李 桃

(廣德市實驗小學教育集團西校區(qū) 安徽宣城 242200)

引言

“田忌賽馬中的對策問題”屬于“數(shù)學廣角”領域，這個領域的教學主要是通過一些較簡單的事例滲透一些重要的數(shù)學思想與方法。在教學實踐中，有的教師把這類課上成了簡單的游戲活動課，課堂活動過程形式化，熱鬧的背后實質上是學生缺乏思考、歸納，收獲甚微。筆者曾在安徽省小學數(shù)學教學專業(yè)委員會學術年會教學觀摩研討活動中執(zhí)教過這節(jié)課，并且制作的微課曾獲得安徽省一等獎。2021年，筆者又將本節(jié)課濃縮精華，攝制的精品課獲評省級精品課。結合對本課的多次研究，筆者現(xiàn)將自己的教學思路進行整理，并與同行共研。

【課前思考】本課以田忌賽馬的故事為教學藍本，引導學生通過游戲探究、體驗對策，積累相應的活動經驗。學生通過課外閱讀已經了解這個故事，但并沒能用數(shù)學的眼光去分析故事。如何抓住數(shù)學的本質，引發(fā)學生深度思考，讓課堂更具有“數(shù)學味”，筆者設計如下教學情境。

課前游戲：逃牌游戲

游戲規(guī)則：大牌可以壓小牌，也可以選擇不壓牌，大的一方繼續(xù)出牌，先出完者獲勝。(雙方牌分別是3、10、K和7、10、大王)

若生選大牌，師就先出。師先出10，生不管怎么出牌結果都是教師贏。

師生再戰(zhàn)。(先出10是關鍵)

【思考】課前師生體驗“逃牌”游戲，通過“逃牌”游戲激活學生已有的生活經驗。引導學生發(fā)現(xiàn)游戲策略，學會思考，認識到在比賽或游戲中策略的重要性，激發(fā)學生的策略意識。

一、游戲導入，初步感知

(一)直觀演示，明確規(guī)則

1.師：想不想繼續(xù)玩撲克牌游戲？要思考怎樣在游戲中獲勝。

2.宣布游戲規(guī)則。

師：接下來的這個游戲的規(guī)則和課前游戲的規(guī)則是不一樣的，怎么玩呢？(利用多媒體出示游戲規(guī)則，見圖1)

師：紅牌和黑牌選哪種顏色的三張牌會贏？為什么？

師：猜一猜，哪方會獲勝？(學生討論)

3.出示：紅牌10、7、4，黑牌3、2、A。(見圖2)

師：如果你選黑牌，你覺得你會贏嗎？

得出結論：紅牌和黑牌雙方大小懸殊明顯，勝負分明，這樣的比賽是不公平的。

(二)變化點數(shù)，繼續(xù)感知

師：實力懸殊太大，這樣的比賽不公平，那么將牌換一換，黑牌換成9、6、3。繼續(xù)思考，黑牌有贏的可能嗎？觀察比較紅牌和黑牌的三張牌的點數(shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？(學生得出黑牌略小的結論)

師：這樣換過后，黑牌略小，結果又會如何？你認為哪方能獲勝？說說你的理由。

【思考】以撲克牌游戲替代田忌賽馬故事情境，激活了學生已有的生活經驗。學生可以自主體驗，積累活動經驗，為后續(xù)探究、歸納做好鋪墊。

二、再次游戲，探究對策

(一)拋出問題，突破思維定式

師：有沒有其他的應對策略？有的話，一共有幾種？在這些策略中黑牌是不是一定沒有機會獲勝？(利用多媒體出示學習任務單)

同桌合作，填寫學習任務單。(見圖3)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1黑牌2黑牌3黑牌4黑牌5黑牌6

(二)分層反饋，感受有序思考

1.匯報不完整的、無序的方法。

2.匯報完事的、有序的方法。(預設從無序到有序)

生：紅牌出10，黑牌出9，后面3和6交換位置是兩種方法；紅牌出10，黑牌可以先出6，3和9交換位置也是兩種方法；紅牌出10，黑牌出3，后面6和9交換位置又是兩種方法，一共是六種方法，列式為2×3=6。

(三)感受黑牌(弱方)取勝的策略

1.初步感受策略

師：請看表格，在這么多策略中你發(fā)現(xiàn)了什么？(見圖4)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1963紅黑牌2936紅黑牌3693紅黑牌4639紅黑牌5396黑黑牌6369紅

師：思考一下，黑牌贏的那一次有什么高明之處？

生:用最小對最大。

師:你這拿最小敵最大，不是拿雞蛋碰石頭嗎？

生:我是要留著大牌放后面呢！

生:用黑牌中的9對紅牌中的7黑牌贏，用黑牌中的6對紅牌中的5又是黑牌贏，三局兩勝，黑牌勝。

2.感受有序思考、擇優(yōu)選用思想

師：我們是怎樣發(fā)現(xiàn)且確定只有這一種方法才能取勝的？

預設：排列法，有序地以一張牌固定開頭……

得出方法：有序列舉。

【思考】在游戲中，引導學生體會有序思考的運用，使學生在對比、交流中初步感受取勝策略的本質特征。引導學生有序排列、列舉填表、相互對比，經歷運用數(shù)學方法分析實踐、尋求最優(yōu)策略的過程，積累活動經驗。

三、多次體驗，總結取勝策略

(一)再次體驗，初步提煉

課件出示(見圖5)：

師：為什么6和9只能換成5和8，不能再換小，3卻可以換成2和1甚至再小也行？

生:黑牌最大的牌對紅牌中等的7，要比7大，所以最小是8。黑牌中等的牌要對紅牌最小的4，比4大是5，所以最小也是黑牌5，才能保證黑牌后兩局贏。

(二)提煉最優(yōu)策略

師：要想黑牌在比賽中獲勝，該怎樣做？

師：最小的黑牌與最大的紅牌PK，結果肯定是輸，這是一種應對策略，這一步的目的是什么？(板書：全盤考慮)

師:那如果將黑牌換成8、5、1，你覺得黑牌能贏嗎？

師生比賽，學生從實踐中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要求教師先出牌。

師：從再次比賽中，你又有了什么新的發(fā)現(xiàn)？(板書：知己知彼)

【思考】為了能更好地引導學生理解比較抽象的策略方法，教師為學生搭建好探究活動的“腳手架”，讓學生全員參與探究，真正提高教學的有效性。通過不斷嘗試，學生逐漸明晰使用策略能獲勝的前提、方法、特征，教師在潛移默化中滲透了數(shù)學方法。

四、解析“田忌賽馬”，內化對策略的理解

(一)課件出示“田忌賽馬”視頻

1.引導學生思考

思考：第一次比賽，為什么田忌全都輸了？并觀看馬速對比圖(見圖6)。

2.引導學生思考

思考：田忌怎樣出馬才能贏？師生運用Flash動畫軟件進行比賽演示，再現(xiàn)田忌賽馬贏的場景(見圖7)。

3.總結分析

分析發(fā)現(xiàn)：調換出場順序以弱勝強的策略稱為“田忌賽馬”策略。

(二)比較玩牌游戲和田忌賽馬的共同點

師：回憶一下剛才的玩牌游戲與田忌賽馬的故事，其有什么共同之處？

對比分析：弱者后出，以最小對最大，以最大對中等，以中等對最小。

【思考】通過對比“田忌賽馬”和玩牌游戲，不同的比賽用的是相同的對策，引導學生從本質上認識到二者的“同”，對策略有了更高層面的理解和內化。

五、鞏固應用，拓展深化

出示巧兵布陣(課本107頁第3題)。

師：生活中也會用到這樣的對策，你有用過或聽過嗎？(學生自由舉例)

課件出示(見圖8)：

師：根據數(shù)據你了解到什么？

學生用連線法分析對陣情況。

學生展示討論結果，提出將名字用字母或數(shù)字符號代替，簡化解決問題的過程。(見圖9)

師：方法多樣，只要保證五局三勝即可。

【思考】有效利用教材資源。本題設計不僅是方法的鞏固，更體現(xiàn)了方法的多樣性。通過本題練習鞏固學生對“田忌賽馬”策略的掌握，使學生再次感受到策略的重要性。同時學生提出用字母或數(shù)字符號代替學生姓名，簡化解決問題的過程，說明學生具有符號意識，抽象推理能力得到提高。

六、課堂總結，延伸課外

師：通過這節(jié)課的學習，各位同學有什么收獲想和大家分享嗎？

師：生活中我們面對的問題并不是一成不變的，還有許多不同于“田忌賽馬”式的對策。當我們面對一場比賽或競爭時，我們要善于觀察、勤于思考、學會分析、講究策略，這樣才能取得最終的勝利。

拓展延伸：搶王牌游戲。

師：今天的這節(jié)課就要結束了，但我們的游戲還將繼續(xù)，老師之后還會和大家PK，你們敢不敢接受挑戰(zhàn)？課后和同學玩一玩，看誰能找出搶到王牌的必勝策略，老師等著你來挑戰(zhàn)。

課件出示(見圖10)：

【思考】到此，本節(jié)課的學習即將結束，學生在親身體驗中深刻感受到“田忌賽馬中的對策問題”，然而，生活中的對策是變化多樣的，通過拓展游戲的設計讓學生將學習引向縱深，激發(fā)學生探究的欲望。搶王牌游戲是根據課本中的內容改編的，其中的策略不盡相同，相信學生一定能在探索搶到王牌的必勝策略中提升思維，體會到學習的樂趣，以及對策思想的應用價值。

七、總結

(一)板書設計(見圖11)

(二)教學思考

1.尊重學習起點，加深體驗力度

教學之前，筆者做了前測，從前測分析結果中發(fā)現(xiàn)，大約90%的孩子已經知道田忌賽馬的故事，知道兩次比賽的結果，大約10%的孩子能用連線的方式表達比賽策略。可是大部分的孩子熟知故事，卻沒有從數(shù)學的角度分析和思考。如果僅僅局限于故事，忽略學生已有的生活經驗，那將是沒有數(shù)學味的數(shù)學課。因此，只有將“做”與“思”有機結合，讓全體學生參與到游戲過程中，讓學生在體驗中探究策略，將外化的“做”濃縮為內隱的“思”，這樣學生的個性才能得到發(fā)展，才能提高課堂教學的有效性。

2.精選學習素材，提高探究有效度

學習素材是師生共同研討的文本，針對這節(jié)課的教材內容筆者進行了大膽的處理。首先，對教材內容進行改造、加工，用游戲“比撲克牌的大小”代替故事“田忌賽馬”。其次，將教材中的“拍球比賽”改為“巧兵布陣”，訓練學生嚴謹、周密的思維，使其體會策略的多樣性，拓展學生對不同策略的認識。最后，為了能更好地實現(xiàn)學以致用的目標，將教材第108頁的“報數(shù)”游戲改為“搶王牌”游戲。這樣，整節(jié)課將玩牌游戲貫穿始終，并延伸課外。

3.落實深度學習，巧設探究坡度

學生根據生活經驗可能會找到獲勝的方法，而我們的教學不應止步于此，而是要引導學生發(fā)現(xiàn)其內在的本質(對策思想)。為了能更好地使學生理解比較抽象的知識，教師有必要為學生搭建好探究活動的“腳手架”，讓更多學生參與到探究中來。筆者設計了多樣化的“撲克牌比大小”游戲，讓學生在活動中體驗、感悟對策?！耙馔狻钡氖∽寣W生“醒悟”，學生要求老師先出什么牌，然后采用田忌賽馬的對策，最終獲取勝利。學生有了反偵察能力，說明這節(jié)課他們不僅僅理解了“田忌賽馬”策略，而且策略意識已經深深地走進了學生的內心深處。通過層層剝筍法，學生的思維得到發(fā)展，學生善于發(fā)現(xiàn)、交流、提煉，在立與破中不斷完善認識，對策略的認識更為全面、立體、深入。

“數(shù)學廣角”對學生數(shù)學核心素養(yǎng)提升的作用不容小覷。教師要抓住數(shù)學的本質，真正落實深度學習，這樣課堂才能煥發(fā)出生命的光彩，學生才能學會用數(shù)學的眼光看待問題。