邱文昊,連光耀,閆鵬程,黃考利

(1.陸軍工程大學(xué)(石家莊校區(qū)),石家莊 050000；2.中國人民解放軍32181部隊(duì),西安 710000)

測試性驗(yàn)證是根據(jù)裝備的技術(shù)規(guī)范和指標(biāo)要求，在承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)約束下，綜合考慮試驗(yàn)成本、研制周期等因素，采用單次抽樣、多次抽樣或序貫檢驗(yàn)等方法制定驗(yàn)證試驗(yàn)方案，進(jìn)而判斷是否達(dá)到規(guī)定的測試性水平[1]。

由于現(xiàn)有中國軍標(biāo)規(guī)定的測試性試驗(yàn)方法所需樣本量較大，相關(guān)學(xué)者對基于Bayes融合的試驗(yàn)方法開展了研究，文獻(xiàn)[2]運(yùn)用Bayes理論建立了融合先驗(yàn)信息的決策模型，通過定義不確定性和支持度得到加權(quán)因子，然后對先驗(yàn)信息進(jìn)行融合，明顯降低了樣本量；文獻(xiàn)[3]針對測試性試驗(yàn)數(shù)據(jù)小子樣變總體的特點(diǎn)，建立了指標(biāo)動(dòng)態(tài)增長模型，并結(jié)合最大熵原理得到先驗(yàn)分布，依據(jù)Bayes最大后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則確定試驗(yàn)方案，提高了評估結(jié)果置信度。文獻(xiàn)[4]研究了先驗(yàn)分布參數(shù)計(jì)算方法，提出混合Beta分布的小子樣測試性評估方法。然而，上述方法中的系統(tǒng)級先驗(yàn)信息很難直接獲取，先驗(yàn)分布權(quán)值確定大都依據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系或主觀經(jīng)驗(yàn)，沒有考慮先驗(yàn)信息來源，導(dǎo)致現(xiàn)有方法的準(zhǔn)確性和適用性存在一定問題。

基于此，本文提出了基于分系統(tǒng)先驗(yàn)信息的測試性試驗(yàn)優(yōu)化方法，通過引入分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率對先驗(yàn)信息進(jìn)行折算，得到系統(tǒng)級先驗(yàn)數(shù)據(jù)；在此基礎(chǔ)上提出了基于理想點(diǎn)排序-層次分析法(Technique for order preference by similarity to ideal solution-analytic hierarchy process,TOPSIS-AHP)的先驗(yàn)分布可信度計(jì)算方法，確定了先驗(yàn)分布權(quán)值；最后，研究了基于截尾序貫后驗(yàn)加權(quán)檢驗(yàn)(Sequential posterior odd test, SPOT)的試驗(yàn)方法，并給出了截尾閾值計(jì)算方法。

1 基于貢獻(xiàn)率的數(shù)據(jù)折算方法

1.1 測試性多源先驗(yàn)信息分析

在裝備研制過程中，不同的壽命周期、不同的層次結(jié)構(gòu)、不同的試驗(yàn)手段都會積累多種試驗(yàn)信息，這些信息都可以作為測試性驗(yàn)證試驗(yàn)的先驗(yàn)信息[5]。測試性先驗(yàn)信息的種類較多，從層次結(jié)構(gòu)的角度分為部組件級、分系統(tǒng)級和系統(tǒng)級試驗(yàn)信息；從壽命周期各階段的角度分為設(shè)計(jì)階段信息、生產(chǎn)階段信息和試驗(yàn)階段信息；從信息來源的角度分為專家經(jīng)驗(yàn)信息、虛擬試驗(yàn)信息、摸底試驗(yàn)信息等。測試性多源先驗(yàn)信息分類如圖1所示。

本文從信息來源的角度選取用于Bayes融合的測試性先驗(yàn)信息，主要包括以下5種典型的先驗(yàn)信息：

1)專家經(jīng)驗(yàn)信息。由設(shè)計(jì)人員或領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)自身經(jīng)驗(yàn)知識給出的測試性指標(biāo)評估值，通常是連續(xù)區(qū)間估計(jì)或單側(cè)置信下限估計(jì)，此類信息主觀性較強(qiáng)。

2)虛擬試驗(yàn)信息。通過搭建裝備分系統(tǒng)虛擬樣機(jī)，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)進(jìn)行測試性驗(yàn)證故障注入試驗(yàn)，代替部分實(shí)裝故障注入試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果通常為成敗型數(shù)據(jù)，此類信息的可信度需要考慮。

圖1 測試性先驗(yàn)信息分類

3)增長試驗(yàn)信息。部組件或分系統(tǒng)在不用階段開展的有計(jì)劃、有繼承的測試性試驗(yàn)，各階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從不同總體，屬于“異總體”情況，通常為成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

4)單元摸底試驗(yàn)信息。在設(shè)計(jì)研制階段進(jìn)行的針對某些部組件或分系統(tǒng)的摸底試驗(yàn)，可信度較高，可以向上綜合為系統(tǒng)信息，多為成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

5)相似裝備歷史信息。許多裝備的設(shè)計(jì)研制具有繼承性，相似裝備測試性水平是十分重要的歷史信息，可以作為新型號裝備的先驗(yàn)信息，通常表示為指標(biāo)區(qū)間估計(jì)或單側(cè)置信下限估計(jì)。

不同先驗(yàn)信息具有不同的數(shù)據(jù)形式，為有效利用多源先驗(yàn)信息，需要將不同的數(shù)據(jù)形式折合為成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)給出了詳細(xì)的成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)折合方法[6]，這里不再贅述。通常采用Beta分布作為成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)分布[7]，分布形式為

(1)

式中：p為檢測/隔離率，a，b為分布超參數(shù)。

1.2 分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率確定

不同分系統(tǒng)在裝備對測試性指標(biāo)評估的影響是不同的，借鑒裝備體系貢獻(xiàn)率評估中的計(jì)算方法[8-9]，依據(jù)不同分系統(tǒng)的測試性指標(biāo)分配值計(jì)算分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率，通過指標(biāo)分配的不同表示在測試性驗(yàn)證評估中，分系統(tǒng)對指標(biāo)評估的作用大小。

定義1貢獻(xiàn)率ci，在測試性指標(biāo)評估中，分系統(tǒng)指標(biāo)作為貢獻(xiàn)者，系統(tǒng)指標(biāo)作為受益者，待測系統(tǒng)的分系統(tǒng)指標(biāo)的增加或減少對系統(tǒng)指標(biāo)變化的貢獻(xiàn)程度為分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率，表達(dá)式為

(2)

第i個(gè)分系統(tǒng)的測試性指標(biāo)分配值為

(3)

式中：γi為測試性指標(biāo)分配值，λs為系統(tǒng)的總故障率，由故障模式及危害性分析(Failure mode, effects and criticality analysis,FMECA)確定[10]，γr為系統(tǒng)測試性指標(biāo)要求值，λi為第i個(gè)分系統(tǒng)的故障率，k為分系統(tǒng)數(shù)量。

由分系統(tǒng)指標(biāo)計(jì)算系統(tǒng)指標(biāo)時(shí)，主要考慮診斷能力問題，即發(fā)生和診斷的故障次數(shù)或相對故障率，則由測試性指標(biāo)分配值得到的系統(tǒng)指標(biāo)值為

(4)

則第i個(gè)分系統(tǒng)的貢獻(xiàn)率為

(5)

1.3 基于信息論的先驗(yàn)分布折算

在可靠性綜合評估中，由信息量等效原則和信息量可加性可知，分系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)提供的信息量與系統(tǒng)的總信息量相等[11]。在測試性驗(yàn)證中，信息量等效的方法也應(yīng)用于虛擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)向?qū)嵮b試驗(yàn)數(shù)據(jù)的折合[12]?；诖耍Y(jié)合分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率，提出基于分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率和信息論的數(shù)據(jù)折算方法。

(6)

設(shè)折合后的第i個(gè)分系統(tǒng)的成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)為(ni,fi)，其中ni為試驗(yàn)總次數(shù)，fi為試驗(yàn)失敗次數(shù)。根據(jù)信息量可加性，k個(gè)分系統(tǒng)全部試驗(yàn)的總信息量為

(7)

(8)

(9)

結(jié)合各分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率和測試性指標(biāo)的極大似然估計(jì)值，可得各先驗(yàn)信息對應(yīng)的系統(tǒng)測試性指標(biāo)估計(jì)值為

(10)

根據(jù)信息量等效原則，即Iss=Ist，則可得k個(gè)分系統(tǒng)的成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)向系統(tǒng)級成敗型數(shù)據(jù)的折算公式為

(11)

2 基于可信度的混合先驗(yàn)分布

2.1 先驗(yàn)分布可信度

為保證有效利用先驗(yàn)信息，需要檢驗(yàn)先驗(yàn)信息和實(shí)裝試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相容性。已知先驗(yàn)分布π(p)的類型為Beta分布，采用貝葉斯置信區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行相容性檢驗(yàn)。設(shè)π(p)的貝葉斯置信區(qū)間為[p1,p2](置信度為1-αh)，其中，p1，p2由式(12)確定。

(12)

即使先驗(yàn)信息滿足相容性檢驗(yàn)條件，其獲取方式和數(shù)據(jù)處理過程的可信程度仍不明確，在用于測試性試驗(yàn)前需要評估其可信度。通常，實(shí)裝試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度最高，以實(shí)裝數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，用先驗(yàn)分布和實(shí)裝試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布函數(shù)的相似性度量表示先驗(yàn)信息的可信度。設(shè)X為實(shí)裝試驗(yàn)樣本，Y為先驗(yàn)信息試驗(yàn)樣本，給出如下假設(shè):

(13)

(14)

定義2先驗(yàn)分布可信度ρ，指接受H0的條件下H0為真的概率，表示X與Y來自相同總體的概率，即X與Y的相似程度，其表達(dá)式為

(15)

2.2 基于TOPSIS-AHP的先驗(yàn)分布融合

式(15)中，兩類錯(cuò)誤概率αh、βh由承制方和使用方協(xié)商確定。P(H0)為先驗(yàn)相似度，指在獲得先驗(yàn)信息前，先驗(yàn)信息與試驗(yàn)信息屬于相同總體的概率，與信息獲取途徑、數(shù)據(jù)處理方法、試驗(yàn)方法等多種因素有關(guān)，實(shí)質(zhì)上反應(yīng)的是對先驗(yàn)信息來源和類型的信任程度，屬于多準(zhǔn)則綜合評判問題，很難直接通過顯式定量計(jì)算，在無法獲得先驗(yàn)相似度信息時(shí)，通常取P(H0)=0.5。

(16)

則先驗(yàn)信息與理想解的貼近度為

(17)

依據(jù)先驗(yàn)信息貼近度，采用三標(biāo)度層次分析法[15]對先驗(yàn)信息信任程度進(jìn)行兩兩比較，建立比較矩陣A=[aij]n×n，信任程度序列指數(shù)為

(18)

設(shè)信任程度判斷矩陣為S=[sij]n×n。令umax=max(ui)，umin=min(ui)，則

(19)

式中，bm為基點(diǎn)比較標(biāo)度。

對判斷矩陣S進(jìn)行按行求和，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后可得各先驗(yàn)分布的P(H0)值，代入式(15)可得先驗(yàn)分布可信度ρi。

設(shè)有r種先驗(yàn)信息通過了相容性檢驗(yàn)，其可信度為ρi,i=1,2,…,r，可得混合先驗(yàn)分布為

(20)

3 基于分系統(tǒng)先驗(yàn)信息的試驗(yàn)方案

3.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)流程

基于分系統(tǒng)先驗(yàn)信息的測試性試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)流程如圖2所示。

圖2 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)流程

首先，由分系統(tǒng)先驗(yàn)信息和貢獻(xiàn)率，通過分系統(tǒng)數(shù)據(jù)折算得到系統(tǒng)級先驗(yàn)信息；然后，對先驗(yàn)信息進(jìn)行相容性檢驗(yàn)，并通過計(jì)算先驗(yàn)分布可信度得到先驗(yàn)分布權(quán)值；最后，基于混合先驗(yàn)分布，采用序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)(SPOT)法進(jìn)行試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)。

3.2 序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)試驗(yàn)方案

相比于單次抽樣方法和序貫概率比檢驗(yàn)(SPRT)方法[16]，融合先驗(yàn)信息SPOT法可以有效減少試驗(yàn)樣本量[17]，故采用SPOT方法進(jìn)行試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)。設(shè)試驗(yàn)方案約束條件為：最低可接受值p0，設(shè)計(jì)要求值p1，承制方風(fēng)險(xiǎn)α，使用方風(fēng)險(xiǎn)β。

設(shè)測試性指標(biāo)p的檢驗(yàn)假設(shè)為：H0：p∈Θ0，H1：p∈Θ1。其中，Θ0={p|p≤p0}，Θ1={p|p≥p1}，Θ=Θ0∪Θ1為參數(shù)空間。

則對于實(shí)裝試驗(yàn)結(jié)果為(n,c)的樣本X=(X1,X2,…,Xn)，驗(yàn)后加權(quán)比[18]為

(21)

檢驗(yàn)準(zhǔn)則為：當(dāng)On≤A時(shí)，采納假設(shè)H0，判為拒收；當(dāng)On≥B時(shí)，采納假設(shè)H1，判為接收；當(dāng)A

(22)

(23)

3.3 截尾序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)試驗(yàn)方案

上述判決準(zhǔn)則可能會一直出現(xiàn)A

(24)

令Ma=h-1(A)，Mc=h-1(C)，Mb=h-1(B)，則由截尾判決造成的承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)增量分別為：

(25)

(26)

由Bayes后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則[19]，對于給定的風(fēng)險(xiǎn)增量上界αsπ0和βsπ1，將確定截尾閾值轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題：

s.t. Δαsπ0≤αsπ0

Δβsπ1≤βsπ1

Ma

(27)

將式(27)的優(yōu)化結(jié)果代入式(24)即可得到檢驗(yàn)點(diǎn)C。

4 案例分析

某航空裝備控制系統(tǒng)由4個(gè)分系統(tǒng)組成，分別為控制功能分系統(tǒng)、發(fā)射功能分系統(tǒng)、通信功能分系統(tǒng)和導(dǎo)航功能分系統(tǒng)。以故障檢測率(Fault detection rate,FDR)為例進(jìn)行測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)。根據(jù)裝備測試性設(shè)計(jì)要求確定SPOT試驗(yàn)方案的約束條件為：最低可接受值p0=0.85，設(shè)計(jì)要求值p1=0.95，雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β=0.1，截尾方案中風(fēng)險(xiǎn)增量上界αsπ0=βsπ1=0.01。

4.1 分系統(tǒng)數(shù)據(jù)折算

由文獻(xiàn)[6]的數(shù)據(jù)等效模型可得各分系統(tǒng)先驗(yàn)信息的成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。

表1 分系統(tǒng)的成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 系統(tǒng)先驗(yàn)分布參數(shù)

4.2 先驗(yàn)分布權(quán)值確定

依據(jù)基于TOPSIS-AHP的先驗(yàn)分布融合方法可得先驗(yàn)分布的可信度矩陣ρ=[0.930 6,0.667 2,0.686 6]，進(jìn)而可得先驗(yàn)分布取值向量為[0.402 8,0.290 7,0.301 2]。

4.3 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

由式(20)可得混合先驗(yàn)分布為

(28)

圖3為先驗(yàn)分布函數(shù)，以及考慮先驗(yàn)分布可信度和未考慮先驗(yàn)分布可信度的分布函數(shù)曲線。

圖3 先驗(yàn)分布函數(shù)

將試驗(yàn)約束條件和混合先驗(yàn)分布代入式(22)、(23)，可得判決閾值A(chǔ)=0.024 0，B=1.950 1。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)增量約束，可得截尾SPOT方案的截尾次數(shù)為43，此時(shí)檢驗(yàn)點(diǎn)C=0.253 5。

對控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)裝故障注入試驗(yàn)，設(shè)當(dāng)前試驗(yàn)結(jié)果為(ni,ci)，代入式(21)可得當(dāng)前試驗(yàn)方案的驗(yàn)后加權(quán)比值，與判決閾值進(jìn)行對比，即可得出判決結(jié)果，判決過程如圖4所示。

圖4 SPOT判決過程

在相同試驗(yàn)約束條件下，采用同為序貫類試驗(yàn)方案的SPRT方法的判決過程如圖5所示。

圖5 SPRT判決過程

由圖4可以看出，對于基于可信度融合的判決過程，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果為(N,C)=(36,2)時(shí)，做出接收判決；對于直接融合的判決過程，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果為(N,C)=(38,2)時(shí)，做出接收判決。由圖5可以看出，當(dāng)試驗(yàn)的成功失敗數(shù)為(N,C)=(42,2)時(shí)，做出接收判決，此時(shí)試驗(yàn)樣本量為42。

4.4 試驗(yàn)結(jié)果對比分析

對控制系統(tǒng)進(jìn)行多次試驗(yàn)，分別采用SPRT、SPOT方法進(jìn)行判決，均做出接收判決，不同失敗次數(shù)下的試驗(yàn)次數(shù)對比見表3。

表3 不同失敗次數(shù)下的試驗(yàn)次數(shù)對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性，在相同的試驗(yàn)約束條件下，分別采用經(jīng)典定數(shù)抽樣試驗(yàn)方案、文獻(xiàn)[2]傳統(tǒng)Bayes試驗(yàn)方案和文獻(xiàn)[20]的改進(jìn)Bayes試驗(yàn)方案，各方案的對比分析結(jié)果見表4。

表4 不同試驗(yàn)方案對比

根據(jù)上述試驗(yàn)結(jié)果，從先驗(yàn)信息獲取、先驗(yàn)分布權(quán)值、試驗(yàn)樣本量、雙方風(fēng)險(xiǎn)4個(gè)方面對比分析本文試驗(yàn)方案的總體性能：

1)先驗(yàn)信息獲取。由表1、2可知，本文方法可以有效實(shí)現(xiàn)分系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)折算，與文獻(xiàn)[20]方法相比，考慮了分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率，使得數(shù)據(jù)折算更為合理。

2)先驗(yàn)分布權(quán)值?；诳尚哦却_定權(quán)值為[0.402 8,0.290 7,0.301 2]，文獻(xiàn)[2]方法確定權(quán)值為[0.293 5,0.313 6,0.392 8]，文獻(xiàn)[2]確定的虛擬試驗(yàn)信息和專家經(jīng)驗(yàn)信息權(quán)值較大，而本文方法確定的單元試驗(yàn)信息權(quán)值較大，相對不準(zhǔn)確的專家經(jīng)驗(yàn)信息權(quán)值較小，更符合試驗(yàn)實(shí)際情況。由圖3也可以看出，直接融合先驗(yàn)分布(先驗(yàn)分布權(quán)值相等)得到的指標(biāo)點(diǎn)估計(jì)值小于基于可信度的方法，這是因?yàn)閷＜医?jīng)驗(yàn)對指標(biāo)的估計(jì)比較保守，但其可信度較低，若直接融合先驗(yàn)分布，導(dǎo)致可信度較低的專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)一定程度上湮沒可信度較高的單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使得專家經(jīng)驗(yàn)對評估結(jié)果產(chǎn)生的影響較大，導(dǎo)致融合結(jié)果過于保守。由圖4(b)和表3也可以看出，直接融合先驗(yàn)分布的試驗(yàn)方案在相同失敗次數(shù)下所需的樣本量更多，導(dǎo)致評估結(jié)果過于保守。

3)試驗(yàn)樣本量。由表3可以看出，同為截尾序貫試驗(yàn)方案，在相同判決結(jié)果下，基于可信度融合先驗(yàn)分布和直接融合先驗(yàn)分布下的SPOT試驗(yàn)方案與SPRT試驗(yàn)方案相比，樣本量分別平均減少18.6%和13.1%；由表4可以看出，傳統(tǒng)定數(shù)抽樣方案得到的樣本量普遍比較大，經(jīng)典試驗(yàn)方案為(60,5)，文獻(xiàn)[2]的方案為(38,0)，文獻(xiàn)[20]的方案為(34,0)，在相同約束條件下，與Bayes試驗(yàn)方案相比，本文試驗(yàn)方案所需樣本量平均減少61.1%。

4)雙方風(fēng)險(xiǎn)。對于基于可信度的SPOT方案，試驗(yàn)方案(14,0)即可在滿足雙方風(fēng)險(xiǎn)的條件下做出接收判決，而對于表4中的傳統(tǒng)定數(shù)抽樣方案，若采用(14,0)方案，其使用方風(fēng)險(xiǎn)分別高達(dá)0.51、0.36、0.27，均無法滿足雙方風(fēng)險(xiǎn)要求。

5 結(jié) 論

1)在分析多源先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上，定義了分系統(tǒng)貢獻(xiàn)率，并基于信息量等效原則進(jìn)行數(shù)據(jù)折算，為獲取系統(tǒng)級先驗(yàn)分布提供了有效途徑。

2)采用TOPSIS-AHP方法計(jì)算先驗(yàn)相似度P(H0)能從先驗(yàn)信息來源的角度給出合理的計(jì)算可信度的方法，得到的混合先驗(yàn)分布更加準(zhǔn)確。

3)從先驗(yàn)信息獲取、先驗(yàn)分布權(quán)值、試驗(yàn)樣本量、雙方風(fēng)險(xiǎn)4個(gè)方面進(jìn)行對比分析，表明該試驗(yàn)方案能夠有效解決系統(tǒng)級先驗(yàn)信息獲取難的問題，確定的先驗(yàn)分布權(quán)值更合理，而且可以有效降低試驗(yàn)樣本量和雙方風(fēng)險(xiǎn)。