張 瓊

(北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院復(fù)雜信息數(shù)學(xué)表征分析與應(yīng)用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

1 引言

因此系統(tǒng)(1)的能量函數(shù)(2)是關(guān)于時(shí)間t的非增函數(shù).本文將進(jìn)一步研究當(dāng)時(shí)間充分大時(shí),系統(tǒng)(1)的能量的衰減性質(zhì).

圖1 板–熱傳輸系統(tǒng)Fig.1 Plate-heat interaction system

耦合系統(tǒng)在工程控制中起著非常重要的作用,關(guān)于耦合系統(tǒng)的控制問題的研究也日益豐富.許多工程控制上的模型都由耦合無限維系統(tǒng)描述,譬如聲學(xué)小室模型、層壓材料模型、熱彈性系統(tǒng)、粘彈性系統(tǒng)、流體–結(jié)構(gòu)交互模型、常微分–偏微分方程耦合系統(tǒng)等(見文獻(xiàn)[2–11]).傳輸系統(tǒng)是由若干居于不同區(qū)域上的偏微分方程通過邊界條件聯(lián)結(jié)構(gòu)成的耦合系統(tǒng),譬如流體–彈性傳輸系統(tǒng)可描述潛艇表面與水的交互作用[12–13].在基于耦合偏微分系統(tǒng)的控制問題中,控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定問題一直是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.在考慮耦合系統(tǒng)的控制問題時(shí),一般會(huì)力求施加最少的控制器達(dá)到控制目的.因此,傳輸系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析與各個(gè)偏微分子系統(tǒng)的性質(zhì),傳輸邊界條件的設(shè)定,控制器的位置和類型等諸多因素相關(guān).文獻(xiàn)[12–23]等分別考慮了波–板傳輸系統(tǒng)、熱–波傳輸系統(tǒng)、波–粘彈性波傳輸系統(tǒng)等的穩(wěn)定和控制問題.

眾所周知,依據(jù)能量衰減的速率,無限維系統(tǒng)的穩(wěn)定性可分為指數(shù)穩(wěn)定、多項(xiàng)式穩(wěn)定、對(duì)數(shù)穩(wěn)定等.1992年,文獻(xiàn)[24]提出區(qū)域的幾何控制條件(geometric control condition,GCC),并指出:當(dāng)控制區(qū)域滿足GCC條件時(shí),具有局部粘性阻尼的波方程是指數(shù)穩(wěn)定的.最近,文獻(xiàn)[1,15,23]等分析了受控區(qū)域滿足一定幾何條件時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì).其中文獻(xiàn)[1]主要討論一維和二維板–熱傳輸系統(tǒng)(1),該文首先分析了相應(yīng)于式(1)的一維系統(tǒng)的Riesz基性質(zhì),并得到一維板–熱系統(tǒng)的解呈指數(shù)衰減,并且具有Gevrey型正則性質(zhì).該文也研究了二維傳輸系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性,但是需要兩個(gè)條件:1)在板方程邊界上施加一個(gè)控制;2)區(qū)域?,?1,?2滿足合適的幾何條件.因此,一個(gè)自然的問題是:板方程上的控制器是否為必要的??2上的熱方程的耗散作用是否足以使得二維系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定? 本文將就這一問題展開研究,即討論保守板方程和熱方程構(gòu)成的耦合系統(tǒng)(1)的長(zhǎng)時(shí)行為,證明其能量的指數(shù)衰減性質(zhì).此外,還研究其它傳輸邊界條件下的板–熱傳輸系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性,從而進(jìn)一步完善了高維板–熱傳輸系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論.本文的主要工具包括算子半群指數(shù)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)、橢圓方程的正則性理論、Sobolev空間理論等.

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)主要研究系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性;第3節(jié)分析具有其它傳輸邊界條件的板–熱傳輸系統(tǒng),并提出一些未解決的問題.

2 傳輸系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

首先,定義以下Hilbert空間及其范數(shù),并以此作為系統(tǒng)的能量空間.

這與Zn是單位向量的假設(shè)矛盾,從而完成定理的證明.

首先,若序列λn和單位向量序列Zn滿足式(7),以下引理成立,該結(jié)論的證明將在本節(jié)末給出.

注2在板–熱傳輸系統(tǒng)(1)中,控制為子區(qū)域?2上的熱方程.容易驗(yàn)證,滿足定理1中的假設(shè)的區(qū)域?,?1,?2也滿足幾何控制條件[24].因此,定理1中的假設(shè)是合理的.從以上結(jié)論可得到,控制器的類型和控制區(qū)域的幾何性質(zhì)均可影響傳輸系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì).

3 不同傳輸條件下的系統(tǒng)

在上一節(jié)中,給出傳輸系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì).本節(jié)將研究當(dāng)交界面γ上的耦合條件不同時(shí),板–熱傳輸系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì).具體地,將考慮以下偏微分方程模型:

其中二維區(qū)域?及其子區(qū)域?1,?2均滿足第1節(jié)的相關(guān)假設(shè).該系統(tǒng)的能量函數(shù)為

首先,定義能量空間,將式(42)寫為一階發(fā)展方程,進(jìn)而考慮系統(tǒng)(42)的穩(wěn)定性.

此外,應(yīng)用與定理1的證明中同樣的方法,可以證明式(24)成立.最后,結(jié)合式(24)(49)(55),再次得到式(18). 證畢.

注3在定理1和2中,考慮了兩類傳輸邊界條件下板–熱傳輸系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.由交界面γ上不同的耦合條件可得不同的傳輸系統(tǒng),譬如

等.由于乘子等式(19)中的高階邊界項(xiàng)無法估計(jì),具有式(56)或式(57)等傳輸條件的板–熱耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)還有待繼續(xù)探索.

注4本文證明了傳輸系統(tǒng)(1)和(42)的指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì),這類高維傳輸系統(tǒng)的解的正則性問題亟待解決,將在今后的工作中繼續(xù)研究.