孫振東,王苗苗

(1.山東科技大學電氣與自動化工程學院，山東青島266590;2.中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院系統(tǒng)控制重點實驗室，北京100190)

切換線性系統(tǒng)由多個線性子系統(tǒng)和一個在子系統(tǒng)間進行切換的監(jiān)控裝置組成.這類系統(tǒng)包含取值于連續(xù)空間的系統(tǒng)動態(tài)、取值于離散空間的切換動態(tài)、及其相互作用，是一類基本而典型的混合動態(tài)系統(tǒng).切換系統(tǒng)為復雜系統(tǒng)建模和控制設計提供了行之有效的體系架構.經(jīng)過近30年研究，對切換系統(tǒng)的探索已取得巨大進展，包括能控性、能穩(wěn)性、魯棒性、適應性等性能[1-5].已有的部分工作表明，切換控制在改進系統(tǒng)暫態(tài)性能方面具有巨大潛力[6-7].然而，現(xiàn)有的多數(shù)切換設計方法可能引起高頻切換或控制信號躍變，損害整體系統(tǒng)的暫態(tài)性能，從而限制了切換控制的可應用性.

經(jīng)典頻域方法在工程應用上的一個突出優(yōu)勢是可以對系統(tǒng)的暫態(tài)性能進行評估和優(yōu)化[8].與之相比，基于時域分析的現(xiàn)代控制理論尚缺乏優(yōu)化復雜系統(tǒng)暫態(tài)性能的基本工具.即便對線性系統(tǒng)，針對暫態(tài)性能的研究成果還遠未完善[9-10]，而對非線性系統(tǒng)超調(diào)控制的研究更是鳳毛麟角[11-12].利用多模型切換優(yōu)化系統(tǒng)暫態(tài)性能的文獻參見文獻[13-14].

本文探索連續(xù)時間切換線性自治系統(tǒng)的綜合性能優(yōu)化，力圖通過有效的切換策略設計實現(xiàn)包括狀態(tài)模超調(diào)，調(diào)節(jié)時間和指數(shù)收斂速率的多目標優(yōu)化.該多目標優(yōu)化是建立在整個時間空間的分階段優(yōu)化，各階段的時間窗口依賴于初始條件，因此無法通過預測控制進行滾動式優(yōu)化.另一方面，優(yōu)化的變量是切換策略而非傳統(tǒng)的控制輸入，缺乏基于變分法的最優(yōu)控制方法.

強化學習是3種基本機器學習范式之一，它關注智能體如何在不確定環(huán)境/非平穩(wěn)過程中采取行動以獲得最大獎賞或最小成本[15].對于給定的成本和初態(tài)，智能體要尋求適當?shù)男袆硬呗砸垣@取最優(yōu)的長期(強化)收益[16].切換系統(tǒng)具有多模態(tài)切換和清晰的執(zhí)行-監(jiān)控雙層結構，所以將切換信號構成行動策略空間，利用強化學習對切換規(guī)則的優(yōu)化設計可以探索切換系統(tǒng)的最優(yōu)控制和最優(yōu)資源配置等優(yōu)化問題.但是，對二次型(積分)形式的優(yōu)化函數(shù)，盡管基于自適應動態(tài)規(guī)劃/強化學習的最優(yōu)控制方法已成功應用于離散時間切換系統(tǒng)的優(yōu)化設計[17-18]；對連續(xù)時間切換系統(tǒng)，由于行動取值于連續(xù)空間，難以實現(xiàn)有效搜索[19]，迄今為止，在文獻上仍未見強化學習對連續(xù)時間切換系統(tǒng)的有效處理.

本文借鑒強化學習的算法思路[20-21]，通過分路徑模壓縮的設計方法，在無窮的切換策略中汲取有限個行為策略，通過對有限行為策略的串接擴展實現(xiàn)強化信號(系統(tǒng)性能)的迭代優(yōu)化.選擇強化學習方法的優(yōu)勢包括:1) 利用行為→獎賞模式模擬切換邏輯動態(tài)與連續(xù)動態(tài)性能的交互；2) 對切換策略空間進行有效離散化，可在優(yōu)化目標收斂性和計算復雜度間取得良好平衡；3) 對切換策略的離散化(而不是采樣)可避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生.由于優(yōu)化策略是依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài)的，不同初態(tài)會對應截然不同的行為動作.本文發(fā)展有效結合動態(tài)系統(tǒng)分析和策略驅(qū)動學習的優(yōu)化算法，分別給出超調(diào)、調(diào)節(jié)時間和指數(shù)收斂率的優(yōu)化估計.

1 預備知識

本文考慮不含輸入的連續(xù)時間切換線性自治系統(tǒng)

(1)

切換路徑是定義在有限時間區(qū)間的切換信號.設切換路徑θ是定義在區(qū)間[0，s)上的， 則定義|θ|=s.給定切換路徑θ1和θ2，定義其串接(coneatenation)θ1∧θ2為

(θ1∧θ2)(t)=

多個切換路徑的串接可類同定義.

設t0，t1，…，tk是切換路徑θ的切換時間，則此路徑對應的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

Φθ=

eAσ(tk)(|θ|-tk)eAσ(tk-1)(tk-tk-1)…eAσ(t1)(t2-t1)eAσ(t0)(t1-t0).

定義1稱切換系統(tǒng)(1)為可指數(shù)鎮(zhèn)定的，若存在正實數(shù)α,β及切換信號σ，使得

‖φ(t;0,x0,σ)‖≤βe-αt‖x0‖,

?x0∈Rn,t≥0.

這里α稱為指數(shù)收斂率.

引理1[2]切換系統(tǒng)(1)是可指數(shù)鎮(zhèn)定的充要條件是對任意γ>0,存在有限個切換路徑θi，i=1，2,…,l，滿足

?x0∈Rn.

(2)

定義2對切換系統(tǒng)(1)，設初態(tài)x0≠0,定義x0對應的(狀態(tài)模)超調(diào)是

注1上述關于系統(tǒng)超調(diào)的定義與經(jīng)典概念有區(qū)別：這里考慮的是切換系統(tǒng)在鎮(zhèn)定設計基礎上的超調(diào)量，因此假設狀態(tài)收斂到原點且初值非零.這實際上結合了經(jīng)典控制中的超調(diào)和欠調(diào)概念.顯見，若系統(tǒng)可指數(shù)鎮(zhèn)定，則每個非原點初態(tài)對應的超調(diào)是有限的.

定義3對切換系統(tǒng)(1)，設初態(tài)x0≠0,給定∈(0,1).定義x0對應的-調(diào)節(jié)時間是

TS(x0,‖x0‖}.

注2可以證明，如果系統(tǒng)可指數(shù)鎮(zhèn)定，那么對任給正實數(shù)，系統(tǒng)具有有限的-調(diào)節(jié)時間.反之亦然.

2 問題的提出和分解

本文針對切換系統(tǒng)(1)，探索系統(tǒng)綜合性能的優(yōu)化設計，針對給定的系統(tǒng)初態(tài)，實現(xiàn)包括超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和指數(shù)收斂率的優(yōu)化計算.為此，作以下假設：

假設1系統(tǒng)(1)可指數(shù)鎮(zhèn)定.

k=1,2,…,

類似可定義?！?

固定初態(tài)x0≠0和≠(0,1).不妨設‖x0‖=1(否則令x0x0/‖x0‖).

考慮到優(yōu)化目標的基本特征，分3個階段進行設計.

第一階段，優(yōu)化指標為超調(diào)，即

這里VEO是VO(x0)的上界估計.

第二階段，在超調(diào)約束下優(yōu)化調(diào)節(jié)時間，即

TES=min{|θ|:?θ∈?！辳.t.‖φ(τ;0,x0,

第三階段，在超調(diào)和優(yōu)化時間約束下優(yōu)化指數(shù)收斂率，即

進一步，選取θ(近似)滿足上述要求.

完成這3步設計后，切換信號θ即為尋求的優(yōu)化解.

3 主要結果

3.1 系統(tǒng)分析

記H1為Rn上的單位球面.對任一壓縮基路徑θi，i=1，2,…,l,定義其對應的單位球上的壓縮區(qū)域

Ωi={x0∈H1:‖φ(si;0,x0,θi)‖≤γ‖x0‖},

i=1,2,…,l.

進一步，定義

利用S-步驟(S-procedure)技術，可以證明

(3)

其中Vsmin是矩陣的最小奇異值.從計算角度，利用上式通過自適應采樣和奇異值分解技術可求得Li.記L=max{L1,L2,…,Ll}.

引理2VO≤L.

證明對任意x0∈H1,利用文獻[2]§4.4.1給出的分路徑狀態(tài)反饋切換策略，存在切換路徑

θ=θj1∧θj2∧…∈Γ∞,

使得系統(tǒng)軌線φ(t;0，x0，θ)指數(shù)收斂.令

ti=|θji|,xi=φ(ti;0,xi-1,θ),i=1,2,….

注意到xi∈Ωji,i=1,2,…，于是有

引理得證.

注3引理2給出系統(tǒng)超調(diào)的上界估計.這一估計的精度取決于基壓縮路徑庫的豐度.一般地，系統(tǒng)超調(diào)是難以精確求得的.

引理3對任意的初態(tài)x0，在分路徑狀態(tài)反饋切換策略下有

‖φ(t;0,x0,θ)‖≤β0e-α0t‖x0‖.

(4)

證明在分路徑狀態(tài)反饋切換策略下有

‖φ(|θj1|+|θj2|+…+|θjk|;0,x0,θ)‖≤γk,

k=1,2,….

由此可知

由此可知系統(tǒng)漸近收斂率不小于α0.另一方面，考慮系統(tǒng)在[0,|θj1|)上的動態(tài)，設τ滿足

eα0τ‖φ(τ;0,x0,θ)‖=

利用軌線端點狀態(tài)模信息，可得

消去τ，可知

記x1=φ(|θj1|;0,x0,θ)類似可以證明

eα0t‖φ(t;0,x0,θ)‖≤eα0(t-|θj1|)‖φ(t-|θj1|;

0,x1,θ)‖≤β0,t∈[|θj1|,|θj1|+|θj2|).

如此繼續(xù)下去，引理得證.

‖φ(t;0,x0,θ)‖≤‖x0‖.

(5)

由定義3，引理得證.

3.2 優(yōu)化算法

對特定的初態(tài)，其對應的超調(diào)和調(diào)節(jié)時間一般遠小于系統(tǒng)的超調(diào)和調(diào)節(jié)時間.借鑒強化學習的優(yōu)化思路，以下分別給出求解超調(diào)和調(diào)節(jié)時間的算法設計.

3.2.1 求解超調(diào)估計量VEO的學習算法

第k步：對Λ中每個路徑θ，逐一進行以下計算.

2) 判斷是否Λ=?

(a) 若是，輸出VEO,算法結束

注4在此算法中，切換策略庫Λ一方面隨著k增加進行了更多層的串接，同時又不斷被修剪(pruning).數(shù)值計算中，系統(tǒng)軌線{φ(t;0,x0,θ):t∈[0,|θ|]}可以用Runge-Kutta四階法數(shù)值求解.由于系統(tǒng)軌線可視作多條局部軌線的聯(lián)接，其求解可分配到不同的計算步驟中，每步只需保存末端狀態(tài)值即可.

命題1求解超調(diào)估計量VEO的學習算法在有限步結束.

3.2.2 求解調(diào)節(jié)時間估計量TES的學習算法

第k步：對Λ中每個路徑θ，逐一進行以下計算.

(b) 若否，進一步檢查是否VOθ≤L

2) 判斷是否Λ=?

(a) 若是，輸出TES,算法結束

注5容易證明，本算法在有限步結束，給出在超調(diào)約束下的調(diào)節(jié)時間優(yōu)化估計VEO.

3.2.3 求解收斂速率估計量REC的學習算法

第k步：對Λ中每個路徑θ，逐一進行以下計算.

2) 判斷是否Λ=?

(a) 若是，輸出REC算法結束

注6容易證明，本算法在有限步結束，給出在超調(diào)和調(diào)節(jié)時間約束下收斂速率的優(yōu)化估計REC.

4 仿真例子

考慮帶兩個子系統(tǒng)的三階切換系統(tǒng)：

(6)

其中

可以證明，不存在切換路徑實現(xiàn)整個狀態(tài)空間的模壓縮[參見文獻[22]，Corollary 3.12].另一方面， 取γ=0.95,通過計算可以設計12個切換路徑對整個狀態(tài)空間分段模壓縮.進一步，依據(jù)引理2和引理4可以分別求出系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)節(jié)時間的上界

表1 學習算法執(zhí)行的相關參數(shù)

圖1是優(yōu)化后的系統(tǒng)軌線仿真.

圖1 超調(diào)優(yōu)化的系統(tǒng)軌線Fig.1System trajectory for overshoot optimization

進一步，在超調(diào)約束下執(zhí)行求解調(diào)節(jié)時間估計量TES的學習算法，獲得優(yōu)化的調(diào)節(jié)時間16.715 5 s.有趣的是，對應的超調(diào)為1.243 3,比單純優(yōu)化超調(diào)得到更優(yōu)的超調(diào).在此基礎上，給定時間區(qū)間[0,100],繼續(xù)優(yōu)化指數(shù)收斂率.圖2是整體性能優(yōu)化后的系統(tǒng)軌線仿真.

圖2 整體性能優(yōu)化的系統(tǒng)軌線Fig.2System trajectory for overall performance optimization

5 結 論

針對連續(xù)時間切換線性自治系統(tǒng)，借鑒強化學習思路和分路徑模壓縮的設計方法，通過對有限行為策略的串接擴展實現(xiàn)系統(tǒng)性能的迭代優(yōu)化.進一步，發(fā)展有效結合動態(tài)系統(tǒng)分析和策略驅(qū)動學習的優(yōu)化算法，分別給出超調(diào)、調(diào)節(jié)時間和指數(shù)收斂率的優(yōu)化估計.