李雨茜 黃澤璇 鄧浩儀 張軍朋

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

1 問題的提出

對于向心加速度公式的教學(xué)，已有研究均是通過設(shè)計(jì)自制教具對向心加速度公式進(jìn)行定量探究[1,2]，但相關(guān)教具的制作難度大且耗時(shí)長.為此，教師可充分利用已有器材和身邊事物，結(jié)合手機(jī)傳感器設(shè)計(jì)簡易實(shí)驗(yàn)以確保實(shí)驗(yàn)的順利開展.此外，在向心加速度公式的得出過程中，已有研究通過a-ω散點(diǎn)圖呈類似拋物線的趨勢而直接給出a-ω2圖像，并通過圖像為過原點(diǎn)的單調(diào)遞增直線得到a與ω2成正比的結(jié)論[3,4].仔細(xì)思考此推理過程不難發(fā)現(xiàn)其中還有值得推敲之處：指數(shù)大于1的冪函數(shù)圖像均具有類似于拋物線的變化趨勢，為何此處只考慮平方關(guān)系？能否通過更加直接、精確的數(shù)據(jù)處理結(jié)果來說明向心加速度是與角速度的平方成正比？

基于以上原因，本文設(shè)計(jì)了定量探究向心加速度公式的簡易實(shí)驗(yàn)，借助Phyphox軟件測量手機(jī)做圓周運(yùn)動時(shí)a與ω的數(shù)據(jù)，并應(yīng)用Origin軟件進(jìn)行乘冪函數(shù)擬合，從擬合公式中冪指數(shù)的結(jié)果得到向心加速度的公式為a=ω2r，強(qiáng)化學(xué)生的證據(jù)意識，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

2 探究向心加速度公式的簡易實(shí)驗(yàn)素材

為有效利用生活中可做圓周運(yùn)動的物品進(jìn)行探究，此處選取演示效果較好的自行車[5]、脫水菜籃、轉(zhuǎn)椅作為示例.

(1)自行車

將自行車水平放于一左一右兩張椅子上，具體擺放方式見圖1.作為測量端的手機(jī)封入透明袋中，將二者用膠帶固定在后輪上，方便拿取,防止手機(jī)脫落飛出，保持車輪可順暢轉(zhuǎn)動，此時(shí)搖動自行車腳踏即可使后輪轉(zhuǎn)動的同時(shí)帶動手機(jī)做圓周運(yùn)動.

圖1 自行車橫放示意圖(俯視圖)

(2)脫水菜籃

當(dāng)前市面上出現(xiàn)一種脫水菜籃，由上蓋、菜籃和儲水圓盒組成.使用毛巾海綿等質(zhì)量較輕的雜物頂住手機(jī)使之固定于菜籃中，為避免菜籃無法平衡導(dǎo)致轉(zhuǎn)動不順暢，在另一端放置與手機(jī)質(zhì)量相當(dāng)?shù)奈锲纷鳛榕渲?，具體放置方式如圖2.轉(zhuǎn)動上蓋的手柄即可帶動內(nèi)部菜籃中的手機(jī)進(jìn)行圓周運(yùn)動.

圖2 用海綿將手機(jī)固定于脫水菜籃中

(3)轉(zhuǎn)椅

將生活中常見的轉(zhuǎn)椅倒放如圖3，手機(jī)固定在其中一個(gè)可自由轉(zhuǎn)動的椅腳，當(dāng)撥動椅腳時(shí)可帶動手機(jī)做圓周運(yùn)動.

經(jīng)筆者多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，以上3種生活器材在探究向心加速度公式時(shí)均具有很好的實(shí)驗(yàn)效果，可供師生自行選擇.本文將以自行車為例，對實(shí)驗(yàn)過程及數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)介紹.

圖3 手機(jī)固定于倒放轉(zhuǎn)椅的椅腳處

3 基于Phyphox軟件的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集

德國亞琛工業(yè)大學(xué)的S.Staacks 等人開發(fā)的Phyphox軟件,可調(diào)用手機(jī)中的傳感器實(shí)現(xiàn)對加速度、角速度、壓力、光照強(qiáng)度等基本物理量的測量[6].圖4為部分傳感器位置示意圖，由于傳感器模塊的位置接近手機(jī)的幾何中心，因此,設(shè)手機(jī)的幾何中心為起點(diǎn)，自行車后輪的轉(zhuǎn)動中心為終點(diǎn)，用直尺測量二者的距離記為轉(zhuǎn)動半徑值

r=0.230 0 m

圖4 華為手機(jī)上部分傳感器位置示意圖

為實(shí)時(shí)顯示手機(jī)做圓周運(yùn)動時(shí)對應(yīng)的向心加速度a與角速度ω，在手機(jī)端Phyphox軟件的向心加速度模塊設(shè)置允許遠(yuǎn)程訪問，以從電腦端控制數(shù)據(jù)的采集過程.以自行車為例，后續(xù)實(shí)驗(yàn)操作步驟如下：

(1)點(diǎn)擊手機(jī)端的“?”開始測量，隨即從慢到快搖動自行車腳踏，使測量手機(jī)做角速度不斷變大的圓周運(yùn)動.在此過程中，學(xué)生能每隔0.5 s實(shí)時(shí)觀察到手機(jī)從慢到快做圓周運(yùn)動時(shí)，電腦端a-ω坐標(biāo)軸上對應(yīng)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，且數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布趨勢有類似拋物線的特征.

(2)當(dāng)呈現(xiàn)出連續(xù)、完整的數(shù)據(jù)圖像時(shí)，從電腦端點(diǎn)擊停止測量，此時(shí)Phyphox軟件的界面即為本次實(shí)驗(yàn)測量所得的a-ω散點(diǎn)圖，最后導(dǎo)出含有時(shí)間t、加速度a和角速度ω的Excel數(shù)據(jù)表格.為方便對比實(shí)驗(yàn)效果，圖5為手機(jī)在3種生活物品上做圓周運(yùn)動后手機(jī)端實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖.

(a)自行車輪

(b)脫水菜藍(lán)

(c)轉(zhuǎn)椅

分析可知，3組數(shù)據(jù)點(diǎn)呈現(xiàn)的趨勢均是過原點(diǎn)在第一象限的單調(diào)遞增曲線，向心加速度隨角速度增大而增大，具有拋物線的部分特征.但僅以此趨勢不能直接判斷a與ω為二次函數(shù)關(guān)系，因?yàn)橹笖?shù)大于1的冪函數(shù)在第一象限都有可能出現(xiàn)這樣的曲線特征，如圖6所示為y=x1.5,y=x2,y=x3,y=x4等4種冪函數(shù)的圖像.此時(shí)如何確認(rèn)a是與ω2成正比，而非與ω的其他次方成正比關(guān)系？為了解決這一問題，本文將應(yīng)用Origin軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，應(yīng)用信息技術(shù)更精確直觀地探尋二者間的關(guān)系.

(a)

(b)

(c)

(d)

4 基于Origin軟件的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

Origin的強(qiáng)大之處在于，可直接調(diào)用函數(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并繪圖，尤其在非線性擬合上可以顯示更多參數(shù)，擬合結(jié)果更加準(zhǔn)確[7].下面以手機(jī)在自行車輪上做圓周運(yùn)動所收集的角速度與向心加速度數(shù)據(jù)為例，用Origin軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

(1)結(jié)合導(dǎo)出數(shù)據(jù)做散點(diǎn)圖

本次實(shí)驗(yàn)共有189組的角速度ω與對應(yīng)向心加速度a，表1為截選的8組數(shù)據(jù).打開Origin軟件，將所有數(shù)據(jù)導(dǎo)入后點(diǎn)擊“散點(diǎn)圖”生成圖像.

表1 手機(jī)在自行車輪上收集的角速度ω與向心加速度a數(shù)據(jù)

(2)選取數(shù)據(jù)擬合函數(shù)模型

由于a-ω散點(diǎn)圖明顯表現(xiàn)為非線性圖像，因此在Origin軟件中選擇非線性曲線擬合.根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)所呈現(xiàn)的趨勢具有乘冪函數(shù)的曲線特征，我們選擇乘冪函數(shù)模型(Allometric)，以y=axb的擬合公式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.

(3)分析擬合公式得到結(jié)論

圖7為數(shù)據(jù)以乘冪函數(shù)擬合的結(jié)果，其中“R平方(COD)”一欄作為擬合程度的指標(biāo)，其數(shù)值越接近1表示函數(shù)與實(shí)際值的擬合程度越好.本次擬合曲線的R2值高達(dá)0.999 9，代表擬合程度良好.根據(jù)擬合公式，a與ω滿足關(guān)系式

a=0.228 3ω2.011 4

(1)

圖7 以乘冪函數(shù)模型進(jìn)行擬合的結(jié)果

由式(1)可知，ω的指數(shù)為2.011 4，能更精確直觀地呈現(xiàn)出在誤差允許的范圍內(nèi)a與ω2成正比關(guān)系.擬合公式的系數(shù)為0.228 3，對比實(shí)驗(yàn)前用直尺測量的轉(zhuǎn)動半徑值r=0.230 0 m，二者誤差僅為0.739 1%.可見，本次定量探究的數(shù)據(jù)顯示向心加速度、角速度與轉(zhuǎn)動半徑三者的關(guān)系滿足a=ω2r.用相同方法處理手機(jī)在脫水菜籃、轉(zhuǎn)椅上做圓周運(yùn)動時(shí)的數(shù)據(jù)結(jié)果，均可得到此結(jié)論.

5 結(jié)束語

相比于自制教具，結(jié)合Phyphox軟件取材日常生活的簡易實(shí)驗(yàn)可操作性強(qiáng)，且制作成本低、制作時(shí)間短，并能有效解決角速度與向心加速度難以測量的痛點(diǎn)，因此，本文介紹的3種生活用品均可用于教師課堂演示實(shí)驗(yàn)及學(xué)生課外動手實(shí)驗(yàn)，拓展了探究實(shí)驗(yàn)的實(shí)施空間.此外，本文借助Origin軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，以擬合公式中ω的指數(shù)2.011 4為依據(jù)呈現(xiàn)向心加速度與角速度平方成正比的關(guān)系，避免了只通過數(shù)據(jù)點(diǎn)的大致趨勢判斷變量間的函數(shù)關(guān)系，而缺乏嚴(yán)謹(jǐn)思維過程的問題.為學(xué)生完整而清晰地展現(xiàn)從原始數(shù)據(jù)到實(shí)驗(yàn)結(jié)論的思維過程，體現(xiàn)物理學(xué)研究的邏輯性.