劉新宇，舒立鵬，林智偉，吳 曄，朱柏飛，唐 旭

(西北機(jī)電工程研究所， 陜西 咸陽(yáng) 712099)

1 引言

C-RAM(counter-rocket artillery mortar)是一種使用我方防空火力主動(dòng)攔截來(lái)襲的火箭彈、榴彈和迫擊炮彈，以達(dá)到防御敵方地面曲射火力打擊的主動(dòng)防護(hù)系統(tǒng)[1]。高炮C-RAM火控系統(tǒng)的任務(wù)是根據(jù)雷達(dá)對(duì)來(lái)襲RAM目標(biāo)的跟蹤數(shù)據(jù)估計(jì)出其實(shí)時(shí)位置、速度并辨識(shí)其彈道系數(shù)，根據(jù)以上信息通過(guò)解命中計(jì)算得出目標(biāo)的未來(lái)命中點(diǎn)并射擊，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)RAM目標(biāo)的攔截。但在火控處理時(shí)，由于RAM目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式的非線性性[2]，傳統(tǒng)的高炮解命中方法因假定模型以及計(jì)算方式的問(wèn)題無(wú)法得到正確的解命中結(jié)果。由此需要設(shè)計(jì)一種基于RAM目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程假定，通過(guò)積分方法計(jì)算未來(lái)點(diǎn)的高炮C-RAM解命中方法，以實(shí)現(xiàn)高炮C-RAM作戰(zhàn)的需要。

2 RAM目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性

由于在實(shí)際進(jìn)行C-RAM作戰(zhàn)時(shí)目標(biāo)彈丸轉(zhuǎn)速、攻角、彈翼升力等狀態(tài)無(wú)法測(cè)得，這些狀態(tài)對(duì)于彈丸運(yùn)動(dòng)軌跡在短時(shí)間內(nèi)的影響較小，在進(jìn)行短時(shí)間的外彈道外推時(shí)相對(duì)于彈道系數(shù)估計(jì)誤差造成的未來(lái)點(diǎn)偏移其影響基本可以忽略不計(jì)，故本文采用彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型作為外推RAM目標(biāo)外彈道軌跡的公式，將除去空氣阻力與重力外的其他力對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)的影響看作是彈道系數(shù)誤差所造成的影響的一部分或是將其忽略。基于C-RAM作戰(zhàn)時(shí)一般在RAM目標(biāo)的外彈道末端進(jìn)行攔截，此時(shí)目標(biāo)速度通常處于亞音速狀態(tài)，彈道系數(shù)值的變化幅度較小，故可以將彈道系數(shù)視為常值進(jìn)行處理，并假設(shè)氣象條件是標(biāo)準(zhǔn)的，無(wú)風(fēng)雨干擾。彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型示意圖如圖1。

圖1 彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型示意圖

彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組如式(1)所示:

(1)

式中:x、y、z、vx、vy、vz分別為彈丸的位置坐標(biāo)與速度分量;c為彈道系數(shù)；g為重力加速度；cs為聲速；H(z)為空氣密度特征函數(shù)；G(v,cs)為空氣阻力函數(shù)[5-7]。

3 RAM類目標(biāo)火控解命中方法

3.1 龍格庫(kù)塔默森法

(2)

其中：

(3)

誤差估計(jì)值計(jì)算公式如式(4)所示：

(4)

此誤差估計(jì)值的精度為3階，而此方法的積分精度為4階，對(duì)于大部分使用情況已經(jīng)能夠滿足精度要求。

3.2 命中方程求解方法

(5)

(6)

以上命中點(diǎn)積分方法使得在進(jìn)行彈道外推時(shí)預(yù)測(cè)命中點(diǎn)不會(huì)超過(guò)實(shí)際命中點(diǎn)過(guò)多，從而最大程度上的減少積分次數(shù)。

3) 命中點(diǎn)水平距離和高度求解:

(7)

(8)

4) 彈丸飛行時(shí)間求解:

(9)

圖2 結(jié)合龍格庫(kù)塔積分方法的迭代法收斂曲線

3.3 固定步長(zhǎng)龍格庫(kù)塔默森法下積分誤差估計(jì)值及諸元解算誤差的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)

總結(jié)出以下結(jié)論：

1) 解命中誤差與積分步長(zhǎng)成正比；

2) 對(duì)于擁有同一初速度、速度方向、高度、彈道系數(shù)但高炮與彈丸軌跡水平投影斜距不同的彈道，解算誤差除以彈丸飛行時(shí)間的值與積分步長(zhǎng)為線性關(guān)系，且斜率相對(duì)一致；

3) 不同斜距的外彈道軌跡下，x軸與y軸位置坐標(biāo)估計(jì)誤差與積分步長(zhǎng)的3次方的比值與積分步長(zhǎng)為斜率相對(duì)一致的線性關(guān)系；

4) 不同斜距的外彈道軌跡下，z軸位置坐標(biāo)估計(jì)誤差與積分步長(zhǎng)的2次方的比值與積分步長(zhǎng)為斜率相對(duì)一致的線性關(guān)系；

5) 同一條彈道在進(jìn)行誤差估計(jì)時(shí)在在積分步長(zhǎng)一致的情況下估計(jì)誤差的變化較小。

各項(xiàng)結(jié)論所總結(jié)的關(guān)系如圖3—圖6所示。

圖3 x軸解算誤差與彈飛時(shí)間的比值曲線

圖4 x軸估計(jì)誤差與步長(zhǎng)3次方的比值曲線

圖5 z軸估計(jì)誤差除以步長(zhǎng)2次方值的曲線

圖6 同一彈道在定步長(zhǎng)下不同次積分的估計(jì)誤差變化

對(duì)不同彈道進(jìn)行仿真后確認(rèn)了以上統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)具有廣泛性，故可以將實(shí)際誤差、誤差估計(jì)值、積分步長(zhǎng)之間的關(guān)系總結(jié)為如式(10)所示的公式。

(10)

式(10)中：Cx、Cy、Cz為各軸的誤差換算比值常數(shù)；Ex、Ey、Ez為各軸位置估計(jì)誤差；ht為積分步長(zhǎng)；Ex_ture、Ey_ture、Ez_ture為實(shí)際位置解算誤差；tf為彈丸飛行時(shí)間。

在對(duì)多種彈丸的彈道進(jìn)行大量仿真驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，在不同彈道系數(shù)及彈丸速度下，誤差換算比值常數(shù)Cx、Cy、Cz是不同的。對(duì)一飛行軌跡起點(diǎn)固定的彈丸進(jìn)行定步長(zhǎng)解命中仿真，設(shè)定彈道系數(shù)為0.5，改變每次計(jì)算時(shí)x軸的初始速度，x軸誤差換算比值常數(shù)隨積分步長(zhǎng)與x軸速度變化曲面如圖7。積分步長(zhǎng)為0.05 s時(shí)，x軸誤差換算比值常數(shù)在不同彈道系數(shù)下隨x軸速度變化的曲面如圖8。

圖7 不同速度、積分步長(zhǎng)下的誤差換算比值常數(shù)變化曲面

圖8 不同速度、彈道系數(shù)下的誤差換算比值常數(shù)變化曲面Fig.8 Variation curve of error conversion ratio constant under different speeds and ballistic coefficient

從圖7、圖8的結(jié)果中可以看出該比值常數(shù)在不同速度以及彈道系數(shù)下是不同的，變化規(guī)律也呈非線性，但不隨積分步長(zhǎng)變化。在使用式(10)估計(jì)實(shí)際解算誤差時(shí)，比值常數(shù)的取值將決定估計(jì)出的實(shí)際解算誤差準(zhǔn)確與否。

對(duì)于比值常數(shù)的取值問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)的解決方式有3種：

1) 通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)來(lái)制作對(duì)應(yīng)不同彈道系數(shù)、速度的比值常數(shù)表，在計(jì)算時(shí)根據(jù)目標(biāo)的彈道系數(shù)以及速度從表中取值；

2) 將比值變化曲線近似線性化，在計(jì)算時(shí)根據(jù)近似函數(shù)得出比值用于計(jì)算；

3) 取一固定值，保證大部分高概率情況的解算效果，犧牲小部分低概率情況的解算精度和速度。

(11)

其中：

(12)

其誤差估計(jì)值計(jì)算公式如式(13)所示：

(13)

夏普法中K5正好是下一次積分計(jì)算時(shí)的K1，因此只需要在第一步多算一次K1，之后每步積分只需要計(jì)算4次右端函數(shù)。其誤差換算公式如式(14)所示，形式與默森法基本相同，但積分步長(zhǎng)次方值不同。

(14)

根據(jù)式(14)計(jì)算出的夏普法誤差換算比值常數(shù)變化曲面如圖9、圖10?？梢钥闯鱿啾扔谀ǖ谋戎党?shù)變化曲線，夏普法的比值常數(shù)在速度和彈道系數(shù)較大時(shí)，同一速度、彈道系數(shù)下其不同積分步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)比值常數(shù)變化較大。故在速度和彈道系數(shù)較大的情況下，若要進(jìn)行最優(yōu)步長(zhǎng)控制，夏普法的步長(zhǎng)控制難度要大于默森法，故相比于默森法，夏普法并不適用于C-RAM的解命中計(jì)算。

圖9 彈道系數(shù)=0.2，不同速度、積分步長(zhǎng)下夏普法的誤差換算比值常數(shù)變化曲面

圖10 彈道系數(shù)=0.5，不同速度、積分步長(zhǎng)下夏普法的誤差換算比值常數(shù)變化曲面

3.4 基于最優(yōu)步長(zhǎng)控制策略的龍格庫(kù)塔默森法

具體的最優(yōu)步長(zhǎng)控制策略為：

① 首先以一較為合適的固定步長(zhǎng)hm進(jìn)行第一次解命中，求得彈丸飛行時(shí)間tf。

② 給定誤差限制ε0，以固定步長(zhǎng)hm作為第一次積分步長(zhǎng)，以上一次解命中的彈飛時(shí)間tf作為本次解算參考彈飛時(shí)間，求若以本次積分步長(zhǎng)進(jìn)行解命中時(shí)各軸諸元解算的誤差值εx、εy、εz，公式為式(15)所示。

(15)

若εx≤ε0且εy≤ε0且εz≤ε0，則本次積分成功，通過(guò)式(16)確定下一步步長(zhǎng)hm+1。

(16)

若εx>ε0或εy>ε0或εz>ε0，則本次積分誤差過(guò)大，同樣通過(guò)式(16)求出一個(gè)積分步長(zhǎng)hm+1。為了盡量不重復(fù)進(jìn)行積分運(yùn)算，減小計(jì)算時(shí)間，在一次諸元解算中除第一次積分外均無(wú)需重新積分。在同一次解算中同一積分步長(zhǎng)造成的誤差相差不大，除第一次積分外若出現(xiàn)計(jì)算誤差值大于誤差限制值的情況，只需要減小下一次積分步長(zhǎng)保證下一次積分的精度即可。若對(duì)解算精度的要求較高，則只需要將誤差限制值設(shè)置的比理想誤差值稍小就能控制每步積分的誤差在范圍內(nèi)。

③設(shè)置最小步長(zhǎng)hmin，一旦積分步長(zhǎng)小于此步長(zhǎng)值則不再適用步長(zhǎng)控制，此舉是為了避免計(jì)算機(jī)在步長(zhǎng)過(guò)小時(shí)由于舍入誤差造成數(shù)值偏差比過(guò)大，從而計(jì)算出一個(gè)過(guò)大的誤差值，引起步長(zhǎng)振蕩導(dǎo)致解算失敗。

4 實(shí)例仿真

為驗(yàn)證基于統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)步長(zhǎng)控制策略是否能夠有效控制積分步長(zhǎng)使解命中誤差保持在可接受范圍，對(duì)某2個(gè)RAM目標(biāo)進(jìn)行解命中計(jì)算，假設(shè)目標(biāo)一被探測(cè)到時(shí)的彈道起點(diǎn)為x=500 m、y=1 000 m、z=1 000 m,高炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，彈丸速度向量為x軸方向-250 m/s、y軸方向-250 m/s、z軸方向-90 m/s，彈道系數(shù)為0.2。

目標(biāo)二被探測(cè)到時(shí)的彈道起點(diǎn)為x=500 m、y=1 000 m、z=1 500 m,高炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，彈丸速度向量為x軸方向-200 m/s、y軸方向-150 m/s、z軸方向-150 m/s，彈道系數(shù)為0.3。

假設(shè)解命中過(guò)程中所得到的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及彈道系數(shù)均為理想值，每次諸元解算間隔為0.01 s，共解算600次?；谧儾介L(zhǎng)默森法的解命中法為方法一，基于變步長(zhǎng)夏普法的解命中法為方法2，文獻(xiàn)[2]中的定步長(zhǎng)解命中法為方法3，變步長(zhǎng)法設(shè)置誤差限制為各軸位置誤差小于0.1 m，方法1比值常數(shù)取值為Cx=Cy=14 000、Cz=110；方法2比值常數(shù)取值為Cx=Cy=2 200、Cz=20；定步長(zhǎng)法設(shè)置積分步長(zhǎng)為0.05 s。

分別使用3種解命中方法對(duì)目標(biāo)一及目標(biāo)二進(jìn)行仿真。諸元解算后進(jìn)行逆解得到的解算誤差如圖11—圖13所示。

圖11 x軸位置解算誤差圖

圖12 y軸位置解算誤差圖

圖13 z軸位置解算誤差圖

從仿真結(jié)果中可以看出，相對(duì)于定步長(zhǎng)的C-RAM解命中的方法，變步長(zhǎng)法能夠使各軸方向上的解算誤差基本保持在設(shè)定的誤差范圍內(nèi)。但由于比值常數(shù)使用了取固定值的方法，導(dǎo)致對(duì)誤差的控制精度較差，解算誤差超出設(shè)置范圍的情況，若是采取使用比值常數(shù)表或者擬合比值變化曲線的方法，將能進(jìn)一步的提升誤差控制的精度。

在變步長(zhǎng)法中，相比默森法的誤差控制效果，夏普法在對(duì)目標(biāo)一解命中時(shí)效果與默森法接近，對(duì)目標(biāo)二解命中時(shí)誤差小于默森法。但誤差較小并不意味著控制效果好，夏普法與默森法的積分精度同為四階且誤差估計(jì)精度也同為三階，在相同的精度條件下，更小的解算誤差代表消耗了更多的解算時(shí)間，證明了在積分步長(zhǎng)控制效果上夏普法要弱于默森法。且仿真中發(fā)現(xiàn)對(duì)夏普法應(yīng)用本文中的最優(yōu)步長(zhǎng)控制時(shí)不能將上一次計(jì)算出的K5代入下一次計(jì)算中，否則將會(huì)因?yàn)椴介L(zhǎng)的變化導(dǎo)致誤差估計(jì)值的計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，進(jìn)而無(wú)法有效控制積分步長(zhǎng)，故在每步計(jì)算量上夏普法與默森法也基本相同，使其不具備計(jì)算量的優(yōu)勢(shì)。

變步長(zhǎng)默森法積分步長(zhǎng)的控制效果如圖14、圖15所示。

圖15 變步長(zhǎng)法解算目標(biāo)二時(shí)積分步長(zhǎng)控制云圖

由圖14、圖15所展示的積分步長(zhǎng)控制情況中可以看出，本文中的變步長(zhǎng)C-RAM解命中方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)積分步長(zhǎng)的最優(yōu)控制。其能夠?qū)崟r(shí)的調(diào)節(jié)積分步長(zhǎng)的大小，在積分誤差較大的情況下減小步長(zhǎng)保證精度，積分誤差較小時(shí)增加步長(zhǎng)減少積分次數(shù)。實(shí)現(xiàn)在保證解命中精度的情況下盡可能增加積分步長(zhǎng)的長(zhǎng)度，減少計(jì)算時(shí)間。

5 結(jié)論

1) 在基于彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型模擬理想RAM目標(biāo)外彈道軌跡的情況下，基于變步長(zhǎng)龍格庫(kù)塔法的高炮C-RAM解命中方法可以完成高炮C-RAM解命中任務(wù)。

2) 基于C-RAM解命中誤差與積分估計(jì)誤差規(guī)律應(yīng)用的最優(yōu)步長(zhǎng)控制策略能夠完成對(duì)積分步長(zhǎng)的最優(yōu)控制，相比使用定步長(zhǎng)積分法進(jìn)行C-RAM解命中計(jì)算，該方法可控制目標(biāo)在不同距離、速度、彈道系數(shù)情況下的諸元解算誤差。

3) 在同樣應(yīng)用最優(yōu)步長(zhǎng)控制方法同樣精度的變步長(zhǎng)積分法中，默森法相比于夏普法步長(zhǎng)控制效果更好，更適合用于C-RAM解命中計(jì)算。

若能夠在工程應(yīng)用方面解決誤差換算比值常數(shù)表的編制問(wèn)題，則該方法便可以工程化應(yīng)用于高炮防空系統(tǒng)中，可提高高炮的C-RAM作戰(zhàn)能力。