項(xiàng)式近似非多項(xiàng)式源項(xiàng),本身就會(huì)有一定誤差.其次,在源項(xiàng)反演過程中,觀測數(shù)據(jù)和系統(tǒng)模型也都不是完全精確的:一方面,數(shù)值模擬中的觀測數(shù)據(jù)yout(t)來自于有限差分得到的數(shù)值解,yout(t)本身就帶有一定的誤差;另一方面,在重構(gòu)系統(tǒng)源項(xiàng)b(x)時(shí),將已經(jīng)反演出的qre(x)作為了真實(shí)的反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)(見第4.3節(jié)),這同樣會(huì)引入一定的誤差.