樓奕軒，孫 磊，丁 明

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，安徽省合肥市 230009；2. 安徽省新能源利用與節(jié)能重點實驗室（合肥工業(yè)大學(xué)），安徽省合肥市 230009）

0 引言

電力系統(tǒng)規(guī)劃的主要任務(wù)是在預(yù)測未來電力增長狀況、負(fù)荷曲線和電力分布情況的基礎(chǔ)上，對未來電源和輸電線路的投建做出合理的規(guī)劃［1-2］。近年來，大停電事故仍時有發(fā)生且難以預(yù)測，隨著大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)的發(fā)展，大停電事故可能波及的范圍更大，停電事故所產(chǎn)生的后果更嚴(yán)重。因此，在發(fā)輸電規(guī)劃階段中，如何提高電力系統(tǒng)恢復(fù)能力也是需要重點考慮的因素之一。

合理的發(fā)輸電規(guī)劃策略是電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運行的基礎(chǔ)［3-6］。文獻(xiàn)［7］提出一種基于靈活性資源概率分布的評估方法，并將該指標(biāo)應(yīng)用于輸電網(wǎng)規(guī)劃策略中。文獻(xiàn)［8］提出一種應(yīng)對協(xié)同攻擊的電力系統(tǒng)發(fā)輸電拓展隨機(jī)規(guī)劃，提高了規(guī)劃效率和電力系統(tǒng)可靠性。文獻(xiàn)［9］提出一種考慮電網(wǎng)靈活性和N-1 安全校驗的5 層輸電網(wǎng)規(guī)劃優(yōu)化模型，其中不確定性因素來自發(fā)電機(jī)組的出力。文獻(xiàn)［10］提出一種計及N-1 安全校核的多階段輸電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型，提高了模型的求解效率。文獻(xiàn)［11］提出了計及電網(wǎng)運行安全性、穩(wěn)定性效率和供需平衡充裕性的電網(wǎng)結(jié)構(gòu)及電源容量適應(yīng)性指標(biāo)，并建立了考慮網(wǎng)-源協(xié)同優(yōu)化的輸電網(wǎng)多目標(biāo)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)［12］針對輸電線路、發(fā)電機(jī)以及柔性交流輸電系統(tǒng)（flexible alternating current transmission system，F(xiàn)ACTS）的規(guī)劃問題，提出一種綜合考慮靈活性、建設(shè)周期和成本等因素的兩階段魯棒規(guī)劃模型。綜上所述，現(xiàn)有關(guān)于發(fā)輸電規(guī)劃的研究大多僅考慮了N-1 安全校核，并未考慮發(fā)生大停電事故后輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力能否滿足要求這一因素。

近年來，國內(nèi)外發(fā)生了多起大停電事故，給社會、經(jīng)濟(jì)帶來極大的損失。例如，2021 年2 月，美國得州因受寒潮影響發(fā)生大規(guī)模的停電事故，導(dǎo)致當(dāng)?shù)氐哪茉词袌龌靵y，得州電價飆升了百余倍［13-14］；2019 年8 月，英國發(fā)生大面積停電事故，導(dǎo)致英格蘭與威爾士部分地區(qū)停電，部分城市地鐵與城際火車停運、交通癱瘓，給日常生活造成了極大的不便［15-16］；2016 年9 月，澳大利亞因極端惡劣天氣導(dǎo)致一系列連鎖電網(wǎng)故障，全州停電近50 h，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失［17］。由于大停電事故危害巨大且難以預(yù)測，在進(jìn)行電力系統(tǒng)規(guī)劃時，應(yīng)充分考慮電力系統(tǒng)恢復(fù)能力這一因素。

綜上所述，本文提出一種計及N-1 安全約束和系統(tǒng)恢復(fù)能力的發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略，所提出的策略能夠同時兼顧N-1 安全校核以及大停電事故后電力系統(tǒng)的恢復(fù)能力。在發(fā)輸電規(guī)劃層面，建立了基于機(jī)會約束的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型；在系統(tǒng)運行層面，分別構(gòu)建N-1 安全校核子問題模型和基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型。本文所提出的模型為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型和線性規(guī)劃模型，可利用商業(yè)求解器對所提出的模型進(jìn)行高效求解。

1 發(fā)輸電拓展規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)通常為最小化電力系統(tǒng)的投資與運行成本。考慮到負(fù)荷預(yù)測可能存在一定誤差，需要考慮負(fù)荷波動這一不確定因素，本文引入機(jī)會約束處理負(fù)荷波動對發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略的影響，進(jìn)而構(gòu)建基于機(jī)會約束的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型。

電力系統(tǒng)的安全運行不僅需要滿足正常狀態(tài)下的潮流約束，還需要滿足N-1 預(yù)想故障狀態(tài)下線路潮流不越限，因此，本文構(gòu)建了N-1 安全校核子問題模型（子問題1）。此外，為了有效提高輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力，本文提出了基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型（子問題2）。

發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型和2 個子問題模型的關(guān)系如圖1 所示。首先，求解基于機(jī)會約束的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型，得到初始的規(guī)劃方案，將所得到的規(guī)劃方案傳遞給2 個子問題模型，根據(jù)2 個子問題模型的解將可行割約束反饋給發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型，并再次對發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型進(jìn)行求解，直到滿足設(shè)定的終止條件。

圖1 發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型與2 個子問題模型的關(guān)系Fig.1 Relationship between expansion planning model for power generation and transmission and two sub-problem models

1.1 基于機(jī)會約束的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型

發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)通常為最小化電力系統(tǒng)的投資與運行成本，如式（1）所示；投資費用和運行費用分別如式（2）和式（3）所示；貼現(xiàn)因子如式（4）所示。

式中：ΩGi為位于節(jié)點i的發(fā)電機(jī)組集合；ΩB為節(jié)點集合；s（l）和r（l）分別為線路l的送端和受端；Pi，t為第t年節(jié)點i的負(fù)荷預(yù)測值。

式（7）表示第t年節(jié)點的功率平衡方程。

由于目標(biāo)函數(shù)為最小化投資和運行費用，可將式（7）松弛，且當(dāng)考慮負(fù)荷的不確定性時，可將式（7）描述為機(jī)會約束的形式，如式（8）所示。

式中：Pr（·）為事件（·）發(fā)生的概率；α為給定的置信水平。

根據(jù)概率論相關(guān)理論，可將機(jī)會約束式（8）轉(zhuǎn)換為 確 定 性 約 束 式（9），其 中，F(xiàn)-1（α，Pi，t）可 由 文 獻(xiàn)［18］中所提出的方法計算得到。

式（10）和式（11）分別為基于big-M 方法的線路l傳輸功率的上下限約束和線路潮流的計算公式。

4）負(fù)荷約束：

式 中：γ為 負(fù) 荷 年 增 長 率；Pi，0為 當(dāng) 前 年 節(jié) 點i的 負(fù)荷值。

式（12）為第t年負(fù)荷預(yù)測值的計算公式。

5）機(jī)組出力約束：

式中：NBS為黑啟動機(jī)組的最小個數(shù)。

式（18）表示每年電力系統(tǒng)中至少有NBS臺黑啟動機(jī)組；式（19）表示第t年的黑啟動機(jī)組必須是已投運的機(jī)組；式（20）表示黑啟動機(jī)組g在第t年投運后，在后續(xù)階段均為黑啟動機(jī)組。

1.2 N-1 安全校核子問題模型

N-1 安全校核子問題模型的目標(biāo)函數(shù)為最小化N-1 預(yù)想故障情況下系統(tǒng)的有功缺額，在數(shù)學(xué)上可以描述為：

式（23）和式（24）分別為在預(yù)想故障k中基于big-M 方法的線路l傳輸功率的上下限約束和線路潮流的計算公式。

3）節(jié)點相角約束：

式（25）為在預(yù)想故障k中節(jié)點相角的上下限約束；式（26）表示在預(yù)想故障k中參考節(jié)點電壓相角為0。

1.3 基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型

輸電系統(tǒng)的恢復(fù)能力可以通過所需的恢復(fù)時間進(jìn)行評估。為了校驗求解發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型得到的規(guī)劃方案在發(fā)生大停電事故后能否在限定時間內(nèi)恢復(fù)，本節(jié)提出基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型。其本質(zhì)是在已知優(yōu)化規(guī)劃方案的前提下，以最小化停電損失為目標(biāo)函數(shù)和以恢復(fù)時間不大于閾值為約束優(yōu)化恢復(fù)方案。為了保證輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題恒有解，引入輔助變量s3t，用于表征系統(tǒng)恢復(fù)時間閾值與實際恢復(fù)時間的差值。以下模型適用于t∈ΩT。

滿足的約束條件包括以下12 類。1）電力系統(tǒng)恢復(fù)時間約束：

式（29）表示系統(tǒng)恢復(fù)所需時間與松弛變量之差不大于給定閾值。

2）電力系統(tǒng)恢復(fù)時間的計算：從發(fā)生大停電事故用戶負(fù)荷全被切除到電力系統(tǒng)的負(fù)荷全部得以恢復(fù)，這一過程所耗費的時間為電力系統(tǒng)恢復(fù)時間，該時間可通過式（30）—式（32）計算得到。

式中：βt，τ為引入的輔助布爾變量，其值為1 表示第t年τ時刻系統(tǒng)負(fù)荷已經(jīng)完全恢復(fù)，其值為0 表示第t年τ時刻系統(tǒng)負(fù)荷還未完全恢復(fù)。

式（30）表示系統(tǒng)恢復(fù)時間的計算方法；式（31）和式（32）表示引入的輔助變量βt，τ與負(fù)荷總切除量的邏輯關(guān)系。

3）系統(tǒng)恢復(fù)階段的節(jié)點平衡方程：

式（33）表示第t年系統(tǒng)恢復(fù)過程中滿足的節(jié)點平衡方程。

4）系統(tǒng)恢復(fù)階段的線路潮流約束：

式（34）和式（35）分別為系統(tǒng)恢復(fù)過程中基于big-M 方法的線路l傳輸功率的上下限約束和線路潮流的計算公式。

5）系統(tǒng)恢復(fù)階段的節(jié)點相角約束：

式（36）為系統(tǒng)恢復(fù)過程中節(jié)點相角的上下限約束；式（37）表示系統(tǒng)恢復(fù)過程中參考節(jié)點電壓相角為0。

6）負(fù)荷恢復(fù)量約束：

式（38）表示負(fù)荷恢復(fù)量的取值范圍；式（39）表示在τ時刻的負(fù)荷恢復(fù)量應(yīng)不小于τ-1 時刻的負(fù)荷恢復(fù)量。

7）發(fā)電機(jī)組的爬坡約束：

式（40）和式（41）分別表示機(jī)組g的上下爬坡約束。

8）電力網(wǎng)絡(luò)連通性約束：

式（42）表示第t年τ時刻發(fā)電機(jī)組g的虛擬出力范圍；式（43）表示第t年τ時刻輸電線路l的虛擬傳輸功率的范圍；式（44）表示第t年τ時刻節(jié)點虛擬潮流的平衡方程。

9）機(jī)組出力上下限約束：

式（46）為發(fā)電機(jī)組g啟動時間的計算方法；式（47）表示發(fā)電機(jī)組g在恢復(fù)后經(jīng)過等待并網(wǎng)時間后才能向系統(tǒng)輸出功率。

11）變量間的邏輯關(guān)系約束：

式（48）表示如果在τ時刻發(fā)電機(jī)組g已恢復(fù)，則與發(fā)電機(jī)組g相連的節(jié)點i也已恢復(fù)；式（49）表示當(dāng)與輸電線路l相連的2 個節(jié)點中至少有一個節(jié)點在τ-1 時 刻 恢 復(fù)，輸 電 線 路l才 能 在τ時 刻 恢 復(fù)；式（50）和式（51）表示如果輸電線路l在τ時刻恢復(fù)，則與之相連的2 個節(jié)點i和j也在該時刻恢復(fù)；式（52）—式（54）分別表示在τ-1 時刻恢復(fù)的機(jī)組、線路和節(jié)點在τ時刻恢復(fù)狀態(tài)不變；式（55）表示在系統(tǒng)恢復(fù)階段與機(jī)組g相連的輸電線路l的最短恢復(fù)時間不小于黑啟動機(jī)組g的并網(wǎng)時間。

12）黑啟動電源相關(guān)約束：

2 模型求解策略

2.1 模型線性化策略

由于式（3）含有非線性項，無法直接采用商業(yè)求解器高效求解，故對式（3）進(jìn)行了線性化。引入2 個非負(fù)的輔助變量PL+l，t和PL-l，t，則有

因此，式（3）可描述為：

2.2 可行割約束

求解1.1 節(jié)提出的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型得到的規(guī)劃方案可能無法滿足N-1 安全校驗以及大停電事故后最大恢復(fù)時間的要求。因此，可根據(jù)2 個子問題的解構(gòu)建可行割，并傳遞給發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型進(jìn)行迭代求解。2 個子問題對應(yīng)的可行割約束分別如式（62）和式（63）所示。

2.3 數(shù)學(xué)模型匯總

本文所提出的計及N-1 安全約束和系統(tǒng)恢復(fù)能力的發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略由3 個模型構(gòu)成，如表1所示。

表1 發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略中的3 個模型Table 1 Three models in expansion planning strategy for power generation and transmission

2.4 求解算法流程

本文所構(gòu)建的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型和輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型均為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，所提出的N-1 安全校核子問題模型為線性規(guī)劃模型，故選用GUROBI 商業(yè)求解器求解。本文所提出的發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略的求解流程圖如圖2所示。

圖2 發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略的求解流程圖Fig.2 Flow chart of solving expansion planning strategy for power generation and transmission

具體的求解步驟如下：

步驟1：求解基于機(jī)會約束的發(fā)輸電擴(kuò)展規(guī)劃模型，令t=1。

步驟2：令k=1。

步驟3：求解N-1 安全校驗子問題模型，若目標(biāo)函數(shù)為0，則跳轉(zhuǎn)至步驟4，否則生成可行割約束式（62）。

步驟4：判斷是否遍歷完成所有N-1 預(yù)想故障，是則轉(zhuǎn)至步驟5，否則令k=k+1，轉(zhuǎn)至步驟3。

步驟5：求解大停電事故后的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型，若滿足s3t=0，則轉(zhuǎn)至步驟6，否則生成可行割約束式（63）。

步驟6：判斷t是否大于規(guī)劃年限，若是則跳轉(zhuǎn)至步驟7，否則令t=t+1，轉(zhuǎn)入步驟2。

步驟7：判斷是否有新的可行割生成，如果是則將可行割反饋到基于機(jī)會約束的發(fā)輸電擴(kuò)展規(guī)劃模型，并跳轉(zhuǎn)至步驟1，否則求解過程結(jié)束。

3 算例分析

以Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)和IEEE 57 節(jié)點系統(tǒng)為例，來說明所提方法的有效性。算法運行環(huán)境如下：處理器為英特爾酷睿Intel Core（TM）i7-10870H、內(nèi)存為16 GB 的筆記本電腦。在AMPL 建模平臺上構(gòu)建模型，并調(diào)用GUROBI 9.1.2 求解模型。

3.1 Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)

Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)的數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)［19］。該系統(tǒng)的初始拓?fù)湟约昂蜻x線路和機(jī)組如圖3 所示。

圖3 Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)拓?fù)銯ig.3 Topology of Garver 6-bus system

系統(tǒng)含有6 個節(jié)點、8 條已投運的輸電線路和4 臺已投運的機(jī)組，已投運機(jī)組和候選機(jī)組均分布在節(jié)點1、3 和6。已投運的發(fā)電機(jī)組總裝機(jī)容量為630 MW，候選機(jī)組的總裝機(jī)容量為630 MW，當(dāng)前年負(fù)荷總量為760 MW。假設(shè)負(fù)荷年增長率為3%，規(guī)劃年限為10 年，負(fù)荷預(yù)測值服從正態(tài)分布，置信水平設(shè)為0.95?；謴?fù)時間間隔設(shè)為10 min。候選發(fā)電機(jī)組和候選輸電線路分別為8 臺和26 條，具體參數(shù)分別如表2 和表3 所示。

表2 候選機(jī)組參數(shù)Table 2 Parameters of candidate units

表3 候選線路參數(shù)Table 3 Parameters of candidate lines

求解計及N-1 安全約束和系統(tǒng)恢復(fù)能力的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型，獲得最優(yōu)的規(guī)劃方案，求解時間為180.08 s，總的投資與運行費用為5 491.78 萬美元。表4 展示了Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)的規(guī)劃結(jié)果，包括不同規(guī)劃年新投建的機(jī)組和線路。由表4 可以看出，在規(guī)劃年限內(nèi)共需新投建5 臺發(fā)電機(jī)組和4 條輸電線路。隨著負(fù)荷逐年增長，需新投入一定數(shù)量的機(jī)組和線路從而滿足負(fù)荷增長的需求。表5 展示了第1 年的規(guī)劃方案中切除l2-1的一回路前后的部分輸電線路功率的變化情況。從表5 可以看出，切除線路l2-1的一回路后，系統(tǒng)中與該線路相連的線路潮流會發(fā)生變化，其中線路l2-3的潮流增加了近1 倍。

表4 Garver 6 節(jié)點系統(tǒng)的規(guī)劃結(jié)果Table 4 Planning results of Garver 6-bus system

表5 第1 年的規(guī)劃方案中切除l2-1的一回路前后部分輸電線路功率潮流的變化Table 5 Power flow changes through selected lines before and after cutting off one line connecting buses 2 and 1 in planning scheme for the first planning year

圖4 展示了2 個子問題模型的輔助變量隨迭代次數(shù)的變化情況。在圖4 中，左側(cè)y軸為子問題1 模型中輔助變量之和，右側(cè)y軸為子問題2 模型中的輔助變量值。由圖4 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，2 個子問題模型的輔助變量值總體呈現(xiàn)下降趨勢，經(jīng)過7 次迭代計算最終收斂為0。在第3 次迭代計算結(jié)果中，基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型的輔助變量值為0，在發(fā)生大停電事故時所需的恢復(fù)時間也滿足要求，但N-1 安全校核子問題的輔助變量值不為0，所以需要繼續(xù)迭代。第7 次迭代計算得到的2 個子問題的松弛變量均為0，故經(jīng)過7 次迭代計算后所得的規(guī)劃結(jié)果滿足N-1 安全校核，且在發(fā)生大停電事故后所需的恢復(fù)時間也滿足要求。

圖4 2 個子問題模型的輔助變量隨迭代次數(shù)的變化Fig.4 Changes of auxiliary variables of two subproblem models with different iteration times

圖5 展示了輸電系統(tǒng)在第1 個規(guī)劃年發(fā)生大停電事故的恢復(fù)過程。通過求解所提出的模型，可得發(fā)電機(jī)組G8為最優(yōu)的黑啟動機(jī)組，在黑啟動機(jī)組G8啟動后逐步恢復(fù)系統(tǒng)中其他機(jī)組、線路及負(fù)荷。由圖5 可以看出，經(jīng)過120 min 后系統(tǒng)中的非黑啟動機(jī)組和線路全部得以恢復(fù)。

圖5 發(fā)生大停電事故后輸電系統(tǒng)的恢復(fù)過程Fig.5 Restoration process of power transmission system after blackout occurs

表6 展示了采用不同規(guī)劃策略得到的系統(tǒng)恢復(fù)時間對比。由表6 可以看出，采用考慮系統(tǒng)恢復(fù)能力的規(guī)劃策略得到的輸電系統(tǒng)在發(fā)生大停電事故后的恢復(fù)時間在各個規(guī)劃年均小于采用不考慮系統(tǒng)恢復(fù)能力的規(guī)劃策略的結(jié)果，其中在第10 年恢復(fù)時間差值最大，最大差值為40 min。

表6 采用不同規(guī)劃策略得到的系統(tǒng)恢復(fù)時間對比Table 6 Comparison of system restoration time with different planning strategies

3.2 IEEE 57 節(jié)點系統(tǒng)

本節(jié)采用IEEE 57 節(jié)點系統(tǒng)對所提出的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型的有效性進(jìn)行驗證。該系統(tǒng)共包含57 個節(jié)點、80 條已投運的輸電線路和7 臺已投運的機(jī)組。設(shè)候選機(jī)組7 臺、候選線路15 條。設(shè)初始負(fù)荷為額定負(fù)荷的1.5 倍，負(fù)荷增長率為3%。

求解計及N-1 安全約束和系統(tǒng)恢復(fù)能力的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型，可得最優(yōu)的發(fā)輸電拓展規(guī)劃方案，如表7 所示。求解所提出的模型可得，發(fā)輸電規(guī)劃方案的最小投資和運行費用為6 055.94 萬美元，模型求解時間為2 011.64 s，在電力系統(tǒng)中規(guī)劃了2 個黑啟動機(jī)組，在規(guī)劃年中系統(tǒng)恢復(fù)時間最長為2.3 h。由表7 可以看出，在規(guī)劃年限內(nèi)共新投建4 臺發(fā)電機(jī)組和3 條輸電線路。

表7 IEEE 57 節(jié)點系統(tǒng)的規(guī)劃結(jié)果Table 7 Planning results of IEEE 57-bus system

4 結(jié)語

本文提出了計及N-1 安全約束和系統(tǒng)恢復(fù)能力的發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略，并將該策略分解為基于機(jī)會約束的發(fā)輸電拓展規(guī)劃模型、N-1 安全校核子問題模型和基于大停電事故的輸電系統(tǒng)恢復(fù)能力校驗子問題模型。通過迭代計算可得最優(yōu)的發(fā)輸電規(guī)劃方案。算例結(jié)果表明，根據(jù)本文的規(guī)劃方法得到的發(fā)輸電規(guī)劃方案能夠滿足N-1 安全校核和大停電事故后的系統(tǒng)恢復(fù)能力校核，兼顧經(jīng)濟(jì)性和安全性。

本文所構(gòu)建的發(fā)輸電拓展規(guī)劃方案考慮了N-1 安全校核和系統(tǒng)恢復(fù)能力，但未考慮在系統(tǒng)恢復(fù)階段的N-1 安全校核，后續(xù)將進(jìn)一步研究考慮系統(tǒng)恢復(fù)階段N-1 安全校核的電力系統(tǒng)恢復(fù)能力評估及在發(fā)輸電拓展規(guī)劃策略中的應(yīng)用。