葛人杰，張 松+，王仁偉，欒曉娜

(1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué) 機(jī)械工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，山東 濟(jì)南 250061)

1 問題描述

凹形復(fù)雜曲面多用于光學(xué)鏡片[1]，凹形模具[2]等重要零件的表面，是一種應(yīng)用廣泛，加工精度要求高的曲面。而凹球面作為凹形復(fù)雜曲面的一種簡化曲面，研究其表面的輪廓誤差分布規(guī)律對提高凹形曲面加工精度具有十分重要的意義。加工曲面的輪廓誤差預(yù)測是控制曲面加工精度的重要內(nèi)容。加工曲面的輪廓誤差反映了實(shí)際加工形成的曲面與理論設(shè)計(jì)曲面的偏離程度，是衡量曲面加工精度的重要指標(biāo)之一。而曲面的加工精度對曲面的力學(xué)性能和表面功能起到了決定性的作用[3]。三坐標(biāo)測量儀(Coordinate Measuring Machine，CMM)由于其精確性常用于對加工后的表面進(jìn)行測量，通過比較實(shí)測坐標(biāo)與理論坐標(biāo)的差值即可得到零件表面的輪廓誤差。測點(diǎn)密度對銑削輪廓誤差的測量精度具有直接影響，但是隨著測點(diǎn)密度的增大，測量效率和測量成本也相應(yīng)提高。空間克里金插值法通過考慮數(shù)據(jù)空間分布相關(guān)性，從而根據(jù)有限采樣點(diǎn)的分布規(guī)律對未采樣點(diǎn)進(jìn)行最優(yōu)無偏估計(jì)。因此，研究克里金插值預(yù)測輪廓誤差對提高銑削輪廓誤差的測量效率具有重要意義。

空間克里金插值是空間數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，近些年來空間數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)在工件表面誤差分析方面取得了一定成果。地理學(xué)第一定律指出，所有事物或現(xiàn)象在空間上都是有聯(lián)系的，但相距近的事物或現(xiàn)象之間的聯(lián)系一般較相距遠(yuǎn)的事物或現(xiàn)象間的聯(lián)系要緊密[4]。SURIANO等[5]指出在一定的空間間隔內(nèi)測量加工表面的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)確實(shí)表現(xiàn)出很大的自相關(guān)性。這是因?yàn)樵诳臻g相近的加工區(qū)域之間，它們的加工工藝參數(shù)(切削速度、進(jìn)給量、切削深度)是相近的，且刀具和工件材料的性質(zhì)也是相近的[6]。YANG等[7]提出一種利用空間統(tǒng)計(jì)量估計(jì)形狀誤差的方法，通過對5種常用的加工表面形狀誤差的估計(jì)，驗(yàn)證了該方法的有效性。費(fèi)蘭等[8]運(yùn)用泛克里金插值法，以少量數(shù)據(jù)點(diǎn)對發(fā)動(dòng)機(jī)缸體表面的平面度誤差進(jìn)行估計(jì)，提出的方法比傳統(tǒng)的最小二乘估計(jì)法精度提高了5%～10%。DU等[9]利用協(xié)同克里金插值方法，將刀具振動(dòng)通過交叉變異函數(shù)考慮到對平面和曲面的形狀誤差預(yù)測中，驗(yàn)證了考慮加工條件的協(xié)同克里金插值法預(yù)測精度優(yōu)于普通克里金插值法、反距離加權(quán)法和三角剖分插值法。YANG等[10]認(rèn)為坐標(biāo)測量儀測量的波紋度具有確定的平滑的趨勢，而粗糙度部分是隨機(jī)的，因此將形狀誤差分為確定和隨機(jī)的部分，并利用誤差隨機(jī)部分的空間數(shù)據(jù)是不相關(guān)的這一特點(diǎn)，將形狀誤差區(qū)分開來，用非線性最小二乘法對確定性誤差進(jìn)行最優(yōu)擬合。YAN等[11]基于空間自相關(guān)性的Moran’sI指數(shù)建立了可以將隨機(jī)性誤差分量從總的誤差中分離出來的迭代算法，將該算法應(yīng)用于球頭銑刀加工的表面進(jìn)行幾何誤差分析，提取出了確定性誤差的擬合曲面。陳岳坪等[12-14]利用空間自相關(guān)分析對加工誤差分解方面做了大量研究，他們提出加工誤差的隨機(jī)部分是空間不自相關(guān)的，從而分解出系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，實(shí)現(xiàn)零件加工過程的系統(tǒng)誤差補(bǔ)償。然而，銑削曲面輪廓誤差空間分布的各向異性卻鮮有人關(guān)注。圖1為銑削曲面常用的等高銑削方式。如圖1所示，等高銑削中，沿切削進(jìn)給方向上刀具的側(cè)偏角一直不變；而沿橫向進(jìn)給方向上刀具的側(cè)偏角在緩慢改變。這必然導(dǎo)致曲面銑削輪廓誤差在這兩個(gè)方向上分布的差異性。

因此，本文通過構(gòu)建凹球面輪廓誤差在不同方向上的變異函數(shù)，揭示了輪廓誤差空間分布的各向異性。基于地統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本假設(shè)建立了空間克里金插值模型，實(shí)現(xiàn)了對不同空間位置的輪廓誤差進(jìn)行預(yù)測。分析了插值范圍對普通克里金、簡單克里金和泛克里金插值方法預(yù)測精度的影響，得到了本問題中針對各種插值方法的最佳插值范圍。最后，通過凹球面加工實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了提出的克里金插值方法的有效性，并與線性插值預(yù)測方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了提出的克里金插值預(yù)測方法的優(yōu)異性。

2 凹球面銑削輪廓誤差的空間分布特性

2.1 凹球面銑削實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及輪廓誤差測量

為了分析銑削輪廓誤差在不同方向上的分布特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了如圖2所示的凹球面加工實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)半徑為31.8 mm，圖中β為曲面傾角，β的加工范圍在0°～75°之間。主軸轉(zhuǎn)速恒定為3 000 r/min，每齒進(jìn)給量0.1 mm，則進(jìn)給速度為600 mm/min，采用等高輪廓順銑的方式加工曲面，相鄰刀具軌跡的傾角間隔為1°，沿球面的法向切深為0.6 mm。實(shí)驗(yàn)在三軸立式加工中心(MXR-460V，OKUMA-BYJC)上進(jìn)行，為降低能耗和保護(hù)環(huán)境，實(shí)驗(yàn)采用不加切削液的干式切削方法。實(shí)驗(yàn)的工件為預(yù)硬塑料模具鋼AISI P20；切削刀具為整體式球頭立銑刀(JH970100-Tribon，Seco)，刀具半徑5 mm，刀齒數(shù)為2，螺旋角為30°，刀具懸伸60 mm。

加工實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，在三坐標(biāo)測量儀(RAPID Plus，THOME)上對凹球面進(jìn)行測量，圖3為測量示意圖，圖中α為圓周角。以加工起點(diǎn)為0°,沿進(jìn)給方向上每隔22.5°的圓周角對凹球面截面進(jìn)行一次掃描讀取測量點(diǎn)坐標(biāo)，測量時(shí)每0.5 mm測量一個(gè)點(diǎn)。

圖4a展示了實(shí)測點(diǎn)與理論設(shè)計(jì)曲面的關(guān)系，圖4b展示了不同測量路徑上各測量點(diǎn)的輪廓誤差結(jié)果。表1列出了測量點(diǎn)的輪廓誤差數(shù)據(jù)，其中1 074個(gè)數(shù)據(jù)用于輪廓誤差的空間特性分析及預(yù)測模型的建立，剩下的100個(gè)帶*標(biāo)記的數(shù)據(jù)為隨機(jī)挑選的輪廓誤差數(shù)據(jù)，用于第二部分的輪廓誤差預(yù)測的待估點(diǎn)。

表1 凹球面輪廓誤差

為滿足克里金插值的要求,需對凹球面輪廓誤差正態(tài)化處理，處理后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表2所示。正態(tài)化處理公式為：ln[e(Pi)+20]。由表2可知,Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為0.079 6<5.991 5，說明在顯著性為0.05的條件下，處理后的數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布要求。

表2 正態(tài)化處理后凹球面的輪廓誤差統(tǒng)計(jì)表

2.2 輪廓誤差的空間統(tǒng)計(jì)描述方法

設(shè)三坐標(biāo)測量儀采集銑削曲面輪廓的數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)為n，采樣點(diǎn)的輪廓誤差數(shù)據(jù)為e(Pi)(i=1，2，3…n)，Pi為采樣點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)。在平穩(wěn)加工過程中、相鄰加工位置處的加工工藝參數(shù)(切削速度、進(jìn)給速度、切削深度)是相近的，工件的物理化學(xué)性質(zhì)、機(jī)床的狀態(tài)、刀具的磨損情況等都是相近的。除非工件有疏松孔洞等缺陷，刀具突然的崩刃等加工條件突然改變的情況，否則在較小的空間距離h上的工件表面輪廓誤差e(Pi)的增量[e(Pi)-e(Pi+h)]的數(shù)學(xué)期望為零[8]，即

E[e(Pi)-e(Pi+h)]=0，?Pi,?h。

(1)

進(jìn)而，可用增量的方差函數(shù)作為空間關(guān)系的一種測量尺度，該方差函數(shù)只依賴增量之間的距離，不依賴其確切的空間位置[15]，因此有

D[e(Pi)-e(Pi+h)]=

E{[e(Pi)-e(Pi+h)]2}=2γ(h)。

(2)

式中：D為方差符號；E為數(shù)學(xué)期望符號；γ(h)為空間距離h步長上的半方差函數(shù)，也稱變異函數(shù)，其只與步長h有關(guān)，與其所在的空間位置無關(guān)。由此可得增量的協(xié)方差函數(shù)與變異函數(shù)的關(guān)系如下。

Cov[e(Pi),e(Pi+h)]=σ2-γ(h)。

(3)

式中：Cov為協(xié)方差函數(shù)符號；σ2為h為0時(shí)的協(xié)方差，也稱為先驗(yàn)方差。

式(1)與式(2)總稱為本征假設(shè)，是地統(tǒng)計(jì)學(xué)中對隨機(jī)函數(shù)的基本假設(shè)[16]。

變異函數(shù)可以反應(yīng)數(shù)據(jù)空間相關(guān)性的變化情況，是空間分析的有效工具[17]。變異函數(shù)是根據(jù)變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值擬合得到的，而變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值是通過對實(shí)際測量結(jié)果計(jì)算獲得的。為了獲取變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值，首先設(shè)定一個(gè)分離距離Δh，設(shè)采樣空間中存在N對數(shù)據(jù)點(diǎn)(P1,P1+jΔh)，(P2,P2+jΔh)，…(Pi,Pi+jΔh)，…(PN,PN+jΔh)，它們之間的距離d1，d2，…di，…dN在(j-1)Δh～jΔh之間，則變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值可由下式求得[18]：

(4)

2.3 凹球面輪廓誤差空間分布特性

在凹球面等高銑削加工過程中，刀具沿圓周角方向做切削進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，沿著曲面傾角方向做橫向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。而同一條刀具路徑上切削條件相同，不同刀具路徑上刀具側(cè)偏角不同。因此，曲面輪廓誤差沿著曲面傾角和圓周角方向的分布規(guī)律是不同的，下面對曲面傾角和圓周角方向上輪廓誤差的變異函數(shù)分別擬合建模，考慮這兩個(gè)方向的各向異性。

為使變異函數(shù)滿足本征假設(shè)，常用球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型等對實(shí)驗(yàn)獲得的變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行擬合。其表達(dá)式如下：

球狀模型：

指數(shù)模型：

高斯模型：

圖5為曲面傾角方向輪廓誤差的變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值以及分別采用球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型對變異函數(shù)進(jìn)行擬合的結(jié)果，擬合的參數(shù)如表3所示。分離距離設(shè)置為1度。采用擬合的決定系數(shù)R2和均方根誤差(RMSE)對球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型的擬合結(jié)果進(jìn)行評價(jià)比較，表達(dá)式如下：

(5)

(6)

式中：r(hj)是球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型在hj處擬合的變異函數(shù)值；r*(hj)是實(shí)驗(yàn)獲得的變異函數(shù)值；ˉr*(hj)是實(shí)驗(yàn)獲得的變異函數(shù)值的均值；M為實(shí)驗(yàn)獲得的變異函數(shù)總數(shù)，此處為37。

由表3可知，球狀模型的擬合決定系數(shù)R2=0.922 0，大于指數(shù)模型和高斯模型；且球狀模型的均方根誤差為1.897×10-3，小于指數(shù)模型和高斯模型。這說明球狀模型的擬合精度高，擬合誤差小。故本文采用球狀模型描述沿曲面傾角方向上輪廓誤差分布特點(diǎn)。

表3 理論擬合模型的參數(shù)

圖6為圓周角方向輪廓誤差的變異函數(shù)擬合模型，步長距離為22.5°，由圖可知其變異函數(shù)隨步長的變化不大，故采用常數(shù)模型擬合即γ(h)=0.019 34，該模型稱為純塊金效應(yīng)模型[16]，表明輪廓誤差在圓周方向上是隨機(jī)分布的，不具有空間相關(guān)性。一方面是由于采樣間距大于輪廓誤差在圓周方向上的空間變異尺度；另一方面是由于圓周方向?yàn)榍邢鬟M(jìn)給方向，在一次走刀過程中，加工參數(shù)幾乎完全一樣，因此沿圓周方向上的輪廓誤差為一個(gè)定值加上隨機(jī)部分，隨機(jī)部分是考慮到刀具振動(dòng)、工件的硬質(zhì)點(diǎn)等可能產(chǎn)生的隨機(jī)情況，正是隨機(jī)部分導(dǎo)致了純塊金效應(yīng)。

比較圖5和圖6可知，凹球面銑削輪廓誤差的空間分布呈現(xiàn)各向異性。曲面傾角方向上輪廓誤差的變異函數(shù)值隨著測量點(diǎn)間距離的增加而增大，即空間相關(guān)性隨著距離的增大而減小。當(dāng)距離大于變程時(shí)，變異函數(shù)值穩(wěn)定，此時(shí)輪廓誤差不再具有空間相關(guān)性。而圓周角方向的輪廓誤差分布呈現(xiàn)純塊金效應(yīng)，表明沿該方向上的輪廓誤差分布不具有空間相關(guān)性。

3 基于克里金插值法的輪廓誤差預(yù)測

3.1 克里金插值方法

在許多情況下，區(qū)域化變量在研究區(qū)域內(nèi)是非平穩(wěn)的，其數(shù)學(xué)期望不是一個(gè)常數(shù)，即E[e(P)]=m(P)，m(P)稱為漂移。曲面的輪廓誤差也是符合這個(gè)條件的，因?yàn)樵诓煌那嫖恢蒙系毒吆凸ぜ慕佑|情況等并不完全一致，從而導(dǎo)致不同位置輪廓誤差的數(shù)學(xué)期望隨著空間位置的變化而變化，即產(chǎn)生漂移。在漂移存在的條件下，一般采用泛克里金插值方法對空間位置點(diǎn)進(jìn)行插值估計(jì)[19]。漂移一般采用多項(xiàng)式表示：

(7)

式中：al為未知系數(shù)，l為多項(xiàng)式的階數(shù)。

泛克里金插值預(yù)測的公式為：

(8)

式中：e*(P0)為待估點(diǎn)輪廓誤差的預(yù)測值；e(Pi)為已知位置Pi(i=1,2,…n)處的已知輪廓誤差，可簡記為ei，Pi是通過設(shè)定插值范圍來選擇的，插值范圍是指用于插值計(jì)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi離待估點(diǎn)P0的距離大?。沪薸為權(quán)重系數(shù)，可通過對預(yù)測點(diǎn)的無偏最優(yōu)估計(jì)并結(jié)合拉格朗日乘數(shù)法計(jì)算得到，結(jié)果如下:

(9)

以矩陣的形式表示為:

(10)

式中:φ為拉格朗日乘子;矩陣表達(dá)式中各部分計(jì)算方法如下:

由式(3)中協(xié)方差函數(shù)與變異函數(shù)的關(guān)系，可將方程中的協(xié)方差函數(shù)用變異函數(shù)表示，進(jìn)而求得權(quán)重系數(shù)λi。當(dāng)漂移為常量漂移時(shí)，插值方法稱為普通克里金插值；當(dāng)普通克里金插值中常量漂移的a0已知，且預(yù)測公式為式(13)時(shí)，插值方法稱為簡單克里金插值[20]。

(11)

3.2 預(yù)測方法的實(shí)現(xiàn)

本文提出的凹球面輪廓誤差預(yù)測流程如圖7所示。通常方法是根據(jù)測量的誤差數(shù)據(jù)用線性插值等方法直接預(yù)測未知點(diǎn)的輪廓誤差，而本文所提方法通過分析輪廓誤差的空間分布特性對輪廓誤差進(jìn)行預(yù)測。其步驟如下：

(1)對數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)化處理，使其滿足克里金插值的要求。

(2)計(jì)算實(shí)驗(yàn)的變異函數(shù)實(shí)驗(yàn)值并擬合，分析輪廓誤差的空間分布特性。

(3)依次選擇不同的克里金插值方法，并逐步增加插值范圍，計(jì)算克里金方程式(10)中的權(quán)重系數(shù)，得到待估點(diǎn)的預(yù)測值。

(4)比較不同的插值方法在不同插值范圍下的預(yù)測精度，選擇最佳的插值方法及插值范圍進(jìn)行預(yù)測。

由于所提方法考慮了輪廓誤差在采樣區(qū)間的空間分布特點(diǎn)，使得預(yù)測的輪廓誤差更符合空間變化規(guī)律，比通常的線性插值預(yù)測精度更高。

需要注意的是，插值范圍是指用于插值估計(jì)的數(shù)據(jù)點(diǎn)離待估點(diǎn)的距離。當(dāng)插值范圍較小時(shí)，由于用于插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，對待測點(diǎn)的預(yù)測精度較低；隨著插值范圍的增加，預(yù)測精度會(huì)上升，但當(dāng)用于插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離待估點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性降低，可能會(huì)使預(yù)測精度降低，因此確定一個(gè)合適的插值范圍對提高插值預(yù)測精度很關(guān)鍵[21]。

3.3 不同克里金插值模型預(yù)測結(jié)果對比分析

為驗(yàn)證克里金插值預(yù)測的有效性，并對比分析不同插值方法的預(yù)測精度，在所測量的數(shù)據(jù)點(diǎn)中隨機(jī)選擇100個(gè)作為待估點(diǎn)，并分為兩個(gè)方向分別進(jìn)行預(yù)測插值。曲面傾角方向采用普通克里金、簡單克里金、一次漂移的泛克里金、二次漂移的泛克里金插值方式與線性插值方式對待估點(diǎn)的輪廓誤差進(jìn)行預(yù)測；圓周角方向采用同樣的克里金方式與平均值預(yù)測方式(即同一曲面傾角其他圓周角處的均值作為待估點(diǎn)的預(yù)測值)對待估點(diǎn)的輪廓誤差進(jìn)行預(yù)測?？紤]到距離越近，空間相關(guān)性越大，曲面傾角方向的插值范圍取為2°，3°，4°，5°，6°，7°，8°，9°，10°，15°，30°，45°和全部數(shù)據(jù)點(diǎn)；圓周角方向的插值范圍為45°，90°，135°，180°和全部數(shù)據(jù)點(diǎn)。并用均方誤差(MSE)對預(yù)測的誤差進(jìn)行評價(jià)，表達(dá)式如下：

(12)

式中：epre和emea分別為待估點(diǎn)的預(yù)測值和測量值;m為待估點(diǎn)的樣本總量；m=100。

圖8為曲面傾角方向4種克里金插值方法在不同插值范圍下預(yù)測的均方誤差變化情況。由圖8可知，普通克里金插值法在插值范圍為2°時(shí)，預(yù)測的均方誤差最小，之后隨著插值范圍的增加而緩慢增加，最后趨于平穩(wěn)；簡單克里金插值法預(yù)測的均方誤差從2°～3°有一個(gè)明顯的降低，之后隨著插值范圍的增加而緩慢減少，當(dāng)插值范圍大于6°時(shí)，預(yù)測效果均優(yōu)于線性插值；一次漂移和二次漂移的泛克里金插值方法分別在插值范圍為3°和4°時(shí)預(yù)測的均方誤差最低，之后都隨著插值范圍的增加而緩慢增加，最后趨于平穩(wěn)。由圖8可知，克里金插值方法的預(yù)測效果整體優(yōu)于線性插值。表4列出了各個(gè)克里金插值方法預(yù)測的均方誤差最小的情況，由表可知，采用插值范圍為2°的普通克里金插值法預(yù)測的均方誤差最低為5.222，比線性插值預(yù)測的均方誤差6.294降低了17%。

表4 各插值方法最優(yōu)插值結(jié)果

圖9為圓周角方向各個(gè)插值方法在不同插值范圍下預(yù)測的均方誤差對比情況。由圖9可知，克里金插值預(yù)測效果明顯劣于平均值預(yù)測方法，只有在插值范圍為180°時(shí)，采用普通克里金和簡單克里金插值方法得到的預(yù)測效果優(yōu)于平均值預(yù)測方法，但預(yù)測效果提升的程度并不明顯。對比圖8，曲面傾角方向插值的最小預(yù)測均方誤差為5.22，圓周角方向插值的最小預(yù)測均方誤差為14.029，可以看出沿圓周方向的插值方法預(yù)測誤差明顯高于沿曲面傾角方向的預(yù)測誤差。這是因?yàn)檠貓A周角方向上的變異函數(shù)呈現(xiàn)純塊金效應(yīng)，這表明沿圓周角方向的輪廓誤差是完全不相關(guān)的，因此沿著圓周角方向進(jìn)行插值預(yù)測的誤差較高。這也解釋了沿圓周角方向的克里金插值預(yù)測效果明顯劣于平均值預(yù)測方法，因?yàn)榭死锝鸩逯凳腔跀?shù)據(jù)間的空間相關(guān)性而建立的，當(dāng)數(shù)據(jù)沒有空間相關(guān)性時(shí)，其預(yù)測誤差必然很高。

4 結(jié)束語

基于克里金插值方法對凹球面的輪廓誤差進(jìn)行插值預(yù)測，考慮了沿曲面傾角方向和圓周角方向的輪廓誤差分布的各向異性對插值預(yù)測效果的影響，研究了插值范圍對克里金插值預(yù)測誤差的影響，并與普通的線性插值法進(jìn)行比較，獲得的主要結(jié)論如下：

(1)凹球面銑削輪廓誤差空間分布存在著各向異性。圓周角方向的輪廓誤差分布呈現(xiàn)純塊金效應(yīng)，表明沿圓周角方向的輪廓誤差不存在空間相關(guān)性；曲面傾角方向距離越近的測量點(diǎn)間的輪廓誤差空間相關(guān)性越高，當(dāng)測量點(diǎn)間的距離超過變異函數(shù)的變程時(shí)，輪廓誤差之間不存在空間相關(guān)性。

(2)曲面傾角方向的變異函數(shù)擬合模型中，球狀模型比指數(shù)模型和高斯模型更能描述空間相關(guān)性的變化情況。

(3)插值范圍對克里金插值預(yù)測的精度有所影響。在曲面傾角方向，采用插值范圍為2°的普通克里金插值方式進(jìn)行預(yù)測的均方誤差最小為5.222，比線性插值的預(yù)測均方誤差6.294降低了17%。

本研究提出的輪廓誤差插值預(yù)測方法在凹球面的加工實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證，下一步研究將拓展到更復(fù)雜的加工曲面。