常州劉國(guó)鈞高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 胡丞熙

針對(duì)傳統(tǒng)方法在高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制實(shí)際應(yīng)用中存在誤差較大的問(wèn)題，提出基于PLC 技術(shù)的高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制方法。通過(guò)對(duì)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正變換和逆變換，求解數(shù)控機(jī)床刀具驅(qū)動(dòng)位移，建立數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)將讀取到的刀具實(shí)際點(diǎn)位數(shù)據(jù)與理想軌跡比對(duì)，預(yù)測(cè)出高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡誤差，利用PLC 技術(shù)對(duì)誤差點(diǎn)位坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，以及中心指令點(diǎn)擬合，生成加工軌跡控制程序，通過(guò)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型輸出，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)控機(jī)床加工軌跡優(yōu)化控制。經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，應(yīng)用設(shè)計(jì)方法機(jī)床加工誤差小于傳統(tǒng)方法，在機(jī)床加工軌跡控制方面具有良好的應(yīng)用前景。

數(shù)控機(jī)床作為一種零件加工設(shè)備，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域中。隨著加工行業(yè)對(duì)精度要求的不斷提高，在傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床的基礎(chǔ)上，通過(guò)優(yōu)化刀具、伺服給進(jìn)系統(tǒng)等，逐漸衍生出高精度數(shù)控機(jī)床，目前高精度數(shù)控機(jī)床已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到航空航天制造業(yè)、汽車制造業(yè)等行業(yè)[1]。評(píng)價(jià)高精度數(shù)控機(jī)床的加工精度是衡量機(jī)床工作性能的關(guān)鍵指標(biāo)，受到機(jī)床自身因素或者外界因素影響，高精度數(shù)控機(jī)床在加工過(guò)程中可能會(huì)存在動(dòng)態(tài)誤差或者靜態(tài)誤差，誤差的存在直接影響著高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡，從而機(jī)床加工生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)法達(dá)標(biāo)，因此對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制是非常有必要的。針對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床加工誤差問(wèn)題，國(guó)外研究者從不同的角度提出了多種解決辦法，提出了高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡優(yōu)化控制方法，以及加工軌跡插補(bǔ)方法。但是國(guó)內(nèi)高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制技術(shù)起步比較晚，雖然近幾年掀起了研究熱潮，但是現(xiàn)有的控制方法在實(shí)際應(yīng)用中控制效果仍舊比較差，由于控制流程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，控制后數(shù)控機(jī)床加工軌跡與理想加工軌跡仍然存在較大的誤差，已經(jīng)無(wú)法滿足高精度加工需求，為此提出基于PLC 技術(shù)的高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制方法。

1 高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制

對(duì)于高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡的控制，涉及數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)，故此次設(shè)計(jì)的控制方法，第一步為建立數(shù)據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)以數(shù)學(xué)形式描述，將其作為控制對(duì)象；第二步，通過(guò)讀取數(shù)控機(jī)床加工文件中相關(guān)數(shù)據(jù)，獲取到數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡坐標(biāo)信息，并預(yù)測(cè)分析出數(shù)控機(jī)床加工軌跡誤差；第三步，根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，利用PLC 技術(shù)重新編碼數(shù)控機(jī)床加工軌跡，通過(guò)刀具空間位置坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和中間指令點(diǎn)擬合，對(duì)原有的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡的控制。

1.1 建立數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型是加工軌跡控制轉(zhuǎn)換工具，由于其運(yùn)動(dòng)符合線性規(guī)律，可以利用數(shù)學(xué)方程式的形式將其運(yùn)動(dòng)軌跡表示出來(lái)[2]。數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡為機(jī)床刀具位置在三維空間內(nèi)的變換所形成的路徑，其位置的變換主要依靠變換矩陣，假設(shè)數(shù)控機(jī)床工作面空間坐標(biāo)系為N，在該三維坐標(biāo)系中刀具繞空間坐標(biāo)軸做旋轉(zhuǎn)、平移運(yùn)動(dòng)，故數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換為：

公式（1）中，F(xiàn)表示數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)模型；R(X，A)、R(Y，B)、R(Z，C)分別為數(shù)控機(jī)床刀具繞空間坐標(biāo)系X、Y、Z坐標(biāo)軸、沿矢量平移A、B、C的變換矩陣[3]。為了進(jìn)一步對(duì)數(shù)控機(jī)床加工運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)描述，基于數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)控機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換和正變換。

逆變換是將刀具向空間坐標(biāo)軸位移脈沖當(dāng)量的轉(zhuǎn)換，假設(shè)數(shù)控機(jī)床工作面空間N中刀具參考點(diǎn)的位置信息為n，其中包括刀具參考點(diǎn)位的坐標(biāo)、角度等信息，當(dāng)機(jī)床刀具的擺動(dòng)角度為零時(shí)，此時(shí)高精度數(shù)控機(jī)床可以等效為一個(gè)三軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床，刀具的驅(qū)動(dòng)位移可表示為：

公式（2）中，q(t)表示刀具擺動(dòng)角度為零情況下，在t時(shí)刻驅(qū)動(dòng)刀具的位移；x、y、z表示在空間坐標(biāo)系中刀具參考點(diǎn)位橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、斜坐標(biāo)；xw、yw、zw表示刀具偏置矢量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和斜坐標(biāo)[4]。當(dāng)?shù)毒叩臄[動(dòng)角度不為零時(shí)，此時(shí)高精度數(shù)控機(jī)床可以等效為一個(gè)五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床，刀具的擺動(dòng)角度由刀具繞坐標(biāo)軸的角度所決定，利用歐拉角的形式描述刀具的位姿，進(jìn)而可以求出刀具的驅(qū)動(dòng)位移，其用公式表示為：

公式（3）中，q0(t)表示刀具擺動(dòng)角度不為零情況下，在t時(shí)刻驅(qū)動(dòng)刀具的位移；r表示刀具參考點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系中的方位矢量；a表示三維空間坐標(biāo)系N相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系的歐拉角；b表示刀具的姿態(tài)矢量；x0、y0表示參考點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。

正變換是將刀具向空間坐標(biāo)軸位置與擺動(dòng)角度的變換，假設(shè)數(shù)控機(jī)床各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角為α，根據(jù)牛頓-拉斐遜數(shù)值理論，可以將數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正變換表示為：

公式（4）中，q1(t)表示數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正變換位移；β表示數(shù)控機(jī)床刀具擺動(dòng)角度[5]。通過(guò)以上數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正變換和逆變換分析，建立數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型為：

公式（5）中，Q表示數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，在該數(shù)學(xué)模型上控制機(jī)床加工軌跡。

1.2 加工軌跡誤差預(yù)測(cè)

高精度數(shù)控機(jī)床所有運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)都記錄在機(jī)床的加工文件中，利用OSHFI 讀卡器對(duì)數(shù)控機(jī)床加工文件中所有刀具點(diǎn)位數(shù)據(jù)讀取，將其作為加工軌跡誤差預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)依據(jù)。數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡可以分解成為直線和曲線兩種，其軌跡誤差為直線軌跡誤差與曲線軌跡誤差總和，因此需要對(duì)這兩種誤差進(jìn)行計(jì)算。將獲取的點(diǎn)位數(shù)據(jù)與理想點(diǎn)位比對(duì)，可以得出高精度數(shù)控機(jī)床的直線軌跡誤差，機(jī)床直線軌跡誤差如圖1所示。

圖1 高精度數(shù)控機(jī)床直線軌跡誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of linear trajectory error of high precision cnc machine tool

如圖1可以看出，γ表示數(shù)控機(jī)床理想軌跡與空間坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)軸的夾角，點(diǎn)T為數(shù)控機(jī)床刀具運(yùn)動(dòng)指令位置點(diǎn)，G為當(dāng)前數(shù)控機(jī)床刀具實(shí)際位置點(diǎn)，m為數(shù)控機(jī)床刀具實(shí)際位置點(diǎn)與理想軌跡最近距離直線的交點(diǎn)，根據(jù)這幾個(gè)點(diǎn)的幾何關(guān)系，求出數(shù)控機(jī)床直線運(yùn)動(dòng)橫坐標(biāo)軸跟隨誤差和縱坐標(biāo)軸跟隨誤差，進(jìn)而求出數(shù)控機(jī)床直線軌跡誤差：

公式（6）中，c表示數(shù)控機(jī)床直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差；s表示橫坐標(biāo)軸的跟隨誤差；l表示縱坐標(biāo)軸的跟隨誤差[6]。假設(shè)數(shù)控機(jī)床參考圓弧曲線軌跡為ρ，該曲線圓弧的圓心為ε，根據(jù)數(shù)控機(jī)床刀具參考點(diǎn)與實(shí)際點(diǎn)位的幾何關(guān)系，求出數(shù)控機(jī)床曲線誤差：

公式（7）中，c0表示數(shù)控機(jī)床曲線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差；x*表示圓弧曲線圓心ε的橫坐標(biāo)；δ表示圓弧曲線上過(guò)期望加工點(diǎn)的切線與橫軸的夾角；ex表示實(shí)際加工點(diǎn)的橫坐標(biāo)；ey表示實(shí)際加工點(diǎn)的縱坐標(biāo)[7]。將以上計(jì)算得出的直線運(yùn)動(dòng)誤差c與曲線運(yùn)動(dòng)誤差c0相加，即可得到高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡誤差，為后續(xù)加工軌跡實(shí)時(shí)插補(bǔ)控制提供依據(jù)。

1.3 基于PLC 技術(shù)的加工軌跡實(shí)時(shí)插補(bǔ)控制

在上述基礎(chǔ)上，利用PLC 技術(shù)對(duì)加工軌跡實(shí)時(shí)插補(bǔ)控制，生成加工軌跡實(shí)時(shí)插補(bǔ)控制程序，并通過(guò)可編程邏輯控制器（PLC）執(zhí)行，其控制程序如下。

打開(kāi)待控制的高精度數(shù)控機(jī)床的刀位文件，根據(jù)刀位誤差，將刀位工件坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為高精度數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)誤差優(yōu)化后的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，假設(shè)P為與工件固聯(lián)的刀具坐標(biāo)系，工件中心點(diǎn)為該坐標(biāo)系的原點(diǎn)，L為數(shù)控機(jī)床刀具與定軸固聯(lián)的坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系原點(diǎn)在工件固聯(lián)坐標(biāo)系P的位置矢量為J，建立完坐標(biāo)系后，利用以下公式確定工件坐標(biāo)系下誤差點(diǎn)位在數(shù)控機(jī)床空間坐標(biāo)系下的對(duì)應(yīng)值：

公式（8）中，C表示誤差點(diǎn)位在數(shù)控機(jī)床空間坐標(biāo)系下的對(duì)應(yīng)值；?表示工件坐標(biāo)系下刀軸矢量對(duì)應(yīng)的機(jī)床坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角度；υ表示誤差點(diǎn)位繞機(jī)床坐標(biāo)系橫坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度；xC、yC分別表示誤差點(diǎn)位的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)[8]。

根據(jù)上述公式計(jì)算結(jié)果，在工件坐標(biāo)系中對(duì)誤差點(diǎn)位進(jìn)行調(diào)整，使其恢復(fù)到理想點(diǎn)位上，其用公式表示為：

公式（9）中，C*表示轉(zhuǎn)換后的工件坐標(biāo)系中刀具坐標(biāo)。通過(guò)PLC 技術(shù)對(duì)中間指令點(diǎn)擬合，使數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型輸出的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)集形成新的刀具軌跡，使刀具運(yùn)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)線接近轉(zhuǎn)換后的刀具坐標(biāo)，對(duì)其進(jìn)行插補(bǔ)控制[9]。考慮到直接使用直線段對(duì)誤差點(diǎn)位進(jìn)行逼近，會(huì)破壞掉原曲線的連續(xù)性，致使在數(shù)控機(jī)床加工軌跡插補(bǔ)控制過(guò)程中，機(jī)床的速度和加速度不連續(xù)，因此采用曲線擬合方法對(duì)中間指令進(jìn)行擬合，其擬合公式為：

公式（10）中，Zu表示中間指令擬合曲線；?表示節(jié)點(diǎn)向量；Pi表示曲線參數(shù)；κ表示權(quán)值，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，將該權(quán)值默認(rèn)為1。通過(guò)中間指令曲線擬合，使數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型輸出的點(diǎn)位逼近理想軌跡，以此消除軌跡誤差。將以上程序使用編碼編寫在可編輯邏輯控制器（PLC）中，將PLC 與高精度數(shù)控機(jī)床伺服電機(jī)連接，通過(guò)執(zhí)行控制程序，調(diào)整高精度數(shù)控機(jī)床刀具加速度以及刀具移動(dòng)姿態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)基于PLC 的高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制。

2 實(shí)驗(yàn)論證分析

實(shí)驗(yàn)以某高精度數(shù)控機(jī)床為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，該數(shù)控機(jī)床型號(hào)為SAFAE/55414，是典型的立式數(shù)控機(jī)床，刀具直徑為80-300mm，刀具重量為8kg，該數(shù)控機(jī)床目前主要用于加工汽車零部件，對(duì)加工精度要求較高，利用此次設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法對(duì)該高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡進(jìn)行控制。實(shí)驗(yàn)以8 種汽車零部件為高精度數(shù)控加工對(duì)象，開(kāi)啟數(shù)控機(jī)床開(kāi)關(guān)，根據(jù)零部件加工需求，將數(shù)控機(jī)床的加速度設(shè)定為45000mm/s3，給進(jìn)速度設(shè)定為100mm/s，每個(gè)零部件各加工1000 件，將準(zhǔn)備好的OSHFI 讀卡器與數(shù)控機(jī)床生產(chǎn)系統(tǒng)連接，并通過(guò)USB 接口接收到數(shù)控機(jī)床加工文件中的刀位數(shù)據(jù)，具體如表1所示。

表1 數(shù)控機(jī)床刀位文件中刀位數(shù)據(jù)Tab.1 Tool position data in tool position file of nc machine tool

通過(guò)對(duì)讀取到的刀位數(shù)據(jù)分析、誤差預(yù)測(cè)、插補(bǔ)控制，完成零部件加工任務(wù)。實(shí)驗(yàn)使用專用測(cè)量?jī)x器對(duì)每個(gè)加工部件加工誤差進(jìn)行測(cè)量，取平均值作為最終加工誤差，并使用電子表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄，兩種方法應(yīng)用下機(jī)床加工誤差對(duì)比如表2所示。

表2 兩種方法應(yīng)用下機(jī)床加工誤差對(duì)比（mm）Tab.2 Comparison of machining errors of machine tools under the application of two methods (mm)

通過(guò)對(duì)表2中數(shù)據(jù)分析可以得出結(jié)論：應(yīng)用設(shè)計(jì)方法對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制后，零部件加工誤差最大僅為0.03mm，最小加工誤差為0.01mm，均在誤差允許范圍內(nèi)，說(shuō)明應(yīng)用設(shè)計(jì)方法高精度數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡與理想軌跡基本一致，設(shè)計(jì)方法具有良好的控制效果；而應(yīng)用傳統(tǒng)方法對(duì)高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制后，加工的零部件誤差最大為0.34mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出誤差允許范圍，而且最小加工誤差也已經(jīng)達(dá)到了0.13mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于設(shè)計(jì)方法，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了，在控制精度方面設(shè)計(jì)方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法，能夠有效控制高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡，相比較傳統(tǒng)方法更適用于高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制。

3 結(jié)語(yǔ)

將PLC 技術(shù)與數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制融合，提出了一個(gè)新的加工軌跡控制思路，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該思路的可行性，此次研究有助于提高高精度數(shù)控機(jī)床加工精度，同時(shí)還有助于提高生產(chǎn)質(zhì)量，以及高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡的控制技術(shù)水平，具有良好的現(xiàn)實(shí)研究意義。但是由于該方法尚未在實(shí)際中進(jìn)行大量的操作和應(yīng)用，在某些方面可能存在一些不足之處，今后會(huì)對(duì)基于PLC技術(shù)的高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡控制方法優(yōu)化研究，為高精度數(shù)控機(jī)床加工軌跡的控制提供有力的理論支撐。