李珍萍, 劉 璐，劉若陽，張國維

(1.北京物資學(xué)院 信息學(xué)院, 北京 101149；2.北京物資學(xué)院 物流學(xué)院，北京 101149；3.華北電力大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，北京 102206)

0 引言

近年來，自然災(zāi)害(如洪水、地震等)和破壞性突發(fā)事件(如工業(yè)事故、恐怖襲擊等)加劇了供應(yīng)鏈面臨的風(fēng)險[1]。例如，2000年愛立信的芯片供應(yīng)商工廠發(fā)生火災(zāi)，導(dǎo)致供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)斷裂，市場份額隨之大幅下滑；2011年日本地震嚴重破壞了尼桑供應(yīng)鏈，原因是12%的尼桑引擎來自地震災(zāi)區(qū)的工廠[2]；2001年的911恐怖襲擊、2002年美國西海岸港口封鎖造成全球范圍內(nèi)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生中斷，供應(yīng)鏈下游企業(yè)遭受了嚴重影響。而近幾年國內(nèi)頻頻出現(xiàn)因芯片缺貨導(dǎo)致半導(dǎo)體工廠、汽車工廠等被迫停產(chǎn)的問題，暴露了我國產(chǎn)業(yè)鏈供應(yīng)鏈的短板。隨著全球化的發(fā)展，企業(yè)越來越重視全球范圍內(nèi)的供應(yīng)鏈管理[3]。供應(yīng)鏈管理的目標是實現(xiàn)供應(yīng)鏈整體的效益和效率最大化，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)實際上是節(jié)點企業(yè)之間相互連接的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，供應(yīng)鏈上任何企業(yè)都不是孤立的，而是互相依賴、相互關(guān)聯(lián)的。但由于部分企業(yè)片面地追求高效，供應(yīng)鏈變得越來越脆弱，缺乏彈性，加之市場環(huán)境不穩(wěn)定等原因?qū)е鹿?yīng)鏈面臨的風(fēng)險日趨增大[4]。

供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(Supply Chain Network Design，SCND)是供應(yīng)鏈管理的基礎(chǔ)，彈性(Resilience)是供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的一個關(guān)鍵特征，是使供應(yīng)鏈具備抵御破壞性事件不利影響的能力[5]。隨著全球破壞性突發(fā)事件的頻繁發(fā)生，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)在生產(chǎn)運作中面臨越來越多的風(fēng)險，而供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中斷對經(jīng)濟和社會造成長期影響和后果，恢復(fù)過程可能很慢[6]，由此給企業(yè)帶來巨大損失。2020年的新冠肺炎疫情對全球供應(yīng)鏈造成了嚴重沖擊，受疫情影響國內(nèi)外許多傳統(tǒng)行業(yè)的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)部分甚至全部中斷，且在短時間內(nèi)恢復(fù)艱難，對全球經(jīng)濟造成了重創(chuàng)[7]。疫情使我國企業(yè)生產(chǎn)秩序受到很大破壞，制造行業(yè)的供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)運作情況不容樂觀[8]，而國內(nèi)關(guān)于彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計研究較少，企業(yè)無法直接借鑒現(xiàn)有的研究成果使其快速恢復(fù)正常供應(yīng)狀態(tài)，致使社會經(jīng)濟發(fā)展遲緩。在此次疫情中出現(xiàn)的供應(yīng)鏈中斷問題暴露了企業(yè)供應(yīng)鏈彈性建設(shè)的短板，也暴露了關(guān)于彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題現(xiàn)有研究的不足。

彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計是由RICE等[9]首先提出的，該問題受到企業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。關(guān)于彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度開展了相關(guān)的研究工作，明確供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中斷模式是設(shè)計緩解相應(yīng)中斷風(fēng)險的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的前提，供應(yīng)鏈中斷模式可以分為兩類:節(jié)點中斷和運輸線路中斷。

(1)考慮供應(yīng)鏈節(jié)點中斷的研究

供應(yīng)鏈節(jié)點中斷指供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的供應(yīng)商受中斷影響，部分或全部供應(yīng)能力失效。僅考慮節(jié)點中斷的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題可以歸結(jié)為設(shè)施選址問題。

閆妍等[10]研究了基于節(jié)點失效的彈性供應(yīng)鏈應(yīng)急管理策略，建立了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)正常運行和單一節(jié)點失效情況下的單目標混合整數(shù)規(guī)劃模型, 并運用CPLEX軟件進行求解，提出了一個以供應(yīng)鏈總成本最小化為目標的網(wǎng)絡(luò)運行方案。馬衛(wèi)民等[11]研究了考慮節(jié)點中斷的可靠供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，在具有供應(yīng)點、中轉(zhuǎn)點、需求點的供應(yīng)鏈中挑選合適的中轉(zhuǎn)點來構(gòu)建一個可靠的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，并在某些節(jié)點發(fā)生中斷以后，保證供應(yīng)鏈能較為正常地運行。關(guān)志民等[12]根據(jù)不確定理論研究彈性供應(yīng)鏈問題，建立多目標機會約束規(guī)劃模型，采用標準化正規(guī)化約束法求解模型的帕累托前沿，并進行了算例求解和關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度分析。周健等[13]考慮多級供應(yīng)問題，建立了兩階段、雙目標、多周期的混合整數(shù)規(guī)劃模型，將節(jié)點中斷風(fēng)險下的供應(yīng)商選擇、生產(chǎn)配送調(diào)度進行集成優(yōu)化，并提出應(yīng)急計劃策略。張松濤等[14]提出一種供應(yīng)鏈應(yīng)急魯棒策略，在發(fā)生供應(yīng)隨機中斷時仍能滿足顧客需求，同時基于TakagiSugeno模糊控制系統(tǒng)，構(gòu)建了一種含提前期的供應(yīng)鏈應(yīng)急模糊模型，并通過實例仿真計算驗證了模型的可行性和有效性。狄衛(wèi)民等[15]針對三級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，考慮需求不確定性和工廠與配送中心的中斷情況，建立了以期望總成本最小化為目標的供應(yīng)鏈選址-庫存決策模型。設(shè)計了混合遺傳算法，通過算例驗證了模型和算法的有效性。SNYDER等[16]基于經(jīng)典的設(shè)施選址問題，研究了配送中心發(fā)生隨機中斷時的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，假設(shè)所有配送中心的中斷概率相同，對模型進行簡化，并利用拉格朗日松弛算法進行求解。JABBARADEH等[17]提出混合魯棒-隨機優(yōu)化模型和拉格朗日松弛方法，用于設(shè)計應(yīng)對設(shè)施中斷的彈性供應(yīng)鏈，并說明供應(yīng)鏈設(shè)計決策受設(shè)施強化策略、決策者的保守程度、需求波動、供應(yīng)能力變化和預(yù)算約束等因素影響。CARDONA-VALDéS等[18]研究三級網(wǎng)絡(luò)中配送中心發(fā)生隨機中斷時的彈性供應(yīng)鏈設(shè)計問題，以總成本和總服務(wù)時間最小化為目標，建立隨機優(yōu)化模型，利用L型算法求解，并給出了數(shù)值結(jié)果，證明了計算的有效性。NAMDAR等[19]研究供應(yīng)節(jié)點發(fā)生中斷時，考慮利用采購策略應(yīng)對中斷風(fēng)險，建立兩階段隨機規(guī)劃模型，求解模型并分析不同中斷程度下各種采購策略的最優(yōu)組合。AZAD等[20]考慮中斷發(fā)生時設(shè)施部分失效，中斷影響客戶需求發(fā)生變化，建立混合整數(shù)線性規(guī)劃模型來確定設(shè)施的最佳位置和客戶的分配，提出一種具有有效不等式的Benders加速分解方法，通過大規(guī)模算例驗證了模型和算法的有效性。

上述研究僅考慮供應(yīng)節(jié)點發(fā)生中斷的情況，實際中，有可能發(fā)生運輸中斷的情況，如運輸?shù)缆坊蜻\輸工具的破壞造成運輸中斷。因此，在設(shè)計供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)時，應(yīng)該將彈性概念納入運輸線路決策。文獻[10,13]建立的確定性優(yōu)化模型未考慮不確定參數(shù)對彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的影響，而中斷事件的發(fā)生往往具有隨機性，研究中斷隨機的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題會更加貼近實際情況。文獻[12,14,17-19]利用機會約束規(guī)劃、魯棒優(yōu)化、隨機規(guī)劃等模型進行彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，這些研究為解決不確定條件下的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題奠定了基礎(chǔ)。

(2)考慮節(jié)點和運輸中斷

運輸中斷指供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的運輸線路受中斷影響，部分或全部運輸能力失效。同時，考慮節(jié)點中斷和運輸中斷的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題可以歸結(jié)為設(shè)施選址-分配問題。

蔡政英等[21]分析了中斷造成的交互影響，考慮中斷事件給供應(yīng)環(huán)節(jié)帶來邊路失效，將彈性運作問題描述為多變量耦合控制模型，建立一種彈性響應(yīng)機制。AZAD等[5]考慮節(jié)點和運輸中斷的情況，提出了一個混合整數(shù)規(guī)劃模型，利用改進的Benders分解求解模型，確定供應(yīng)鏈中配送中心的最佳位置和分配客戶的最佳方案。AHMADI-JAVID等[22]研究了由制造商—分銷商組成供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的分配路由問題。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生中斷時，制造商的生產(chǎn)能力發(fā)生變化，分銷系統(tǒng)中車輛的運輸能力也受到干擾，目標是在適度、謹慎或悲觀的風(fēng)險度量政策下，確定設(shè)施點、分配和路線決策。

上述研究綜合考慮了兩種中斷對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的影響，這些研究為解決多種中斷情況下的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題提供了理論參考?，F(xiàn)有文獻[19，23，24]已證明，采用隨機規(guī)劃模型設(shè)計抵御中斷風(fēng)險的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)效果較好，本文在此基礎(chǔ)上，通過建立兩階段隨機規(guī)劃模型，結(jié)合備用供應(yīng)和現(xiàn)貨購買兩種中斷恢復(fù)策略，規(guī)避網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點和運輸線路兩種中斷風(fēng)險，進一步豐富彈性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計模型研究的理論成果。

在已有的相關(guān)研究中，同時考慮節(jié)點和運輸路徑中斷的情況較少，本文針對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點和運輸均可能發(fā)生中斷的情況開展研究，其中節(jié)點中斷定義為設(shè)施供應(yīng)容量部分失效；運輸中斷定義為運輸線路部分或完全阻斷，從而導(dǎo)致單位運輸成本增大。假設(shè)中斷場景數(shù)量有限，每種場景下中斷的供應(yīng)節(jié)點已知，從中斷節(jié)點到各個需求點道路中斷程度已知，且可以表示為單位運輸成本的增加比例。在中斷發(fā)生時考慮啟用備用供應(yīng)商或現(xiàn)貨購買兩種中斷恢復(fù)策略，以最小化彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)建設(shè)和運營總成本為目標，建立兩階段隨機規(guī)劃模型，尋找最優(yōu)的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方案和各種場景下的最優(yōu)供應(yīng)策略，達到降低供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險、增加企業(yè)利潤的目的。

1 問題描述與分析

1.1 問題描述

本文考慮由供應(yīng)商和需求點組成的二級供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)。已知某企業(yè)服務(wù)區(qū)域內(nèi)有J個需求點，每個需求點的需求量bj為常數(shù)；該企業(yè)擬從I個主供應(yīng)商和N個備用供應(yīng)商中選擇一部分構(gòu)建彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，為所有需求點提供服務(wù)。若主供應(yīng)商i被選中，則需要支付固定運行成本fi，正常情況下主供應(yīng)商的最大供應(yīng)能力為Oi；當(dāng)隨機突發(fā)事件發(fā)生時，主供應(yīng)商的供應(yīng)可能發(fā)生部分或全部中斷，導(dǎo)致供應(yīng)量減少，主供應(yīng)商和需求點之間的運輸線路也可能發(fā)生中斷，導(dǎo)致單位運費增加。為了降低突發(fā)事件對供應(yīng)鏈的影響，企業(yè)可以選擇一部分備用供應(yīng)商加入供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，并以合同約定的方式確定備用供應(yīng)商的應(yīng)急供應(yīng)量，若備用供應(yīng)商n被選中，則企業(yè)需要支付固定費用gn并與備用供應(yīng)商約定產(chǎn)品應(yīng)急供應(yīng)價格an。當(dāng)突發(fā)事件發(fā)生時，若主供應(yīng)商的供應(yīng)量無法滿足客戶需求，可以由備用供應(yīng)商以約定的價格向需求點供應(yīng)產(chǎn)品以滿足需求點的部分需求。假設(shè)主供應(yīng)商和備用供應(yīng)商的產(chǎn)品同質(zhì)，突發(fā)事件不會影響備用供應(yīng)商的約定供應(yīng)量和約定供應(yīng)價格。若備用供應(yīng)商的約定供應(yīng)量無法滿足客戶點的需求量，企業(yè)可以按現(xiàn)貨價格qs從市場上購買產(chǎn)品滿足客戶需求，或者向缺貨客戶j支付單位缺貨損失費mj。構(gòu)建彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題可以描述為，企業(yè)選擇主供應(yīng)商并確定正常情況主供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量，同時確定備用供應(yīng)商和備用供應(yīng)商的應(yīng)急儲備量，以及各中斷場景下主供應(yīng)商和備用供應(yīng)商向需求點運送產(chǎn)品的數(shù)量、現(xiàn)貨購買量或缺貨損失量，在保證任何場景下需求點的需求都能得到滿足的同時，使彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)運行總成本最小。

1.2 問題分析

供應(yīng)鏈發(fā)生中斷的直接后果是給企業(yè)帶來巨大經(jīng)濟損失，其中包括：直接經(jīng)濟損失和連帶經(jīng)濟損失，前者表明中斷發(fā)生后某個部門或生產(chǎn)環(huán)節(jié)直接受中斷影響而發(fā)生變化，后者表明由于部門或生產(chǎn)環(huán)節(jié)之間的相互聯(lián)系，供應(yīng)鏈中其他部門或生產(chǎn)環(huán)節(jié)會間接受到影響[25]。這就意味著節(jié)點或運輸中斷會給企業(yè)增加額外的成本，且中斷程度越嚴重，企業(yè)的生產(chǎn)效率越低，而成本越高。

準確識別中斷風(fēng)險是實現(xiàn)供應(yīng)鏈彈性的先決條件，也是有效管理風(fēng)險的必要前提，對中斷發(fā)生的準確預(yù)測和辨識可以支持中斷恢復(fù)決策，幫助企業(yè)達到規(guī)避風(fēng)險降低損失的目的。企業(yè)可以通過多種指標(如天氣變化、自然災(zāi)害預(yù)警、原材料市場價格、勞動力市場價格等)建立中斷風(fēng)險預(yù)警系統(tǒng)，利用大數(shù)據(jù)、通訊技術(shù)、信息共享等多種手段，實時檢測相關(guān)指標的變化情況，通過建?；蛴成浼夹g(shù)識別供應(yīng)鏈中關(guān)鍵環(huán)節(jié)的潛在風(fēng)險；建立供應(yīng)鏈彈性管理文化；定期進行風(fēng)險評估等[26]。

由于突發(fā)事件導(dǎo)致的供應(yīng)點中斷和運輸線路中斷具有隨機性，若供應(yīng)鏈缺乏彈性，一旦某些環(huán)節(jié)發(fā)生中斷，就會造成巨大損失甚至導(dǎo)致整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)癱瘓。設(shè)計彈性供應(yīng)鏈的目的是預(yù)防隨機中斷對供應(yīng)鏈系統(tǒng)造成嚴重破壞，降低系統(tǒng)運行總成本。由于中斷的發(fā)生具有隨機性，彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題具有兩階段特征：在中斷發(fā)生前，選擇主供應(yīng)商、并確定正常情況下主供應(yīng)商為各個需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量，形成正常的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，同時確定備用供應(yīng)商和備用供應(yīng)商的應(yīng)急儲備量；在中斷發(fā)生后，根據(jù)主供應(yīng)商和配送路徑的中斷情況，確定從主供應(yīng)商、備用供應(yīng)商為各個需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量，以及各個需求點的現(xiàn)貨購買量和缺貨損失量等，形成中斷后的應(yīng)急恢復(fù)策略。

雖然針對不同主體，設(shè)計彈性供應(yīng)鏈的目標略有不同，但對于大多數(shù)企業(yè)來說，實現(xiàn)利潤最大化或運行成本最小化是其最主要的目標之一，因此企業(yè)在設(shè)計彈性供應(yīng)鏈時，通常會以突發(fā)事件對企業(yè)造成的損失最小作為衡量供應(yīng)鏈彈性能力的標準之一，即以供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)受中斷影響后產(chǎn)生的成本極小化作為優(yōu)化目標[5]。本文以最小化供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)正常情況和中斷情況下的期望總運行成本作為彈性供應(yīng)鏈設(shè)計的優(yōu)化目標。其中正常運行成本主要包括主供應(yīng)商的固定運行成本、主供應(yīng)商向需求點的運輸成本；應(yīng)對中斷所需的成本主要包括備用供應(yīng)商的固定運行成本、應(yīng)急產(chǎn)品儲備成本、所有中斷場景下主供應(yīng)商與備用供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的運輸成本、現(xiàn)貨市場購買成本以及需求點的缺貨損失成本等。

1.3 模型假設(shè)

為簡化問題，作如下假設(shè)：

(1)主供應(yīng)商的固定運行成本和各個需求點的需求量已知。

(2)主供應(yīng)商向需求點運送一單位產(chǎn)品的運輸成本為常數(shù)。

(3)備用供應(yīng)商的固定運行成本為常數(shù)，應(yīng)急產(chǎn)品單位儲備成本為常數(shù)，且備用供應(yīng)商不發(fā)生中斷。

(4)發(fā)生中斷以后，各個需求點的現(xiàn)貨購買成本和缺貨損失成本為常數(shù)。

2 彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題的兩階段隨機規(guī)劃模型

為了建立隨機中斷情況下的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型，本章首先定義相關(guān)符號和決策變量，然后建立兩階段隨機規(guī)劃模型，在場景數(shù)量有限的情況下，將模型轉(zhuǎn)化為等價的確定型模型，并給出模型中約束條件的說明。

2.1 符號說明

(1)集合

I為備選主供應(yīng)商集合；

N為備選備用供應(yīng)商集合；

J為需求點集合；

S為中斷場景集合。

(2)索引

i為備選主供應(yīng)商索引,i∈I；

n為備選備用供應(yīng)商索引,n∈N；

j為需求點索引,j∈J。

(3)參數(shù)

fi為主供應(yīng)商i的固定運行成本；

Oi為正常情況下主供應(yīng)商i的最大供應(yīng)能力；

gn為備用供應(yīng)商n的固定運行成本；

an為備用供應(yīng)商n的單位產(chǎn)品儲備成本；

bj為需求點j的需求量；

tij為正常情況下，主供應(yīng)商i向需求點j供應(yīng)產(chǎn)品的單位運輸成本；

mj為需求點j單位產(chǎn)品缺貨損失成本；

πs為中斷場景s發(fā)生的概率。

(4)隨機參數(shù)

ξ：主供應(yīng)商的隨機中斷場景；

ri(ξ)為在中斷場景ξ下，主供應(yīng)商i的供應(yīng)量占最大供應(yīng)量百分比；

cij(ξ)為在中斷場景ξ下，主供應(yīng)商i向需求點j供應(yīng)產(chǎn)品的單位運輸成本；

dnj(ξ)為在中斷場景ξ下，備用供應(yīng)商n向需求點j供應(yīng)產(chǎn)品的單位運輸成本；

q(ξ)為在中斷場景ξ下，從現(xiàn)貨市場購買產(chǎn)品的單位價格。

2.2 模型建立

(1)第一階段的決策變量：

pij為正常情況下，從主供應(yīng)商i向需求點j供應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)量；

en為備用供應(yīng)商n的應(yīng)急產(chǎn)品儲備量；

(2)第二階段的決策變量：

yij(ξ)為在中斷場景ξ下，主供應(yīng)商i向需求點j供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量；

wnj(ξ)為在中斷場景ξ下，備用供應(yīng)商n向需求點j供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量；

lj(ξ)為在中斷場景ξ下，為需求點j提供的現(xiàn)貨購買量；

hj(ξ)為在中斷場景ξ下，需求點j產(chǎn)品缺貨數(shù)量。

在確定主供應(yīng)商和備用供應(yīng)商位置以及備用供應(yīng)商的應(yīng)急產(chǎn)品儲備量時，未來可能發(fā)生哪種中斷場景是無法準確預(yù)測的，因此中斷事件發(fā)生后主供應(yīng)商的供應(yīng)能力具有隨機性。根據(jù)這一特性，建立兩階段隨機規(guī)劃模型，使供應(yīng)鏈中斷發(fā)生前的正常運行成本和突發(fā)中斷后恢復(fù)運行的期望補償成本之和最小。

第一階段模型：

(1)

s.t.

(2)

(3)

xi∈{0,1},zn∈{0,1},pij≥0。

(4)

在第一階段模型中，目標函數(shù)(1)表示中斷發(fā)生前供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的正常運行成本和中斷后恢復(fù)運行的期望補償成本之和最小化，前4項表示中斷發(fā)生前供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)正常運行成本，最后一項表示中斷發(fā)生后，供應(yīng)鏈恢復(fù)運行所需要的期望補償成本。其中Q(x,p,z,ξ)表示基于第一階段選中的主供應(yīng)商x、主供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量p和備用供應(yīng)商z等，當(dāng)中斷場景ξ發(fā)生時，第二階段按照最優(yōu)策略恢復(fù)運行所需要的補償成本，即補償函數(shù)值[27]。Eξ(Q(x,p,z,ξ))表示對于任意中斷場景ξ，供應(yīng)鏈恢復(fù)運行的期望補償成本，即補償函數(shù)的期望值。

第二階段中斷發(fā)生后供應(yīng)鏈恢復(fù)模型：

(5)

s.t.

(6)

(7)

(8)

yij(ξ)≥0,wnj(ξ)≥0,hj(ξ)≥0,lj(ξ)≥0。

(9)

(10)

s.t.

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

xi∈{0,1},zn∈{0,1},pij≥0,yijs≥0,

wnjs≥0,hjs≥0,ljs≥0。

(16)

目標函數(shù)(10)表示供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)正常情況和中斷情況下的期望總運行成本最小化，其中正常情況下的運行成本包括主供應(yīng)商的固定成本、主供應(yīng)商向需求點運輸成本、備用供應(yīng)商的固定成本、備用供應(yīng)商的應(yīng)急儲備成本；各種中斷場景下的運行成本包括主供應(yīng)商與備用供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的運輸成本、需求點的現(xiàn)貨購買成本和缺貨損失成本；約束條件(11)表示正常情況下主供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量不超過它的最大供應(yīng)量；約束條件(12)保證正常情況下滿足各個需求點的需求量；約束條件(13)表示每種中斷場景下，備用供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的數(shù)量不超過它的應(yīng)急儲備量；約束條件(14)表示每種中斷場景下，每個主供應(yīng)商向需求點供應(yīng)產(chǎn)品的總量不超過其受中斷影響后的最大供應(yīng)量；約束條件(15)表示每種中斷場景下，每個需求點的從主供應(yīng)商、備用供應(yīng)商和現(xiàn)貨市場獲得的產(chǎn)品數(shù)量與缺貨量之和等于總需求量；約束條件(16)表示變量取值約束。

3 算例分析

本章主要利用模擬生成的算例進行計算和分析，驗證兩階段隨機規(guī)劃模型的有效性。通過靈敏度分析，研究中斷后考慮運輸成本和采取多種中斷恢復(fù)策略對彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的影響。最后，對比已有文獻的研究結(jié)果得出，采取多種中斷恢復(fù)策略可以降低總成本，減少中斷風(fēng)險帶來的影響。

3.1 模擬算例與求解結(jié)果分析

3.1.1 參數(shù)設(shè)置與算例生成

為了便于計算，假設(shè)供應(yīng)商的中斷相互獨立，中斷發(fā)生時，考慮主供應(yīng)商中至少有一個受到影響，甚至所有的主供應(yīng)商均受中斷影響，為了簡化問題，本文直接取中斷場景數(shù)量與主供應(yīng)商數(shù)量相等，即|S|=|I|，假設(shè)任意中斷場景s發(fā)生的概率均為πs=1/|S|。

主供應(yīng)商和備用供應(yīng)商的固定成本、缺貨損失單價以及需求點的需求量是確定的常數(shù)，主供應(yīng)商和備用供應(yīng)商向各需求點運輸產(chǎn)品的單位運費、各中斷場景下主供應(yīng)商剩余產(chǎn)量占總產(chǎn)量百分比以及現(xiàn)貨購買單價服從均勻分布。

為驗證本文兩階段隨機規(guī)劃模型的有效性, 首先設(shè)置主供應(yīng)商數(shù)量|I|、備用供應(yīng)商數(shù)量|N|、需求點數(shù)量|J|與中斷場景數(shù)|S|的不同取值，生成小、中、大規(guī)模3組算例，對每個算例進行模擬計算，分析求解時間變化情況。3組算例參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 3組算例的模型參數(shù)設(shè)置情況

3.1.2 求解結(jié)果與分析

利用Python編程調(diào)用Gurobi求解器求解隨機規(guī)劃模型，得到3組算例的最優(yōu)供應(yīng)方案，具體求解結(jié)果如表2所示。

表2 3組算例計算結(jié)果

第1組算例在正常情況和每種中斷場景下的供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)圖，如圖1～圖6所示，圖中陰影部分表示被選擇啟用的供應(yīng)商。

在正常情況下，供應(yīng)商和運輸路徑?jīng)]有中斷風(fēng)險，選擇啟用主供應(yīng)商2、3、5向所有需求點供應(yīng)產(chǎn)品。

場景1發(fā)生時，啟用備用供應(yīng)商2向需求點9、10供應(yīng)產(chǎn)品，現(xiàn)貨購買量為0，缺貨損失量為0。

場景2發(fā)生時，啟用備用供應(yīng)商2向需求點9、10供應(yīng)產(chǎn)品，現(xiàn)貨購買量為0，缺貨損失量為0。

場景3發(fā)生時，啟用備用供應(yīng)商2向需求點9、10供應(yīng)產(chǎn)品，現(xiàn)貨購買量為17，缺貨損失量為0。

場景4發(fā)生時啟用備用供應(yīng)商2向需求點6、9、10供應(yīng)產(chǎn)品，現(xiàn)貨購買量為0，缺貨損失量為17。

場景5發(fā)生時，啟用備用供應(yīng)商2向需求點9、10供應(yīng)產(chǎn)品，現(xiàn)貨購買量為81，缺貨損失量為0。

通過計算發(fā)現(xiàn)，在第1組算例的5種場景中，場景4存在缺貨損失，場景3和場景5需要現(xiàn)貨購買。每種場景現(xiàn)貨購買產(chǎn)品的單價和每個需求點的單位產(chǎn)品缺貨損失價格已知，進一步分析可知，每種場景至多存在現(xiàn)貨購買和缺貨兩種情況中的一種。當(dāng)供應(yīng)商產(chǎn)品供應(yīng)量不足時，衡量該場景下現(xiàn)貨購買總成本和缺貨損失總成本，從而選擇成本較小的方案。

為進一步驗證模型的有效性和求解方法的可行性，根據(jù)主供應(yīng)商數(shù)量|I|、備用供應(yīng)商數(shù)量|N|、需求點數(shù)量|J|和中斷場景數(shù)|S|的不同取值，生成了27個不同規(guī)模的算例，分別對每個算例進行模擬計算與分析，具體結(jié)果如表3所示。

表3 27個不同規(guī)模的算例求解結(jié)果分析

從表3可以看出，隨著算例規(guī)模的增大，求解器的求解時間逐漸變長，但增長速度并不快，最大規(guī)模算例的平均求解時間僅有4.98 s，中小規(guī)模算例的平均求解時間均不到1 s。因此，直接用Gurobi求解隨機規(guī)劃模型，可以在短時間內(nèi)得到精確最優(yōu)解，由此說明了本文方法的有效性。

3.2 隨機規(guī)劃模型求解效果分析

兩階段隨機規(guī)劃模型的廣義形式[28]為

minz=cTx+Eξ{minq(ω)Ty|W(ω)y=

h(ω)-T(ω)x,y≥0}。

s.t.Ax=b,x≥0。

其中，與某一特定場景相關(guān)的模型為

minz(x,ξ)=cTx+min{qTy|Wy=h-Tx,y≥0}。

s.t.Ax=b,x≥0。

定義1隨機規(guī)劃問題的解，即補償問題的解，稱為此時此刻解(RP):

在本文第1組算例中，RP=82 507.36(元)。

定義2所有場景對應(yīng)的最優(yōu)目標函數(shù)值的期望值，稱為觀望解(WS):

在本文算例中，各場景對應(yīng)的最優(yōu)目標函數(shù)值如圖7所示。

因此，WS=0.2×(76 995.0+80 235.6+83 494.2+83 420.2+79 221.2)=80 673.24(元)。

定義3完全信息的期望值(EVPI)是此時此刻解與觀望解之間的差值，它是衡量決策者為了獲得關(guān)于未來的完整和準確信息而準備支付的最大金額:

EVPI=RP-WS。

由本文第1組算例計算得，EVPI=82 507.36-80 673.24=1 834.12(元)。

綜上所述，EVPI>0，且EVPI約為RP的2.22%。

定義4期望值解(EV)是用隨機變量的期望值代替隨機變量，求解期望值問題得到的解

在本文第1組算例的計算中，EV=79 409.76(元)

定義5期望值問題的預(yù)期結(jié)果(EEV)是將求解期望值問題得到的第一階段的決策變量值代入補償問題中得到的：

在本文第1組算例的計算中，求解期望值問題得到的第一階段決策變量為x=(0,1,1,0,1)T，z=(0,1,0)T，e=(0,188,0)T，代入兩階段隨機規(guī)劃模型中得到EEV=82 935.12(元)。

定義6隨機解的價值(VSS)是期望值問題的預(yù)期結(jié)果與此時此刻解之間的差值，它是決策者在決策時忽略不確定性的成本：

VSS=EEV-RP。

因此VSS=82 935.12-82 507.36=427.76(元)。

驗證隨機規(guī)劃模型正確性的常用方法是通過計算VSS值進行判斷，若VSS>0，則說明隨機規(guī)劃模型優(yōu)于不考慮隨機因素的期望值模型，為了消除量綱差異對VSS取值的影響，也可以采用VSS占總費用的百分比指標。首先計算27個算例的VSS值和VSS占總費用的百分比，結(jié)果如表4所示。

表4 27個算例VSS值的求解結(jié)果分析

觀察表4可以發(fā)現(xiàn)，27個算例的VSS值均大于零，說明若忽略不確定性，用期望值代替隨機變量得到的方案需要支付更多的成本。為了消除量綱差異對結(jié)果的影響，將VSS值與隨機規(guī)劃模型的目標函數(shù)值相除，求出VSS占總費用的百分比，結(jié)果顯示，隨機規(guī)劃模型得到的方案比期望值模型得到的方案平均費用大約降低0.5%～8.08%，進一步驗證了應(yīng)用兩階段隨機規(guī)劃模型解決彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題的正確性。以上結(jié)果說明，在研究受中斷影響的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題時，有必要考慮隨機性，使用本文的隨機規(guī)劃模型求解。

3組不同規(guī)模算例的VSS占總費用的比值如圖8所示。

由圖8中可以看出，算例的VSS值占總費用比值隨算例規(guī)模的增大而不斷增大。在第3組算例中，最大規(guī)模算例的VSS值占總費用比值高達8.08%，可見忽略隨機因素建立供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)付出的成本是很大的，因此考慮兩階段隨機規(guī)劃模型構(gòu)建彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)可以幫助企業(yè)達到降本增效的目的。

3.3 靈敏度分析

3.3.1 中斷后單位運輸成本的影響分析

本文考慮供應(yīng)節(jié)點和供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)運輸均受中斷影響，供應(yīng)點中斷后的剩余供應(yīng)量、供應(yīng)點向需求點的單位運輸成本均與場景相關(guān)聯(lián)，由于中斷后節(jié)點的剩余供應(yīng)量和供應(yīng)商與需求點之間的單位運輸成本均會影響到網(wǎng)絡(luò)運行總成本，這些參數(shù)的變化對網(wǎng)絡(luò)設(shè)計結(jié)果會產(chǎn)生影響。

本節(jié)重點分析供應(yīng)商單位運輸成本變化對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)運行總成本的影響，利用第1組算例，分別取7組不同單位運輸成本進行計算，記錄各個參數(shù)對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)運行總成本，如圖9所示。

由圖9可以看出，隨著單位運輸成本的增加，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)運行總成本單調(diào)遞增。在本文的3組算例中，考慮運輸受中斷影響的目標函數(shù)值均高于忽略運輸受中斷影響的目標函數(shù)值，并隨著算例規(guī)模的增大，二者差值越來越大，如圖10所示，因此中斷造成的供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)運輸成本變化越大，其對供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計帶來的影響越大。

3.3.2 中斷恢復(fù)策略的影響分析

本文考慮應(yīng)急儲備供應(yīng)和現(xiàn)貨購買兩種中斷恢復(fù)策略，在中斷發(fā)生之前確定需要開啟的備用供應(yīng)商和產(chǎn)品的應(yīng)急儲備量，在中斷發(fā)生時確定從現(xiàn)貨市場購買產(chǎn)品的數(shù)量。

對比僅考慮現(xiàn)貨購買和僅考慮備用供應(yīng)商的單一恢復(fù)策略，同時考慮這兩種中斷恢復(fù)策略時的總期望成本有所下降，3組算例在3種策略下的最優(yōu)目標函數(shù)值如圖11所示。

由圖11可以看出，僅實施一種中斷恢復(fù)策略時的總期望成本均高于同時采用兩種恢復(fù)策略的情況。因此，在設(shè)計彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)時有必要考慮一種以上的恢復(fù)策略，以達到降低成本的目的。

3.4 與文獻中研究結(jié)果的對比分析

3.4.1 與文獻中算例的對比分析

文獻[29]研究了9個供應(yīng)商向10個需求點供應(yīng)產(chǎn)品的可靠供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，考慮了決策者對中斷風(fēng)險的偏好α∈[0.5,1]和對需求波動風(fēng)險的偏好β∈[0,0.5]，但未考慮中斷恢復(fù)策略，分別求得在不同風(fēng)險偏好組合下的最優(yōu)選擇方案，如表5所示。

表5 文獻[29]中算例的計算結(jié)果

本節(jié)使用文獻[29]中的算例進行計算分析，利用隨機規(guī)劃模型求解該問題，考慮文獻[29]中的5種中斷情景，供應(yīng)點固定成本、最大產(chǎn)能和容量限制采用文獻[29]中表2的數(shù)據(jù)，需求點的需求量采用文獻[29]中確定的需求量estd，本文考慮2種中斷恢復(fù)策略得到最優(yōu)結(jié)果如表6所示。

表6 使用本文方法求解文獻中算例的結(jié)果

對比分析表5和表6的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在考慮中斷恢復(fù)策略情況下得到的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)總運行成本低于文獻[29]中各種參數(shù)組合下得到的網(wǎng)絡(luò)運行成本；考慮多種中斷恢復(fù)策略比單一中斷恢復(fù)策略得到的網(wǎng)絡(luò)運行成本更低，可見在彈性設(shè)計供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)時，考慮多種中斷恢復(fù)策略能夠有效提高抵御風(fēng)險的能力，降低網(wǎng)絡(luò)運行總成本。

3.4.2 與文獻中算法的對比分析

為進一步驗證直接使用Gurobi求解彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的優(yōu)越性，本節(jié)對Gurobi求解結(jié)果與文獻[29]中的遺傳算法求解結(jié)果進行對比，分別記錄兩種方法求解3種規(guī)模算例的平均目標函數(shù)值、平均求解時間，并分析遺傳算法的近似比，具體結(jié)果如表7所示。

表7 Gurobi求解器與遺傳算法求解結(jié)果對比

從表7可以看出，使用Gurobi求解器直接求解中、小規(guī)模算例的平均求解時間比遺傳算法的平均求解時間短，對于大規(guī)模算例，Gurobi求解器的平均求解比遺傳算法的求解時間略長，但二者相差不到1 s。此外，Gurobi可以得到精確最優(yōu)解，而遺傳算法只能得到近似最優(yōu)解，隨問題規(guī)模的增大，遺傳算法得到的近似最優(yōu)解與精確最優(yōu)解的差距越來越大，因此使用Gurobi求解器求解本文模型無論是求解速度還是結(jié)果精度方面，均具有明顯的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

彈性是供應(yīng)鏈設(shè)計中關(guān)注的核心問題，供應(yīng)鏈的全球化、產(chǎn)品生命周期變短和客戶需求的波動，使企業(yè)意識到供應(yīng)鏈中斷可能會導(dǎo)致不良的運營和財務(wù)影響，為減少這種影響帶來的損失，供應(yīng)鏈必須設(shè)計成能夠提供有效的響應(yīng)，并能恢復(fù)到原始狀態(tài)甚至更好的模式，這就是供應(yīng)鏈彈性的本質(zhì)[30]。

本文研究了彈性供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題，以提高其應(yīng)對隨機中斷的彈性?？紤]了供應(yīng)鏈中節(jié)點和運輸均可能發(fā)生中斷的情況，在中斷發(fā)生時考慮啟用備用供應(yīng)商和從現(xiàn)貨市場購買兩種中斷恢復(fù)策略，建立兩階段隨機規(guī)劃模型，目標是供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)期望運營總成本最小化。通過對模擬算例進行求解分析，驗證了隨機規(guī)劃模型的有效性，利用隨機規(guī)劃模型得到的網(wǎng)絡(luò)比利用確定模型得到的網(wǎng)絡(luò)總運行成本平均降低3.49%。通過靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，隨著中斷后運輸費用的增大，網(wǎng)絡(luò)運行的總費用逐漸增大，選擇的備用供應(yīng)商數(shù)量越來越多。采取多種中斷恢復(fù)策略可以明顯降低總費用，降低中斷風(fēng)險對網(wǎng)絡(luò)帶來的影響。本文設(shè)計的彈性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)可以應(yīng)用到實際中，為企業(yè)提供應(yīng)對風(fēng)險的供應(yīng)鏈管理決策依據(jù)。

本文建立的模型約束比較簡單，直接使用求解器進行求解。未來將設(shè)計精確算法或啟發(fā)式算法[30]，對更大規(guī)模的算例進行求解和分析。本文僅考慮了供應(yīng)點和需求點之間的二級供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，之后的工作可以對供應(yīng)點、中轉(zhuǎn)點和需求點之間的三級或多級供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題展開研究。還可以考慮供應(yīng)鏈的恢復(fù)時效問題，以供應(yīng)鏈企業(yè)運營總成本和總服務(wù)時間最小為目標[31]，研究動態(tài)多周期的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，設(shè)計更切合實際的彈性供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)以應(yīng)對網(wǎng)絡(luò)面臨的中斷風(fēng)險，提升供應(yīng)鏈整體的穩(wěn)健性和安全性，為供應(yīng)鏈企業(yè)提供應(yīng)對突發(fā)事件的有效策略。