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        基于微元法思路的空氣阻力系數(shù)測定方法

        2022-12-08 10:19:14吳雨珣方思云陳志華馮卓宏賈翠紅
        物理教師 2022年11期
        關(guān)鍵詞:擺球空氣阻力重力勢能

        吳雨珣 游 雁 方思云 陳志華 馮卓宏,2 賈翠紅,2

        (1.福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院,福建 福州 350117;2.福建師范大學(xué)物理學(xué)國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,福建 福州 350117)

        近幾年來,生活情境問題逐漸被引入中學(xué)物理教學(xué),激發(fā)了學(xué)生的探究熱情,更好地培養(yǎng)學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力,進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).[1,2]與此同時(shí),高考物理卷也通過真實(shí)情境類試題來進(jìn)行能力考核.[3,4]2019年及2020年,北京高考就分別考查了生活中常見的雨滴下落以及旋轉(zhuǎn)籃球的運(yùn)動問題,研究了空氣阻力對物體運(yùn)動狀態(tài)的影響.[5,6]

        空氣阻力系數(shù)是研究空氣阻力的重要參量,與空氣的粘滯系數(shù),物體的運(yùn)動速度以及物體的迎風(fēng)面積有關(guān).[7]空氣阻力是變力,其大小隨著物體運(yùn)動速度的變化而發(fā)生變化,不易于直接測量.針對這類問題,新魯科版物理教材給出了解決思路.必修教材第1冊第2章第2節(jié)在勻變速直線運(yùn)動位移公式推導(dǎo)過程的“方法點(diǎn)撥”中提出了無限元分割求和的方法,必修教材第2冊第1章第1節(jié)機(jī)械功的“拓展一步”中也通過圖像分割法研究變力做功.利用微元法解決變速、變力過程是高中物理的解題方法之一,[8-10]能夠清晰、簡潔地解決相對較復(fù)雜的物理問題,提升對物理概念的理解,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力及開展物理延展式教學(xué)的有利途徑.[11,12]

        在此基礎(chǔ)上,本文利用微元求和思想設(shè)計(jì)了測量空氣阻力系數(shù)的新方法.在原有單擺裝置基礎(chǔ)上,引入高精度轉(zhuǎn)動傳感器作為擺頭,選擇合適長度的細(xì)擺繩及較大尺寸的擺球,使擺球在空氣阻力下做欠阻尼擺動.設(shè)定合適的數(shù)據(jù)采集頻率,測量得到任意時(shí)刻的擺動角度及角速度,計(jì)算微小時(shí)間間隔內(nèi)阻力所做功,并利用微元求和得到多個(gè)周期擺動后空氣阻力所做的總功.以能量守恒為基礎(chǔ),結(jié)合擺球重力勢能改變量準(zhǔn)確測定實(shí)驗(yàn)環(huán)境的空氣阻力系數(shù).

        1 實(shí)驗(yàn)原理及方案

        1.1 實(shí)驗(yàn)原理

        質(zhì)量為m的擺球在豎直面內(nèi)擺動,如圖1所示,擺長為L.設(shè)擺球以初始擺角θ1開始擺動,在擺動過程中分別受到重力、擺繩拉力及空氣阻力的作用,其中,空氣阻力起到阻礙作用,使得擺動幅度逐漸減小.設(shè)擺動n個(gè)周期后擺角減為θ2,此時(shí)擺球的動能為0,擺動過程中重力勢能減少量為

        圖1 實(shí)驗(yàn)原理圖

        某一時(shí)刻擺球受到的空氣阻力f為[13,14]

        式中,B表示阻力系數(shù),v和ω分別表示該時(shí)刻擺球的擺動線速度和角速度.在一較短的時(shí)間間隔Δt內(nèi),擺球擺過角度為Δθ,移動路程為Δs,則空氣阻力所做的功可以表示為

        由能量守恒可知,擺動n個(gè)周期后,擺球重力勢能的變化量等于擺動過程中克服阻力所做的功,即

        聯(lián)立以上式子可得到空氣阻力系數(shù)

        通過PASCO系統(tǒng)實(shí)時(shí)測量擺球的角速度和擺角,得到如圖2所示的ω-θ關(guān)系曲線.在圖像中取微元,如圖2陰影部分,其面積為ωΔθ,再通過微元求和的方式得到曲線下方的總面積∑ωΔθ,代入(5)式就可以準(zhǔn)確測定空氣阻力系數(shù).

        圖2 微元ωΔθ計(jì)算示意圖

        1.2 實(shí)驗(yàn)方案

        本實(shí)驗(yàn)采用PASCO的PS-2020A型轉(zhuǎn)動傳感器作為擺頭.該傳感器通過帶有斷續(xù)器的齒輪切割光電門進(jìn)行轉(zhuǎn)動角度的測量,其內(nèi)部的光學(xué)碼盤每轉(zhuǎn)(360°)有4000個(gè)分度,最大轉(zhuǎn)動速度為每秒30轉(zhuǎn),測量的分辨率為0.09°,能夠?qū)崿F(xiàn)正負(fù)方向角度變化的持續(xù)測量.一輕質(zhì)且線徑較小細(xì)線的一端與轉(zhuǎn)動傳感器三級滑輪的螺栓相系并緊固,保證轉(zhuǎn)動傳感器與擺線同步轉(zhuǎn)動,另一端連接一直徑為0.09914 m,質(zhì)量為0.52886 kg的大擺球,使大擺球在鉛直平面內(nèi)擺動,實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.實(shí)驗(yàn)中,擺長為0.9836 m,采樣頻率為40 Hz,通過PASCO數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)采集擺球擺動的擺角θ和角速度ω.

        圖3 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

        采用大擺球進(jìn)行實(shí)驗(yàn),以增大空氣阻力的作用.實(shí)驗(yàn)前,設(shè)置相同初始擺角,測得安裝轉(zhuǎn)動傳感器情況下,擺球從起擺到靜止所耗費(fèi)的時(shí)間為6分40秒,而擺球直接懸掛于普通擺頭的情況下所耗費(fèi)的時(shí)間為6分43秒.由此可見,轉(zhuǎn)動傳感器的轉(zhuǎn)軸阻力可以忽略,球體在擺動過程中受到的阻力近似只來自于空氣阻力.

        2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

        通過采集軟件得到部分實(shí)時(shí)數(shù)據(jù),如圖4所示.從圖中可見,擺角θ和對應(yīng)的角速度ω均隨時(shí)間呈現(xiàn)周期性變化,擺角最大處角速度為0,擺角為0處角速度最大,但擺動幅度及角速度最大值均隨擺動時(shí)間的增加而逐漸減小.可見,在擺動過程中擺球的機(jī)械能逐漸減少.

        圖4 擺角θ、角速度ω隨時(shí)間t變化規(guī)律

        通過實(shí)時(shí)采集的數(shù)據(jù)就可以描繪角速度ω隨擺角θ變化的ω—θ曲線,如圖5所示.然后利用數(shù)據(jù)處理軟件即可計(jì)算曲線所圍成圖形的總面積∑ωΔθ,進(jìn)而得到實(shí)驗(yàn)環(huán)境下空氣的阻力系數(shù).本實(shí)驗(yàn)中空氣阻力是一個(gè)微小物理量,為使阻力對擺球運(yùn)動狀態(tài)的影響效果更加明顯,圖5中選取了36個(gè)周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行求和計(jì)算.由于空氣阻力做負(fù)功,隨著擺動時(shí)間增加,圖像呈現(xiàn)內(nèi)螺旋狀變化,擺動最高點(diǎn)對應(yīng)的角度及擺動最低點(diǎn)的速度不斷減小.通過origin軟件對ω—θ數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并計(jì)算數(shù)據(jù)采集時(shí)間間隔內(nèi)兩者所圍成的面積,求和所得結(jié)果計(jì)算出擺動36個(gè)周期總面積Sω-θ的大小,即 ∑ωΔθ=58.20 rad2/s.通過原始實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)記錄確定擺角θ1與θ2分別為0.463 rad與0.358 rad,根據(jù)公式 (5)得到實(shí)驗(yàn)環(huán)境下空氣的阻力系數(shù)B=3.788×10-3kg/s.

        圖5 擺動過程中角速度與擺角的關(guān)系

        為了進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性,在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下,探究阻力系數(shù)與擺長的關(guān)系,結(jié)果如表1所示.不同擺長的情況下測得的阻力系數(shù)基本相同,其平均值為3.947×10-3kg/s,均方差大小為0.060,說明該方案重復(fù)可靠性高且測量結(jié)果較為準(zhǔn)確.

        表1 不同擺長的阻力系數(shù)

        3 結(jié)論

        本文利用微元法的思想設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案測量了空氣阻力系數(shù).實(shí)驗(yàn)在單擺裝置基礎(chǔ)上,利用高頻轉(zhuǎn)動傳感器測量擺動過程的實(shí)時(shí)擺角、角速度,計(jì)算微小時(shí)間間隔內(nèi)空氣阻力做功,結(jié)合數(shù)據(jù)處理軟件的積分功能得到了擺動36個(gè)周期后空氣阻力所做總功.以此為基礎(chǔ),通過能量守恒定律,結(jié)合重力勢能改變量測定實(shí)驗(yàn)環(huán)境的空氣阻力系數(shù)為3.947×10-3kg/s.在保證相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境前提下,測量了不同擺長情況下的空氣阻力系數(shù),所得結(jié)果基本一致,證明了該方法的可靠性.

        本實(shí)驗(yàn)方案操作簡單,采集數(shù)據(jù)可靠,結(jié)合數(shù)據(jù)處理軟件能夠快速、準(zhǔn)確地測定空氣的阻力系數(shù),具有一定的應(yīng)用價(jià)值.此外,這種利用微元法處理變力做功問題的思路有助于開闊學(xué)生視野,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,具有實(shí)踐教育意義.

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