畢銘陽，趙 鴻

(廈門大學 物理科學與技術學院，福建 廈門 361000)

1 研究背景

漲落定理的提出是熱力學統(tǒng)計物理的重要進展之一.近三十年來，漲落定理受到了人們極大的重視，對漲落定理的檢驗自然也是人們十分關心的問題.其Evans-Searles漲落定理[1]和Gallavotti-Cohen漲落定理[2]所預言的穩(wěn)態(tài)漲落關系[3]對實際應用具有重要意義，且可以描述流的漲落特性[4].而數(shù)值模擬計算非平衡穩(wěn)態(tài)一維晶格模型系統(tǒng)熱流比直接計算熵等物理量要簡單得多，也更加直觀.經(jīng)過多年的研究，對一維晶格模型的熱傳導行為已經(jīng)非常清楚.按照其定性性質(zhì)，可以把一維晶格模型分為三類，第一類以Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou(FPUT)模型為代表，這里實際選取的是FPUT-β晶格模型，該晶格之間的相互作用勢函數(shù)是非線性的，這類模型雖然是混沌系統(tǒng)，但是其熱傳導規(guī)律不滿足傅里葉熱傳導定律，熱傳導系數(shù)隨系統(tǒng)尺寸增加而發(fā)散[5].第二類以Ф4晶格模型為代表，同樣是混沌運動的系統(tǒng)，但是其熱傳導規(guī)律符合傅里葉熱傳導定律，也就是具有正常的熱傳導行為.第三類是簡諧振子鏈模型，它代表完全可積的系統(tǒng)，不具有混沌運動，熱傳導規(guī)律也不滿足傅里葉熱傳導定律.本文將對這三類系統(tǒng)的熱流漲落進行研究，通過大規(guī)模數(shù)值計算詳細檢驗它們是否滿足漲落定理.

在熱流漲落檢驗穩(wěn)態(tài)漲落定理方面，Lepri等首先在1997年采用全局平均熱流來表示熵產(chǎn)生，給出了一個使用一維FPUT-β模型的驗證結果[8].兩年之后，Sano則使用了一維晶格ding-dong模型并采取了同樣的全局平均熱流到熵產(chǎn)生的轉(zhuǎn)化關系進行了驗證[9].這兩個工作的結果顯示熱流的漲落符合穩(wěn)態(tài)漲落定理的預言.1999年，Lepri和Rondoni通過研究周期性Ehrenfest風樹模型這個非混沌但是較為復雜的模型的弛豫過程的動量流來驗證穩(wěn)態(tài)漲落定理，發(fā)現(xiàn)即使是非混沌的模型也依然可以符合穩(wěn)態(tài)漲落定理的預言[10].2000年，Searles和Evans將漲落定理應用到非平衡態(tài)動力學系綜，驗證了暫態(tài)漲落定理在所有平均時間下都可以得到滿足，而穩(wěn)態(tài)漲落定理只有在長時間的平均下才能得到滿足的結論[11].2005年Evans、Searles和Rondoni的工作表明對于一類處于平衡態(tài)或近平衡態(tài)的多粒子系統(tǒng)，在平衡態(tài)和近平衡態(tài)的情況下，相空間收縮率不滿足穩(wěn)態(tài)漲落定理，其誤差會隨著系統(tǒng)遠離平衡態(tài)而減小，恰當定義的耗散函數(shù)則在平衡態(tài)和非平衡態(tài)都可以滿足穩(wěn)態(tài)漲落定理[12].Dolowschiak和Kovacs在2005年的工作表明Nosé-Hoover熱源下的洛倫茲氣體的相空間收縮率在近平衡違背穩(wěn)態(tài)漲落定理，而熵增率則在近平衡和遠平衡都滿足穩(wěn)態(tài)漲落定理[13].Coretti和Rondoni在2020年的工作顯示，暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)漲落關系都可以在不反轉(zhuǎn)磁場的情況下從均勻穩(wěn)定的磁場中推出[14]，隨后在2021年的工作中通過數(shù)值模擬在非零磁場中的真實液態(tài)氯化鈉模型驗證了暫態(tài)漲落關系[15]，2021年Li，He通過路徑積分法和大偏差定理推導了廣義漲落定理和長時間極限下的環(huán)境熵產(chǎn)生漲落定理，對于FPUT-β模型[16]和Ф4模型[17]的研究發(fā)現(xiàn)主泛函在有限平均時間窗口下滿足穩(wěn)態(tài)漲落定理，而總熵產(chǎn)生在有限平均時間窗口下不符合，環(huán)境熵產(chǎn)生隨平均時間窗口的增大逐漸符合穩(wěn)態(tài)漲落定理.另外還有一些直接的實驗驗證工作，如在2004年Ciliberto等人研究兩個對轉(zhuǎn)圓盤之間旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的馮卡門渦流和風洞射流的動量輸運驗證了穩(wěn)態(tài)漲落定理[18]，2005年Shang等人通過激光多普勒測速法測量柱狀容器中的湍流性質(zhì)的瑞利貝納德對流驗證了穩(wěn)態(tài)漲落定理[19]以及2018年Hoang等人通過光鑷高精度測量空氣中光學失重的納米微球的瞬時位置和速度驗證了包括微分漲落定理，廣義Jarzynski等式等不同漲落定理的工作等[20].

然而這些研究還沒有明確回答什么樣的系統(tǒng)其流漲落滿足穩(wěn)態(tài)漲落定理，特別是對于上述三類系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)漲落定理是否都能滿足，以及在什么條件下滿足，以及穩(wěn)態(tài)漲落定理應用到這些系統(tǒng)時有什么不同表現(xiàn)等.本文將遵循Lepri等提出的方案，通過細致的數(shù)值模擬回答這些問題.具體來說，假設流經(jīng)一維晶格第i個格點粒子的熱流為ji(t)，以t時刻流經(jīng)N個粒子的平均熱流，

(1)

為研究對象，考察給定長度為t的時間窗口內(nèi)熱流的時間平均值Jt，

(2)

的漲落性質(zhì)，數(shù)值檢驗穩(wěn)態(tài)漲落定理[8]

(3)

是否被滿足，以及對模型、系統(tǒng)尺寸、溫差、觀測時間窗口等的依賴關系.上式中，z=Jt/J∞為相對熱流，J∞為穩(wěn)態(tài)熱流，Pt(z)為在平均時間窗口為t的情況下，相對熱流為z的概率.

為了便于與理論預言的直觀比較，我們將(3)式右邊的穩(wěn)態(tài)熱流、溫差項和平均觀測時間除到左邊，并定義

(4)

這樣，漲落關系的檢驗就表現(xiàn)為檢驗F(z)和z的斜率是否為1且滿足線性關系.

2 模型介紹

考慮一個有N+2L個粒子的一維晶格模型系統(tǒng)，其中，位于中間的N個粒子是我們的主要研究對象，而在這N個粒子的兩側(cè)每側(cè)各有L個粒子扮演熱源的角色.我們用xi來表示第i個粒子遠離平衡位置的位移，并且在固定邊界條件x1=xN+2L=0下進行研究.系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可以寫成

(5)

作用于第i個粒子上的力由(6)式計算.

fi=-(V'+U').

(6)

系統(tǒng)的運動方程為

(7)

(8)

(9)

其中，為了得到非平衡穩(wěn)態(tài)熱流我們在左右兩側(cè)的熱源施加不同的溫度TL和TR(TL>TR)，這里采用的是朗之萬熱源，γ為熱摩擦系數(shù)(本文固定γ=1)，ηL,R是均值為0的高斯白噪聲項，滿足<ηL,R(t)ηL,R(t')>=2γL,RTL,Rδ(t-t').

Lepri等人[8]在1998年的文章中采用了如下的熱流定義：

(10)

其中ji表示流經(jīng)第i個粒子的熱流，a為晶格常數(shù)，本文中固定為a=1.本文的數(shù)值驗證采用這個定義，不過我們也計算了其他定義下的情況，發(fā)現(xiàn)定性而言結論沒有差別.

3 數(shù)值結果

我們首先給出漲落關系隨著平均時間增加的檢驗結果.圖1給出系統(tǒng)尺寸分別取為N=32和N= 512，平均時間t=2，5，10，30，50，100下的下F(z)和z的依賴關系. 熱源溫度TL=0.55，TR=0.45.

圖1 觀測時間窗口對穩(wěn)態(tài)漲落定理的影響.(a)、(b)為FPUT-β模型， (c)、(d)為簡諧振子鏈模型， (e)、(f)為Φ4模型.從上到下時間窗口依次增加，虛線代表穩(wěn)態(tài)漲落定理預言的理論值.

圖1的結果表明，無論是N=32還是N=512的情況下，三類模型在t較小的情況下，結果偏離漲落定理的預言，而隨著平均時間t的增大，結果逐漸靠近漲落定理的預言.這與漲落定理所要求的t趨于無窮時成立相一致.因此，在Lepri等所定義的流漲落下，穩(wěn)態(tài)漲落定理對于三類模型都成立.

比較N=32和N=512的結果可以發(fā)現(xiàn)，在相同的時間測量窗口下，系統(tǒng)尺寸越大與漲落定理的預言偏離越大.在尺寸較大的情況下，Φ4模型收斂最快，其次是FPUT-β模型，簡諧振子鏈模型收斂最慢，在t=100的時間窗口下圖中F(z)的斜率與理論預言的斜率尚有接近1倍的差距.進一步的計算表明t>500后結果收斂于理論值.為了展示尺寸依賴性，我們以FPUT-β模型為例分別計算了t=2和t=50情況下漲落關系隨系統(tǒng)尺寸的變化，如圖2所示.可見與漲落定理的理論預測值的偏離隨著尺寸的增加而增加.

圖2 系統(tǒng)尺寸對穩(wěn)態(tài)漲落定理的影響(FPUT-β模型).從下到上N依次增大，虛線代表穩(wěn)態(tài)漲落定理預言的理論值.

圖3 有限時間窗口下漲落關系隨系統(tǒng)尺寸存在標度率.(a)、(b)為FPUT-β模型， (c)、(d)為簡諧振子鏈模型， (e)、(f)為Φ4模型的結果.

圖4 漲落關系與線性的偏離.(a)、(b)給出t=2和t=50情況下非線性效應隨N的變化，(c)、(d)給出N=32和N=512情況下非線性效應隨t的變化.

最后我們探究了熱源溫差對漲落關系的影響.圖5中，我們給出了FPUT-β模型在系統(tǒng)尺寸N=32，平均時間窗口t=2和t=50的情況下保持熱源平均溫度為T=0.5不變，改變熱源溫差△T=0.05，0.1，0.2，0.3，0.4的結果.可見在保持熱源平均溫度不變的情況下，改變熱源的溫差并不會顯著地改變漲落關系.不過我們的結果也表明隨著溫差的增大漲落關系向理論預言值趨近，這個結論和文獻[16]中的結論是一致的.

圖5 熱源溫差的影響.系統(tǒng)尺寸固定在N=32.溫差由上向下依次增加

4 總 結

我們通過數(shù)值模擬對三類具有代表性的一維晶格模型的熱流漲落的穩(wěn)態(tài)漲落定理進行了驗證，表明在平均時間窗口趨于無窮時此定理都嚴格成立.這三類模型中包括本身完全可積因此非混沌的簡諧振子鏈模型，這表明穩(wěn)態(tài)漲落定理所需要的混沌性假設并不一定要求系統(tǒng)本身是混沌的，當這類系統(tǒng)和熱源連接后其所需隨機性可以由熱源提供，這應當是穩(wěn)態(tài)漲落定理能適用于非混沌系統(tǒng)的原因.本文發(fā)現(xiàn)當時間窗口較小的情況下，或者一般地在遠離漲落定理理論預言的區(qū)域，漲落關系對系統(tǒng)尺寸的依賴存在一個標度率.有趣的是這個標度因子剛好是一維晶格不同尺寸系統(tǒng)熱傳導系數(shù)的比值.這一現(xiàn)象表明了不同尺寸的系統(tǒng)漲落關系之間存在一種普適規(guī)律，且和熱傳導系數(shù)有關，但是其深刻的含義還有待進一步詳細研究.本文還研究了漲落關系的非線性偏離問題，發(fā)現(xiàn)隨著系統(tǒng)尺寸增大或時間窗口增大這種效應都會迅速消失，因此至少對熱流漲落穩(wěn)態(tài)定理的影響不重要.我們也研究了熱源溫差的影響，發(fā)現(xiàn)溫差越小對穩(wěn)態(tài)漲落定理的偏差越大，這印證了之前文獻中的相關結論.