付建斌，康愷

（1.國家能源集團(tuán)甘肅電力有限公司，蘭州 730070；2.成都地鐵運(yùn)營有限公司，成都 610066）

0 引言

隨著工業(yè)的發(fā)展，機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用于反恐防爆、工業(yè)裝配等領(lǐng)域，它有著十分典型的多輸入多輸出的復(fù)雜系統(tǒng)，它有著非線性、時變不確定等特點(diǎn)[1～2]。近年來，許多學(xué)者在機(jī)械臂軌跡跟蹤的問題中使用了各種各樣的算法，如：滑模算法、自適應(yīng)算法、迭代學(xué)習(xí)控制算法等等。其中，迭代學(xué)習(xí)算法不依賴數(shù)學(xué)模型，且能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時間內(nèi)的完全跟蹤[3]。但在實(shí)際情況中，系統(tǒng)總是存在各種不確定性的干擾[4]，而迭代學(xué)習(xí)控制的魯棒性差，在一定程度上影響了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而滑模控制策略最顯著的優(yōu)點(diǎn)在于其魯棒性好，所以能夠在建模不確定性和干擾存在的情況下更好的保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]。與整數(shù)階微積分相比，分?jǐn)?shù)階微分和積分過程更具魯棒性[6]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由于分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)由于其具有記憶性和遺傳性，控制效果更具柔性，開始應(yīng)用于冶金、化工、機(jī)械等工業(yè)過程[7]。目前，在工程控制領(lǐng)域之中，應(yīng)用比較多的分?jǐn)?shù)階微積分定義形式分別有以下三種：Grunwald-Letnikov(GL)定義、Riemann-Liouville(RL)定義以及Caputo定義形式。其中，由于Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分較其他兩種來說，其形式簡單，方便了許多學(xué)者的研究過程，所以得到了廣泛的應(yīng)用。

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分、迭代學(xué)習(xí)控制以及滑模控制已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航天、電機(jī)、機(jī)械臂等控制領(lǐng)域之中[8～11]。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種PDα型分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)算法，但并沒有討論α的取值問題。文獻(xiàn)文獻(xiàn)[13]為提高感應(yīng)電機(jī)控制性能，根據(jù)積分滑?？刂坪臀⒎e分理論，提出動態(tài)分?jǐn)?shù)階滑模控制，但是忽略了滑?？刂频钠娈愋詥栴}。文獻(xiàn)[14]將滑?？刂扑惴ㄅc迭代學(xué)習(xí)控制算法相結(jié)合來提高系統(tǒng)的魯棒性，但是忽略了滑?？刂扑鶐淼亩墩瘳F(xiàn)象。文獻(xiàn)[15]針對一類不確定系統(tǒng)的跟蹤控制的問題，提出了一種將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與干擾觀測器相結(jié)合的非奇異快速終端滑模控制方法，但是滑模本質(zhì)上控制具有不連續(xù)性，在實(shí)際工程運(yùn)用過程中，抖振問題可能會導(dǎo)致系統(tǒng)高頻振蕩，導(dǎo)致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[16]將滑?？刂扑惴ㄅc神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法相結(jié)合提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制，盡管在一定程度上削弱了抖振現(xiàn)象，但沒有實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂關(guān)節(jié)的完全跟蹤，且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)過程復(fù)雜。

基于以上文獻(xiàn)的分析，為了實(shí)現(xiàn)對機(jī)械臂關(guān)節(jié)的快速穩(wěn)定跟蹤，本文提出了一種基于非奇異快速終端滑模的分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制策略，采用變指數(shù)冪次滑模趨近律，能夠自行調(diào)整趨近律的冪次項(xiàng)，提高了控制系統(tǒng)的精度。削弱了了傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}，加快了系統(tǒng)收斂到穩(wěn)定點(diǎn)的速度，增強(qiáng)了傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制的抗干擾能力，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂關(guān)節(jié)的完全跟蹤。圖1為控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 控制結(jié)構(gòu)框圖

1 基礎(chǔ)理論

n關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)模型如下：

式(2)中，Γ(·)為Gamma函數(shù)。

取PDα型分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制律為：

式(3)中，L與Γ分別為比例增益矩陣與微分增益矩陣。

2 非奇異快速終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 滑模趨近律的設(shè)計(jì)與分析

根據(jù)滑模控制的原理，滑?？蛇_(dá)性條件只保證狀態(tài)空間中任意位置的運(yùn)動點(diǎn)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，但沒有對到達(dá)滑模面具體的軌跡進(jìn)行約束，趨近律可以提高到達(dá)滑模面的動態(tài)質(zhì)量。傳統(tǒng)的冪次趨近律為：=?k1signa(s)，k1>0，在遠(yuǎn)離滑模面s<<0或s<<0時存在趨近速度過小的問題。針對這一問題，本文提出的趨近律如式(4)所示：

其中，0

相較于傳統(tǒng)的冪次趨近律，式4的趨近律的冪次項(xiàng)是可變的，所以通過滑模面s的取值，自適應(yīng)地改變趨近律中的指數(shù)項(xiàng)參數(shù)，從而在不同的階段分別得到較快的收斂速率。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，趨近律第一項(xiàng)-k1s保證系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時，趨近律第二項(xiàng)-k2丨s丨bsign(s)保證系統(tǒng)穩(wěn)定到達(dá)滑模面，減小了控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

2.2 非奇異終端滑模面的設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的滑模面為：

其中，r、a1、a2為正常數(shù)，q、p為正奇數(shù)，所以e，·e沒有負(fù)指數(shù)項(xiàng)，保證滑模面沒有奇異性問題。

令式(5)等于零可得：

對式(6)兩側(cè)進(jìn)行積分，可得：

所以機(jī)械臂系統(tǒng)從滑模面到系統(tǒng)平衡點(diǎn)所需時間是一定的。

2.3 控制律設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

結(jié)合式(1)、式(4)及式(8)可得控制律為：

穩(wěn)定性分析：

選取如下式所示的李雅普諾夫函數(shù)：

對上式求導(dǎo)可得：

將式(1)、式(9)代入式(11)可得：

由李雅普諾夫定理可知，因?yàn)閂＞≤0，所以本文設(shè)計(jì)的控制器是漸近穩(wěn)定的。

則整個控制器的控制律為：

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)定

為了驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性，通過MATLAB軟件對系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分?jǐn)?shù)階模塊建模采用FOMCON[17]。仿真對象選用二關(guān)節(jié)機(jī)械臂，模型中各矩陣的表達(dá)式為：

其中，v=14，q01=8.98，q02=8.75，g=9.8。

系統(tǒng)初始狀態(tài)為：[q1q2q3q4]=[0310]，取L=[1000;0100]，Γ=[2000;0200]。k1=k2=4，b=0.5，a1=a2=0.2，r=2，q=5，p=3，迭代次數(shù)為10次。期望軌跡為q1d=sin(3t)和q2d=cos(3t)。

利用以下三種控制方法進(jìn)行比較分析：

方法一：傳統(tǒng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制策略；

方法二：傳統(tǒng)終端滑模控制策略；

方法三：本文所設(shè)計(jì)方法。

3.2 仿真結(jié)果

從本文所設(shè)計(jì)的PDα型迭代學(xué)習(xí)控制律可以看出，α的取值會影響系統(tǒng)的控制精度和控制效果。因此，α值的選取非常重要。下面以基于PDα型分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制為例，從位置誤差范數(shù)的收斂情況來討論α的取值。圖2為在不同α值下位置誤差范數(shù)的最大絕對值的收斂過程。從圖2可以看出，當(dāng)α的值大于0.1時，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的誤差范數(shù)會逐漸增大，特別是當(dāng)值達(dá)到0.5時，誤差范數(shù)急劇增加。又因?yàn)楫?dāng)α的值小于0.1時仿真運(yùn)行時間大大增加，不利于實(shí)際情況。所以，當(dāng)α的值為0.1左右時，機(jī)械臂兩個關(guān)節(jié)的位置誤差范數(shù)的值是最小的。因此，設(shè)置分?jǐn)?shù)階α的值為0.1。

圖2 不同α值下位置誤差范數(shù)的收斂過程

首先為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制策略的性能指標(biāo)，設(shè)定期望軌跡為階躍信號，圖3為三種控制策略下的單位階躍響應(yīng)曲線，表1為性能指標(biāo)。由圖3及表1可知，所設(shè)計(jì)控制策略滿足穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能指標(biāo)。

圖3 階躍響應(yīng)曲線

表1 性能指標(biāo)數(shù)值

當(dāng)輸入正弦信號時，為驗(yàn)證控制器的魯棒性，在仿真的第3s，引入一個峰值為1000，時間域度為0.1的高斯干擾，利用本文所設(shè)計(jì)控制策略通過與傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制進(jìn)行仿真對比，圖4為引入干擾后機(jī)械臂關(guān)節(jié)的位置跟蹤曲線，通過比較分析得出：在引入分?jǐn)?shù)階微積分以及滑?？刂撇呗院?，迭代學(xué)習(xí)控制本身固有的抗干擾能力差的現(xiàn)象有所減弱，控制系統(tǒng)的抗干擾能力明顯加強(qiáng)。

圖4 干擾下位置跟蹤誤差曲線

圖5為在方法一與方法三下兩個關(guān)節(jié)位置誤差范數(shù)收斂過程曲線，表2是隨迭代次數(shù)增加而變化的位置誤差范數(shù)最大絕對值的變化情況。對比可得如下結(jié)論：

表2 隨迭代次數(shù)增加而變化的速度跟蹤誤差最大絕對值數(shù)值 (rad)

圖5 位置誤差范數(shù)收斂過程曲線

1）方法一下的位置誤差范數(shù)最大值為0.9419rad、0.1497rad，最小值為0.0914rad、0.0135rad；

2）本文所設(shè)計(jì)方法下為最大值為0.1085rad、0.0271rad，最小值為0.0183rad、0.0092rad；

所以，在本文所設(shè)計(jì)控制策略下機(jī)械臂關(guān)節(jié)的位置誤差范數(shù)值更小，收斂速度更快。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的的削弱抖振能力，通過與傳統(tǒng)的終端滑模控制策略進(jìn)行比較分析。圖6為兩種控制策略下的控制力矩曲線，由圖6可知，在本文所設(shè)計(jì)的控制策略下，控制系統(tǒng)的抖振更小，即削弱抖振的能力更強(qiáng)。

圖6 控制輸入比較曲線

圖7為三種控制方法下的位置軌跡跟蹤過程，其中，方法一與方法三下為10次迭代后的跟蹤曲線。通過對比分析，可以得出：本文所設(shè)計(jì)的控制器可使機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的跟蹤速度顯著加快，與期望軌跡更加貼近，跟蹤性也能更好。

圖7 位置軌跡跟蹤結(jié)果比較

4 結(jié)語

為提高機(jī)械臂控制精度，本文分別提出基于分?jǐn)?shù)階微積分理論、迭代學(xué)習(xí)控制以及滑?？刂铺岢龌诜瞧娈惪焖俳K端滑模的分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制策略，得到如下結(jié)論：

1）本文設(shè)計(jì)的控制策略與傳統(tǒng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制策略相比，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的的抗干擾能力更好，即魯棒性更強(qiáng)。同時，機(jī)械臂兩個關(guān)節(jié)位置誤差范數(shù)最大值減小了0.8334rad、0.1226rad，位置誤差范數(shù)最小值減小了0.0731rad、0.0043rad，所以在本文所提方法下機(jī)械臂兩個關(guān)節(jié)的跟蹤效果更好，兩個關(guān)節(jié)的跟蹤誤差更小。

2）與傳統(tǒng)終端滑?？刂撇呗韵啾龋疚乃O(shè)計(jì)的控制策略對抖振的削弱能力更好，收斂速度更快，即控制器更加的穩(wěn)定。而在三種不同控制策略下，本文所設(shè)計(jì)的控制器使機(jī)械臂關(guān)節(jié)的位置跟蹤效果更好，控制精度更好。