鄭傳濤, 馬琰銘, 劉大勇, 劉 洋, 宋 芳

(吉林大學(xué) a. 電子科學(xué)與工程學(xué)院; b. 通信工程學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

“信息論”是電子學(xué)科研究生專業(yè)的必修課程, 揭示了信息的本質(zhì)特性和規(guī)律, 其主要研究如何提高信息系統(tǒng)的可靠性、 有效性、 保密性和認證性, 以及使信息系統(tǒng)最優(yōu)化[1-3]。近年來, 在信息理論的指導(dǎo)下, 信息技術(shù)不斷發(fā)展, 在自然科學(xué)與社會科學(xué)等領(lǐng)域也有所延伸, 誕生了如光學(xué)信息論、 醫(yī)學(xué)信息論等新分支、 新領(lǐng)域[4-5]。信息論將信息的傳遞作為一種統(tǒng)計現(xiàn)象考慮, 因此具有一定的普適性, 對其他學(xué)科的發(fā)展具有一定的指導(dǎo)意義[1,6]。

在教學(xué)方面, 學(xué)習(xí)信息論的基礎(chǔ)是理解信息的概念和掌握基于概率統(tǒng)計的信息度量方法, 因此需要從感性的認知和嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)兩個層次入手。在傳統(tǒng)的信息論教學(xué)中, 基本概念、 公式推導(dǎo)和習(xí)題講解占據(jù)課堂的主體部分, 而缺乏對信息論具體應(yīng)用的直觀講解。因此, 針對信息論教學(xué)中該環(huán)節(jié)的缺失, 發(fā)揮信息論對信息本質(zhì)研究的指導(dǎo)作用, 需要建立一套能輔助講解信息論有關(guān)概念、 且實驗現(xiàn)象直觀的教研系統(tǒng)。在科研方面, 波長調(diào)制光譜技術(shù)是一種高靈敏的吸收光譜技術(shù), 具有選擇性好、 壽命長、 精度高和靈敏度高等優(yōu)點, 并能實現(xiàn)對待測氣體的實時檢測[7-8], 近年已成為衡量氣體檢測領(lǐng)域的研究熱點。該技術(shù)在掃描氣體吸收線的同時使用高頻正弦波調(diào)制可調(diào)諧激光二極管, 通過對光電探測器的輸出信號進行正交鎖相放大處理, 得到正比于氣體濃度的諧波信號。測量過程伴隨著信息的傳輸, 根據(jù)信號不增性原理, 探測到的信號相對于真值發(fā)生了信息的損失, 這意味著測得數(shù)據(jù)的有效性受損[4,6,9]。為定量評估測量數(shù)據(jù)的有效性, 需要在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上通過信息論的有關(guān)理論對傳感信息進行評估。因此, 建立紅外氣體傳感系統(tǒng)的信息度量方法在科研方面也具有重要意義。

針對信息論教學(xué)需求以及波長調(diào)制光譜技術(shù)理論分析和科研需要, 筆者采用Matlab軟件建立了波長調(diào)制光譜技術(shù)的理論模型, 仿真了激光調(diào)制、 氣體吸收、 光電轉(zhuǎn)換和諧波提取等各個環(huán)節(jié)。結(jié)合信息論中噪聲熵、 信道傳輸矩陣、 信息傳輸效率等相關(guān)原理, 定義了最小可分辨的濃度間隔。根據(jù)波長調(diào)制光譜技術(shù)理論模型, 評估了系統(tǒng)噪聲的主要來源, 研究了系統(tǒng)噪聲對最小可分辨間隔的影響。根據(jù)系統(tǒng)實際測量數(shù)據(jù), 計算了系統(tǒng)的最小可分辨間隔。應(yīng)用實踐表明, 該紅外氣體傳感信息度量教學(xué)科研系統(tǒng)及相關(guān)方法, 滿足了信息論課程教學(xué)要求以及波長調(diào)制光譜技術(shù)的科研需要, 取得了較好的教學(xué)與科研效果。

1 波長調(diào)制光譜技術(shù)建模與仿真

如圖1a所示, 紅外氣體傳感系統(tǒng)通過測量實際氣體濃度(假設(shè)為X), 得到測量濃度(假設(shè)為Y), 由于傳感系統(tǒng)受光學(xué)、 電學(xué)等噪聲的影響, 測量濃度Y呈現(xiàn)一定的隨機性。因此通過Y得到的關(guān)于X的信息與其客觀存在的信息并不嚴格相等, 即造成了傳感信息的損失。紅外吸收光譜法具有靈敏度高、 響應(yīng)速度快和非接觸測量等優(yōu)點, 可調(diào)諧二極管激光吸收光譜技術(shù)是一種經(jīng)典的紅外吸收光譜檢測技術(shù)[8]?？刂萍す獠ㄩL掃描氣體的特征吸收譜線, 當(dāng)激光與待測氣體相互作用時, 根據(jù)朗伯-比爾定律, 波長位于氣體吸收線附近的光能量被氣體分子吸收, 導(dǎo)致透射光強度減弱。通過光電探測器探測光強的變化, 可反演得到待測氣體的濃度信息[8,10]?？烧{(diào)諧二極管激光吸收光譜技術(shù)主要包括直接吸收光譜與波長調(diào)制光譜兩種技術(shù)類型。在波長調(diào)制光譜技術(shù)中, 激光器的驅(qū)動信號中疊加了調(diào)制作用的高頻正弦信號, 利用鎖相放大技術(shù)提取出二次諧波信號, 降低了隨機噪聲的影響。波長調(diào)制光譜技術(shù)的原理如圖1b所示。

圖1 基于波長調(diào)制光譜的紅外氣體傳感系統(tǒng)的信息傳遞模型與檢測原理Fig.1 Information transmission model and detection principle of infrared gas sensing system based on wavelength modulation spectroscopy

激光器的驅(qū)動信號由起掃描作用的三角波和起調(diào)制作用的高頻正弦波疊加形成, 激光器的驅(qū)動電流為

i(t)=i0+ibcos(wt)

(1)

其中i0為激光器的偏置電流,ib為電流調(diào)制幅度,w為調(diào)制信號的角頻率。輸出激光的波數(shù)與光強分別為

v(t)=v0+vmcos(wt)

(2)

I0(t)=I0+ηI0cos(wt)

(3)

其中v0為光源的中心頻率,vm為頻率調(diào)制幅度,I0為初始光強,η為光強調(diào)制系數(shù)。透射光I與入射光I0滿足朗伯-比爾定律

I(v)=I0(v)exp[-α(v)CL]

(4)

其中α(v)為吸收系數(shù),L為吸收光程,C為待測氣體濃度。在弱吸收條件下, 滿足α(v)CL?1, 則式(4)可近似為

I(v)=I0(v)[1-α(v)CL]

(5)

將α(v)進行傅里葉展開, 得到

(6)

其中An為吸收系數(shù)的n級傅里葉級數(shù)的系數(shù), 當(dāng)vm較小時,An正比于α(v)的n階導(dǎo)數(shù), 且n次諧波信號的幅值Sn如下[10]

(7)

Sn∝I0CLAn

(8)

可見,Sn正比于初始光強、 氣體濃度、 吸收光程和吸收系數(shù)的n級傅里葉級數(shù)的系數(shù)。因此, 只要測得n次諧波的幅值, 根據(jù)標(biāo)定關(guān)系可得到氣體濃度。在實際應(yīng)用中一般使用二次諧波信號表征氣體濃度[10-15]。

使用Matlab軟件對上述基于波長調(diào)制光譜的氣體檢測過程進行仿真。選取位于3 291 nm處的甲烷吸收線, 設(shè)置甲烷濃度為100×10-6。掃描信號----三角波的頻率為5 Hz, 調(diào)制信號----正弦波的頻率為5 000 Hz。仿真得到的透射光強I的波形如圖2a所示。在吸收波長處, 由于激光光強被氣體分子吸收, 信號出現(xiàn)了凹陷。將該信號分別與頻率為10 000 Hz的同相和正交信號相乘, 再進行低通濾波, 得到同相分量(I)與正交分量(Q)。由于低通濾波的信號可能為負, 因此, 在兩分量中加入固定的偏置保證信號為正值, 將這兩個信號平方相加后開方, 從而消除相位差的影響。實際測得的信號波形如圖2b所示。進行基線擬合后(見圖2c), 得到了幅值正比于氣體濃度的二次諧波信號, 如圖2d所示。

圖2 波長調(diào)制光譜技術(shù)的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of wavelength modulation absorption spectroscopy technique

2 傳感信息度量方法

2.1 轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)圖1a, 測量氣體濃度過程是一個傳遞信息過程。假設(shè)待測氣體濃度是已知的、 確定的值, 但在測量中, 由于噪聲影響, 實際測得濃度值會分布在一個特定的范圍內(nèi), 如果測量幾個比較接近的真值, 實際測得的幾組濃度值可能會發(fā)生交疊。此時, 對一個特定的測量值, 不能確定這個測量值對應(yīng)的真值。與精確的濃度信息相比, 得到的濃度信息比較模糊, 即在這個過程中存在信息的損失。因此, 需要建立一種傳感信息度量方法, 可定量描述測量過程中信息的損失及其對測量濃度的影響。根據(jù)香農(nóng)信息論, 即使測得氣體濃度, 獲得一部分關(guān)于實際氣體濃度的信息量, 但對實際氣體濃度X仍然存在不確定性。此時, 通過傳感系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣可描述信息傳輸與損失情況[1], 進而使用傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率和最小可分辨濃度間隔可評估傳感系統(tǒng)的信息傳輸有效性。

將發(fā)送信源(氣體的真實濃度)用隨機變量X表示, 其取值為{x1,x2,…,xn},n為濃度的取值個數(shù)。通過傳感系統(tǒng)處理后, 輸出變量(測量的氣體濃度)為Y, 取值為{y1,y2,…,yr}。如果沒有噪聲,X與Y存在確定的對應(yīng)關(guān)系, 如測量x1, 接收端必然接收到y(tǒng)1?？紤]傳感系統(tǒng)的噪聲, 發(fā)送某個x時, 傳感器輸出的y不是確定值。該過程采用轉(zhuǎn)移概率描述, 即

P(y|x)=P(y=yb|x=xa),b=1,2,…,r;a=1,2,…,n

(9)

式(9)給出了當(dāng)實際的氣體濃度為xa時, 傳感器輸出濃度為yb的概率?？紤]所有實際濃度與測量濃度的情況, 可將傳感器的轉(zhuǎn)移特性寫為矩陣形式, 如表1所示。

轉(zhuǎn)移矩陣描述了實際濃度與測量濃度之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系, 可進一步使用平均互信息描述通信后得到的信息量。信源X的信息量與Y的信息量可分別表示為

(10)

(11)

表1 轉(zhuǎn)移矩陣

通過傳感器輸出濃度Y獲得的關(guān)于實際濃度X的信息量稱為互信息量, 計算式如下

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)

(12)

其中H(XY)為X、Y的聯(lián)合信息量, 可由

(13)

計算。其中P(xy)=P(x)P(y|x)為聯(lián)合概率密度。

2.2 傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率和最小可分辨濃度間隔

轉(zhuǎn)移矩陣建立了實際濃度與測量濃度的相互關(guān)系, 由轉(zhuǎn)移矩陣和式(12)可計算傳感系統(tǒng)輸出的信息量[4,9]。在度量紅外氣體檢測系統(tǒng)的檢測精度時, 可將傳感器等效為離散有噪信道, 其輸入是一組離散氣體濃度值, 如100×10-6、110×10-6、120×10-6。受噪聲影響, 當(dāng)設(shè)定濃度為100×10-6時, 測得的濃度可能偏離實際值, 從而造成了混淆。假設(shè)待測的氣體具有多個濃度值, 將測得的濃度值量化后劃分至指定區(qū)間, 用區(qū)間頻率代替概率, 可計算出轉(zhuǎn)移概率。將每個濃度區(qū)間的轉(zhuǎn)移概率寫成矩陣的形式, 可得轉(zhuǎn)移矩陣, 再結(jié)合式(10)～式(13)可定量計算信息量的損失。

為衡量在一定濃度范圍內(nèi)測量濃度的混淆程度, 可選擇多組等概率的氣體樣品作為輸入信源X的符號集。在實際應(yīng)用中, 可依次配置這些濃度的氣體樣品, 各樣品間互不干擾, 因此可認為選擇每個氣體濃度的概率相等, 此時可得H(X)=-log2(1/n), 其中n為待測氣體樣品個數(shù)。

計算互信息時, 首先確定輸入變量X與輸出變量Y可能的取值, 輸入變量取值為設(shè)置的濃度。針對輸出變量, 首先, 確定測得濃度的最大值與最小值； 其次, 對采集到的數(shù)據(jù)進行量化和分組, 統(tǒng)計各組的頻次, 計算出轉(zhuǎn)移概率P(y|x)； 然后, 計算Y的概率分布P(y)和H(Y)； 最后, 計算XY的聯(lián)合概率分布P(xy)和聯(lián)合熵H(XY), 最終計算得到互信息量I(X;Y)。

定義紅外氣體傳感器的信息傳遞效率η, 用于衡量系統(tǒng)傳輸信息的能力,η越大, 說明系統(tǒng)傳輸傳感信息的能力越強, 受到的干擾越小。即有

(14)

圖3 當(dāng)實際濃度X={100,101,102,103,104,105}×10-6時, 模擬得到的傳感器測量濃度的分布Fig.3 Under the case of practical concentrationinformation source X={100,101,102,103,104,105}×10-6,the simulated distribution of the measured concentration

作為示例, 選取6個等間隔的濃度點{100,101,102,103,104,105}×10-6作為傳感器的輸入信源X, 此時n=6, 濃度間隔Δx=1×10-6。通過模擬方法, 隨機生成了間隔為1×10-6、 標(biāo)準差為0.5×10-6的6組濃度數(shù)據(jù), 每個濃度點下生成10 000個濃度值。對各組濃度數(shù)據(jù)進行高斯擬合, 得到各個濃度測量值的歸一化頻數(shù)曲線, 如圖3所示。輸出濃度的取值范圍為(98～107)×10-6。由于將傳感器等效為離散有噪信道, 將連續(xù)的歸一化頻數(shù)曲線離散化, 得到一組用于構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣的離散濃度點。令離散化的濃度間隔為Δy=0.1×10-6, 將離散化區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)累加作為該區(qū)間濃度點的頻數(shù), 比如[100×10-6,100.1×10-6]區(qū)間, 統(tǒng)一使用區(qū)間左端點(100×10-6)作為區(qū)間濃度以及累加后的頻數(shù)值作為區(qū)間頻率。根據(jù)圖3概率分布, 計算離散化后各區(qū)間的概率分布, 從而得到傳感器的輸出信源Y。發(fā)送信源的熵H(X)=-1/6log2(1/6)=2.585(bit/符號), 接收信源的熵H(Y)=6.081(bit/符號), 聯(lián)合熵H(XY)=6.952(bit/符號), 平均互信息I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)=1.714(bit/符號), 對應(yīng)的信息傳遞效率η=66.4%。

在保持輸入濃度間隔不變的前提下(即保持Δx=1×10-6), 通過改變測量濃度的標(biāo)準差(定義為σ, 代表傳感系統(tǒng)的噪聲水平)與濃度間隔(表明傳感系統(tǒng)區(qū)分濃度的能力)的比值研究接收端獲得的互信息與信息傳遞效率的變化, 二者可分別通過式(12)、 式(14)計算得到。如圖4a所示, 隨著σ/Δx的增大,I(X;Y)與η逐漸降低, 這是由于當(dāng)Δx不變時, 隨著σ的增大, 不同組中的測量數(shù)據(jù)的重疊程度增大, 使測量濃度之間變得更難以區(qū)分, 即信息量降低。在一定的噪聲水平下(即σ一定時), 當(dāng)互信息量達到輸入信息量即η=100%時, 定義相應(yīng)的濃度間隔為傳感器的最小可分辨濃度間隔Δxmin。根據(jù)圖4, 計算得到傳感系統(tǒng)的最小可分辨間隔為Δxmin=2.8×10-6。其中X={100,101,102,103,104,105}×10-6。

圖4 信息傳遞效率、 互信息量隨標(biāo)準差與濃度間隔比值的變化曲線Fig.4 Curve of information transmission efficiency and mutual information versus the ratio between the standard deviation and concentration interval

3 傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率分析

為評估實際的紅外氣體傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率, 選擇吸收較強的中紅外3 038.5 cm-1的甲烷吸收線作為目標(biāo)吸收線, 建立了基于波長調(diào)制光譜技術(shù)的中紅外甲烷檢測系統(tǒng)。使用中心發(fā)射波長為3 291 nm的帶間級聯(lián)激光器, 氣室的光程為26 m, 采用熱電制冷紅外探測器探測紅外光信號。通過測量氮氣背景下的系統(tǒng)輸出濃度評估系統(tǒng)的噪聲水平。

圖5a給出了對系統(tǒng)背景噪聲進行長時間測量得到的甲烷濃度值, 測量時間為2 000 s, 標(biāo)準差σ=0.15×10-6。圖5b給出了測量濃度的頻數(shù)分布直方圖與概率分布的擬合曲線?？梢钥闯? 測量的濃度數(shù)據(jù)近似服從高斯分布。利用圖5a得到的濃度分布, 將發(fā)送信源X的濃度個數(shù)設(shè)置為6組, 濃度間隔設(shè)置為Δx=0.1×10-6。

傳感器實際測得的濃度(接收信源Y)分布如圖5c所示。圖5d給出了系統(tǒng)艾倫標(biāo)準差隨積分時間的變化曲線。當(dāng)積分時間為1 s時, 艾倫標(biāo)準差為0.15×10-6(等于標(biāo)準差)。隨著積分時間的增加, 艾倫標(biāo)準差逐漸下降, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨之增強。當(dāng)積分時間為200 s時, 艾倫標(biāo)準差達到0.02×10-6。

圖5 在氮氣環(huán)境下, 對傳感器背景濃度數(shù)據(jù)的測量、 分布和艾倫標(biāo)準差分析Fig.5 Measurement results, distribution and Allan deviation analysis on background concentration of the sensor system in N2 atmosphere

通過改變濃度間隔Δx, 探究了Δx對傳感器的互信息和信息傳遞效率的影響, 如圖6a,圖6b所示。隨著Δx的增大, 互信息量增加, 當(dāng)Δx足夠大時, 互信息等于信源的信息熵, 此時信息傳遞效率為100%。當(dāng)積分時間分別為1 s、5 s、10 s、20 s、100 s和200 s時, 最小可分辨的濃度間隔分別為0.83×10-6、0.78×10-6、0.56×10-6、0.44×10-6、0.22×10-6和0.11×10-6。圖6c為最小可分辨濃度間隔隨積分時間的變化曲線。隨著積分時間的增加, 最小可分辨濃度間隔逐漸減小, 對應(yīng)的噪聲水平隨之降低, 系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。

圖6 不同積分時間下, 對傳感器互信息、 信息傳遞效率和最小可分辨濃度間隔的分析Fig.6 Analysis of mutual information, information transmission efficiency and the minimum resolvable concentration interval of the sensor system

4 結(jié) 語

筆者針對“信息論”課程的教學(xué)需求、 波長調(diào)制光譜技術(shù)的噪聲分析與傳感系統(tǒng)的長時間工作穩(wěn)定性評估的需要, 首先建立了紅外氣體傳感系統(tǒng)的信息傳輸模型以及波長調(diào)制光譜技術(shù)的理論模型, 使用Matlab軟件對波長調(diào)制光譜技術(shù)進行了仿真。結(jié)合“信息論”中相關(guān)理論, 給出了轉(zhuǎn)移矩陣、 信源熵、 互信息等數(shù)學(xué)表達式, 分析了氣體傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率、 最小可分辨濃度間隔等特性。利用傳感器長時間穩(wěn)定性的實際測量結(jié)果, 分析了傳感系統(tǒng)的信息傳遞效率、 最小可分辨濃度間隔隨系統(tǒng)積分時間的變化特性。本文給出的紅外氣體傳感系統(tǒng)的信息度量方法滿足“信息論”課程的教學(xué)需求以及波長調(diào)制光譜技術(shù)的科研需要, 取得了較好的教學(xué)與科研效果。