唐鵬翔，張曉美

（吉林醫(yī)藥學(xué)院藥學(xué)院，吉林 132013）

0 引言

中國(guó)是世界上人口最多的發(fā)展中國(guó)家，隨著老齡化進(jìn)程加速，養(yǎng)老服務(wù)問(wèn)題日益突出，增加養(yǎng)老服務(wù)床位是一個(gè)亟待解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，參考中國(guó)統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)［1］、中國(guó)民政部公報(bào)［2］等相關(guān)數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)模型，對(duì)未來(lái)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)量進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行綜合研判，可以對(duì)未來(lái)養(yǎng)老工作的開(kāi)展提供便利，更好地服務(wù)國(guó)家戰(zhàn)略，為將來(lái)中國(guó)老齡化問(wèn)題提供一條解決思路。

譚英花在《上海機(jī)構(gòu)養(yǎng)老資源配置研究》［3］中利用曲線參數(shù)估計(jì)模型和年齡模型對(duì)養(yǎng)老資源進(jìn)行預(yù)測(cè)，從微觀和宏觀兩個(gè)層面構(gòu)建資源的評(píng)價(jià)體系。徐宗煌［4］在《基于多元回歸模型的養(yǎng)老床位需求預(yù)測(cè)》中利用Leslie 矩陣模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位數(shù)量情況。王子鑫等［5］在《養(yǎng)老服務(wù)床位需求預(yù)測(cè)與運(yùn)營(yíng)模式模型分析》中使用多元線性回歸模型和Dijkstra 算法解決了養(yǎng)老床位需求問(wèn)題。

本文通過(guò)中國(guó)統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)和民政部公報(bào)提供的數(shù)據(jù)，建立養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的logistic 模型、ARMA 模型，使用MATLAB 和Eviews 兩種軟件計(jì)算得到我國(guó)未來(lái)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)；另外建立養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例的數(shù)學(xué)模型，65 歲以上的老年人口的指數(shù)模型也可以得到未來(lái)我國(guó)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的變化情況，并對(duì)這三種預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文所使用的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)來(lái)自中華人民共和國(guó)民政部2006年后的年度統(tǒng)計(jì)公報(bào)。65歲以上老年人口數(shù)來(lái)源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

2 模型的建立與計(jì)算

2.1 模型1：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的logistic模型

根據(jù)民政部公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)統(tǒng)計(jì)情況（見(jiàn)表1），使用MATLAB 對(duì)表1 數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖（以2006年為初始時(shí)刻0），結(jié)果如圖1所示。

表1 民政部公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)統(tǒng)計(jì)情況萬(wàn)張

圖1 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)變化情況散點(diǎn)圖

從已有數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析可知，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)在增加，但是增加幅度在逐漸減緩。從趨勢(shì)上看，符合“S”型曲線趨勢(shì)［6］。從機(jī)理上分析老年人養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)量變化，由中國(guó)民政部每年年度公報(bào)中發(fā)布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)可知，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)雖然在不斷增加，但是由于建設(shè)資源、選擇意愿等因素對(duì)老年人養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)增長(zhǎng)起到了阻滯作用，并且隨著時(shí)間的推移，阻滯作用越來(lái)越大。因此，對(duì)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)設(shè)立阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）。

設(shè)第t年的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)為x(t)，年增長(zhǎng)率為r，初始養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)為x0，則x(t)滿足的微分方程是：

其中xm為最大養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)。其解為

使用MATLAB 曲線擬合工具箱cftool 進(jìn)行參數(shù)擬合［7］，計(jì)算時(shí)床位數(shù)以百萬(wàn)為單位，得出圖2。

圖2 基于MATLAB養(yǎng)老服務(wù)床位擬合結(jié)果

計(jì)算得xm=9.19，r= 0.2704，擬合優(yōu)度為0.9827，殘差值為1.118，擬合效果較好，故養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測(cè)的logistic模型為

得到養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的預(yù)測(cè)模型后，利用模型計(jì)算相關(guān)已知年份的床位數(shù)據(jù)并與已知數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算結(jié)果與已知數(shù)據(jù)相差較小（見(jiàn)表2）。

表2 模型結(jié)果與實(shí)際比較萬(wàn)張

最后，使用養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)模型進(jìn)行計(jì)算，獲得未來(lái)30年（2020—2050）的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 未來(lái)30年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)據(jù)結(jié)果萬(wàn)張

利用已知和計(jì)算后的數(shù)據(jù)作圖（見(jiàn)圖3），展示后可以看出，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)據(jù)圖像呈“S”曲線，較符合阻滯增長(zhǎng)模型［8］情況，具有良好的預(yù)測(cè)意義。

圖3 logistic模型預(yù)測(cè)結(jié)果圖

通過(guò)所建立的logistic 模型計(jì)算結(jié)果可得，我國(guó)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)將逐年穩(wěn)定至919.0萬(wàn)張。

2.2 模型2：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的自回歸移動(dòng)平均模型

2.2.1 時(shí)間序列自回歸移動(dòng)平均模型

將養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)視為一個(gè)時(shí)間序列{Xt}，可以記為ARMA(p,q)。其中ARMA(p,q)模型［9］的數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為

其中，φ1,…,φp為自回歸系數(shù)，θ1,…,θq為移動(dòng)平均系數(shù)。

2.2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

將2006—2020 年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的數(shù)據(jù)輸入到Eviews 軟件中，對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列的預(yù)處理［10］，首先得到圖4 的時(shí)序圖，該時(shí)序圖中的數(shù)據(jù)呈遞增趨勢(shì)，該圖趨勢(shì)性明顯，而對(duì)于平穩(wěn)序列的要求是時(shí)序圖應(yīng)該要在一個(gè)值附近上下波動(dòng)，所以通過(guò)對(duì)該時(shí)序圖的觀察，該序列不是平穩(wěn)序列［11］。

圖4 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的時(shí)序圖

對(duì)于不平穩(wěn)序列，可以使用差分使其平穩(wěn)化［12］，首先采用一階差分的方法，將數(shù)據(jù)在Eviews 軟件下通過(guò)一階差分得到新序列，然后對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

圖5 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)序列的時(shí)序圖（一階差分后）

進(jìn)行單位根檢驗(yàn)［13］，運(yùn)用Eviews 軟件得到的結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 一階差分后的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)對(duì)表4 的結(jié)果分析，ADF 檢驗(yàn)中t 統(tǒng)計(jì)量為-2.300073，與1%、5%、10%的t 統(tǒng)計(jì)量比較，其更大，則應(yīng)該接受該序列存在單位根的原假設(shè)，所以與上面時(shí)序圖檢驗(yàn)結(jié)果相同，認(rèn)為該序列是不平穩(wěn)的［14］，再將養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)進(jìn)行二次差分處理，結(jié)果如圖6所示。

圖6 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)序列的時(shí)序圖（二階差分后）

再次進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 二階差分后的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

t統(tǒng)計(jì)量相應(yīng)的概率值P=0.0097，非常小，則應(yīng)該拒絕該序列存在單位根的原假設(shè)，認(rèn)為該序列是平穩(wěn)的［15］。

2.2.3 ARMA模型的識(shí)別

養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的ARMA 模型識(shí)別即識(shí)別模型的階數(shù)( )p,q，通常借助序列的相關(guān)圖。

根據(jù)得出的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（見(jiàn)圖7），目前預(yù)測(cè)該模型可為ARMA( 1,1) ，ARMA( 2,2 ),ARMA( 4,4 )等。但是具體選擇哪個(gè)模型，還需要綜合考慮不同模型的各項(xiàng)指標(biāo)，通過(guò)對(duì)比選擇最優(yōu)的一個(gè)模型來(lái)進(jìn)行擬合。

圖7 二階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

2.2.4 ARMA模型的選擇

用Eviews 軟件建立ARMA 模型后，需要對(duì)模型進(jìn)行對(duì)比分析，然后選擇一個(gè)最優(yōu)模型，以下所給出的兩個(gè)模型是經(jīng)過(guò)初步對(duì)比后效果相對(duì)較好的模型，下面就對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行對(duì)比分析選最優(yōu)。

通過(guò)圖8 可以看到，參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量p值都小于0.05，說(shuō)明模型中的參數(shù)估計(jì)顯著非零；決定系數(shù)和調(diào)整后的決定系數(shù)（即R- squared和AdjustedR- squared）分 別 約 為0.820 和0.803；AIC和SBC的 值（即Akaike info criterion 和Schwarz criterion）分別約為8.535和8.167；DW值（即Durbin-Watson stat）約 為1.396［16］。模 型ARMA( )

圖8 建立ARMA（1,2,1）模型結(jié)果

1,2,1 的擬合效果非常好，但是我們要看有沒(méi)有比它更好的模型。

通過(guò)圖9 可知，參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量p值都小于0.05，說(shuō)明模型中的參數(shù)估計(jì)顯著非零；決定系數(shù)和調(diào)整后的決定系數(shù)（即R- squared 和AdjustedR- squared）分 別 約 為0.470 和0.412；AIC和SBC的值分別約為9.599，9.672；DW值（即Durbin-Watson stat）約為1.436。由此可以對(duì)比兩個(gè)模型的各項(xiàng)指標(biāo)，結(jié)果見(jiàn)表6。

圖9 建立ARMA（2，2，2）模型結(jié)果

表6 模型指標(biāo)對(duì)比結(jié)果

由以上五個(gè)指標(biāo)的對(duì)比可以看出，相比之下，ARMA（1，2，1）模型的決定系數(shù)較大，AIC值、SBC值兩模型差別不大［17］。因此，按照簡(jiǎn)單性原則，選擇ARMA（1，2，1）模型，對(duì)擬合模型的殘差序列做純隨機(jī)檢驗(yàn)，對(duì)ARMA（1，2，1）模型進(jìn)行殘差序列相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果如圖10 所示。

通過(guò)圖10，可以得到殘差為純隨機(jī)序列，殘差值較小，選用模型較為恰當(dāng)。因此，可以得到預(yù)測(cè)模型公式（數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)二階微分處理）：

圖10 ARIMA（1，2，1）模型相關(guān)性檢驗(yàn)

繪制預(yù)測(cè)圖，結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 模型擬合效果圖

圖12 模型預(yù)測(cè)圖

從圖11 和圖12 可以看出，模型預(yù)測(cè)效果較好［18］。于是計(jì)算模型預(yù)測(cè)結(jié)果，見(jiàn)表7。

表7 ARIMA（1，2，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果萬(wàn)張

2.3 模型3：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與65歲以上老年人口數(shù)比例的logistic模型

利用已知的中國(guó)民政部官網(wǎng)每年公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)和中國(guó)統(tǒng)計(jì)局65 歲以上老年人口數(shù)據(jù)，計(jì)算床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例，結(jié)果見(jiàn)表8。

表8 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例%

以時(shí)間為橫坐標(biāo)，床位數(shù)與老齡人口的比值為縱坐標(biāo)，繪制散點(diǎn)圖，如圖13所示。

圖13 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例散點(diǎn)圖

圖13 中散點(diǎn)隨著時(shí)間的推移，增長(zhǎng)趨勢(shì)受到阻滯且最終較平穩(wěn)，與logistics 模型曲線較為相似。利用MATLAB 對(duì)時(shí)間和每年床位數(shù)與老齡人口的比值進(jìn)行曲線擬合［19］。利用已知的人口阻滯增長(zhǎng)模型（logistics 模型）來(lái)預(yù)測(cè)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例，結(jié)果如圖14所示。

圖14 床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例擬合結(jié)果

通過(guò)曲線擬合得到：

模型顯示殘差值SSE=1.055，擬合優(yōu)度R=0.939，擬合結(jié)果較好。

模型計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)，見(jiàn)表9。

表9 未來(lái)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例%

通過(guò)擬合結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，未來(lái)隨著時(shí)間推移，床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例逐漸趨于4.78%附近，但是65 歲以上老年人口數(shù)還在增長(zhǎng)，說(shuō)明65 歲以上老年人對(duì)于養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的選擇只有微小增長(zhǎng)，比例較穩(wěn)定。

通過(guò)模型結(jié)果發(fā)現(xiàn)，我國(guó)65 歲以上老年人對(duì)選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的意愿還處于較低水平。造成這一現(xiàn)象可能有多種原因，如家庭狀況等［20］。在我國(guó)65 歲以上老年人口持續(xù)增長(zhǎng)的背景下，我國(guó)應(yīng)加快養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的建設(shè)、完善相關(guān)政策等［21］，養(yǎng)老機(jī)構(gòu)應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)于養(yǎng)老的研究與探索，找到符合我國(guó)或某地區(qū)的合理養(yǎng)老規(guī)劃方案，使更多65 歲以上老年人到養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老，減緩社會(huì)相關(guān)養(yǎng)老壓力［22］。

2.4 模型4：65歲以上老年人口的人口指數(shù)模型

二百多年前，英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，1766—1834）調(diào)查了英國(guó)一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料，得出了人口增長(zhǎng)率不變的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型［23］，本文利用此模型進(jìn)行未來(lái)65歲老年人口數(shù)的短期預(yù)測(cè)。

設(shè)t年后65歲以上人口數(shù)為x(t)，年增長(zhǎng)率為r，初始人口數(shù)為x0，則x(t)滿足的微分方程是：

其解為：

根據(jù)中國(guó)統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)數(shù)據(jù)，得到我國(guó)65 歲以上人口數(shù)據(jù)，見(jiàn)表10。

年份65歲以上人口數(shù)年份65歲以上人口數(shù)1990 6368 2006 10384 1991 6938 2007 10702 1992 7218 2008 11023 1993 7289 2009 11343 1994 7622 2010 11934 1995 7510 2011 12277 1996 7845 2012 12777 1997 8085 2013 13262 1998 8359 2014 13902 1999 8679 2015 14476 2000 8821 2016 15037 2001 9062 2017 15961 2002 9377 2018 16724 2003 9692 2019 17725 2004 9879 2020 19059 2005 10068

相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖（圖15），發(fā)現(xiàn)我國(guó)65 歲以上老年人口從1990 年—2020 年大概呈指數(shù)函數(shù)型增長(zhǎng)。

圖15 我國(guó)65歲以上老年人口散點(diǎn)圖

使用MATLAB 曲線擬合工具箱cftool，進(jìn)行參數(shù)x0,r的計(jì)算，以1990 年為初始年份，其對(duì)應(yīng)的t值為0，擬合結(jié)果如圖16所示。

圖16 65歲以上老年人口指數(shù)模型擬合圖

計(jì)算得x0= 61.61,r= 0.03499，擬合優(yōu)度為0.9805，擬合效果較好，故65 歲以上人口的預(yù)測(cè)模型為

根據(jù)模型4，繪制出擬合效果圖和至2030年65歲以上人口數(shù)的預(yù)測(cè)曲線，結(jié)果如圖17所示。

圖17 65歲以上人口擬合圖預(yù)測(cè)圖

從預(yù)測(cè)值看，到2050 年我國(guó)老年人口將達(dá)到7億，這與實(shí)際情況有一定差距，主要是各種因素影響使人口增長(zhǎng)率為常數(shù)的假設(shè)不成立［24］。但是我國(guó)老年人口數(shù)實(shí)際上還在增加，此人口指數(shù)模型進(jìn)行短期預(yù)測(cè)能起到一定參考作用。

3 模型比較與分析

根據(jù)上海養(yǎng)老網(wǎng)站整理得到民政部2021 年公布養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)，用于不同模型間比較，結(jié)果見(jiàn)表11。

表11 模型預(yù)測(cè)比較萬(wàn)張

通過(guò)表11可知，三個(gè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果中l(wèi)ogistic模型與ARIMR（1，2，1）模型預(yù)測(cè)效果相似且較好，指數(shù)模型預(yù)測(cè)得到65 歲以上老年人口數(shù)，再乘以床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例得到養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測(cè)誤差稍大。但是隨著未來(lái)各種未知因素影響（如：生育政策等），利用該方法進(jìn)行預(yù)測(cè)能及時(shí)調(diào)整，更加動(dòng)態(tài)靈活，也具備一定的預(yù)測(cè)價(jià)值。

4 結(jié)語(yǔ)

本文使用兩種軟件建立四種數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)、床位數(shù)與65 歲以上老年人口比例、65 歲以上老年人口數(shù)。目前2021 年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)僅為821 萬(wàn)張。模型1 計(jì)算結(jié)果顯示2030 年我國(guó)養(yǎng)老服務(wù)床位為911.8 萬(wàn)張；模型2計(jì)算結(jié)果顯示為1121.682 萬(wàn)張，還有較大的提升空間；模型3預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，未來(lái)養(yǎng)老服務(wù)床位與65歲以上老年人口數(shù)比例繼續(xù)呈上升趨勢(shì)，但上升空間較小，在2026 年將逐年穩(wěn)定至4.78%；模型4預(yù)測(cè)結(jié)果顯示未來(lái)65歲以上老年人口數(shù)還會(huì)繼續(xù)增加。

從模型比較和應(yīng)用來(lái)看，根據(jù)歷史養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)建立模型1 和模型2，基于當(dāng)前影響因素條件下進(jìn)行的預(yù)測(cè)。如果未來(lái)出現(xiàn)新的影響因素（如新生育政策等），則需要重新計(jì)算模型系數(shù)，從而保持模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。模型3計(jì)算比例顯示，我國(guó)65 歲以上老年選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的意愿處于較低水平，面對(duì)日益增加的老齡人口，可以改善養(yǎng)老服務(wù)模式，提升養(yǎng)老服務(wù)機(jī)構(gòu)建設(shè)等，從而增加老年人選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的比例［25］。而模型3 和模型4 可以結(jié)合使用，當(dāng)未來(lái)65 歲以上老年人口數(shù)或者65 歲以上老年人選擇養(yǎng)老方式的意愿發(fā)生較大變化時(shí)，調(diào)整其中一個(gè)模型進(jìn)行計(jì)算就能得到預(yù)測(cè)結(jié)果。更加簡(jiǎn)便快捷，能更加適應(yīng)短期內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化調(diào)整，短期內(nèi)時(shí)效性更強(qiáng)?？偟膩?lái)說(shuō)，本文核心研究?jī)?nèi)容是養(yǎng)老服務(wù)床位的需求預(yù)測(cè)，四個(gè)模型各有特點(diǎn)，能適應(yīng)長(zhǎng)期和短期養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測(cè)的需要，也提供了未來(lái)具有不確定性因素影響下的調(diào)整思路。為相關(guān)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的研究提供研究思路，為未來(lái)我國(guó)養(yǎng)老事業(yè)政策的制定和抉擇提供理論依據(jù)。