劉佳琳 龐婷方 楊孝森 王正嶺

(江蘇大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

近年來(lái),非厄米系統(tǒng)涌現(xiàn)出了大量新穎現(xiàn)象,比如傳統(tǒng)體邊對(duì)應(yīng)的失效、非厄米趨膚效應(yīng)(non-Hermitian skin effect)等等.本文通過(guò)逆參與率和平均逆參與率,研究非厄米Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的本征態(tài)的局域性以及非厄米趨膚效應(yīng),并且研究了系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)率.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究了同位無(wú)序?qū)ο到y(tǒng)非厄米趨膚效應(yīng)的影響.發(fā)現(xiàn),由于受到拓?fù)浔Ｗo(hù),無(wú)序不會(huì)破壞拓?fù)淞隳艿牟ê瘮?shù)局域性,但是會(huì)極大地影響體態(tài)的非厄米趨膚效應(yīng).引入無(wú)序以后,系統(tǒng)的體態(tài)將會(huì)迅速擴(kuò)展到體內(nèi).非厄米趨膚效應(yīng)對(duì)同位無(wú)序表現(xiàn)了脆弱性.當(dāng)無(wú)序增強(qiáng),非厄米趨膚效應(yīng)會(huì)受到很大的壓制.無(wú)序會(huì)減小系統(tǒng)的能隙和虛部能量.我們的研究加深了人們對(duì)非厄米趨膚效應(yīng)的認(rèn)識(shí).

1 引言

量子力學(xué)中,用厄米哈密頓量來(lái)描述封閉量子系統(tǒng)的幺正演化[1?6].厄米性保證了系統(tǒng)的本征能量是實(shí)數(shù),系統(tǒng)的各種可觀測(cè)物理量的期望值也都是實(shí)數(shù).因?yàn)闀r(shí)間演化的幺正性,系統(tǒng)具有概率守恒.然而,真正的物理系統(tǒng)通常不是一個(gè)完全封閉的系統(tǒng),它與外界或多或少地具有一定相互作用,產(chǎn)生耗散或增益,導(dǎo)致系統(tǒng)的能量不是恒定的,因此概率不守恒.

如今,非厄米量子理論已經(jīng)進(jìn)入了一個(gè)快速發(fā)展的時(shí)代.越來(lái)越多新奇的物理現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn),非厄米理論也在不斷發(fā)展[7?10].例如,非厄米趨膚效應(yīng)(non-Hermitian skin effect,NHSE)[11?24],廣義布里淵區(qū)(generalized Brillouin zone,GBZ)[25?30],非布洛赫體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系[31],以及非布洛赫能帶理論[18?30]等等.非厄米物理在經(jīng)典物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域也引起了相當(dāng)大的關(guān)注,這是因?yàn)榱孔恿W(xué)的薛定諤方程與經(jīng)典系統(tǒng)的波動(dòng)方程之間存在形式上的相似性.因而在固體物理中發(fā)展的能帶理論,可以在具備周期性結(jié)構(gòu)時(shí)直接類比到經(jīng)典系統(tǒng).

由于存在非厄米趨膚效應(yīng),系統(tǒng)的本征態(tài)不再是分布在整個(gè)體內(nèi),而是局域在系統(tǒng)的邊界上,因此傳統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系將會(huì)遭到破壞[32?37].此時(shí),開邊界系統(tǒng)的能譜相對(duì)周期系統(tǒng)的能譜發(fā)生了塌縮.這些現(xiàn)象都可以用非布洛赫理論來(lái)解釋,當(dāng)系統(tǒng)的廣義布里淵區(qū)與布里淵區(qū)(Brillouin zone,BZ)[38]不重疊時(shí),系統(tǒng)將會(huì)存在非厄米趨膚效應(yīng)[31,39].另外,人們也可以通過(guò)逆參與率(inverse participation ratio,IPR)來(lái)定量研究系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng)大小.非厄米趨膚效應(yīng)不僅引起了理論物理學(xué)家的廣泛關(guān)注,而且已經(jīng)被冷原子、光學(xué)、聲學(xué)和拓?fù)潆娐返戎T多領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)證實(shí)[40,41].但是目前,人們對(duì)非厄米系統(tǒng)中無(wú)序的影響研究的還很少.

本文在非厄米SSH 模型中引入同位無(wú)序[23,42],并且研究無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎淄負(fù)鋺B(tài)和拓?fù)淦椒矐B(tài)的影響.特別是非厄米趨膚效應(yīng)的影響.首先,構(gòu)建一個(gè)存在同位無(wú)序的非互易躍遷非厄米SSH 模型;其次,通過(guò)逆參與率和平均逆參與率(the averaged inverse participation ratio,MIPR)定量地分析非厄米趨膚效應(yīng),通過(guò)體邊對(duì)應(yīng)率研究拓?fù)溥吔鐟B(tài)的性質(zhì);最后,研究無(wú)序?qū)Υ讼到y(tǒng)拓?fù)湎嗪头嵌蛎宗吥w效應(yīng)的影響.發(fā)現(xiàn)同位無(wú)序不會(huì)破壞受拓?fù)浔Ｗo(hù)的拓?fù)溥吔鐟B(tài),但是會(huì)破壞非厄米趨膚效應(yīng).引入無(wú)序以后,局域在邊界的本征態(tài)將會(huì)迅速擴(kuò)展到體內(nèi).非厄米趨膚效應(yīng)表現(xiàn)出了脆弱性.

2 存在同位無(wú)序的非厄米SSH 模型

為了探究無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)的趨膚效應(yīng)的影響,構(gòu)造存在同位無(wú)序的非互易躍遷非厄米模型[27],在布洛赫理論框架下,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為如下的形式:

其中σx,y是泡利矩陣;ξ是一個(gè)在[?1,1] 均勻分布的隨機(jī)數(shù);d代表無(wú)序的強(qiáng)度.參數(shù)γ表示非厄米的強(qiáng)度,由此建立了非互易的躍遷t3±γ/2.該系統(tǒng)具有手征對(duì)稱性[6]:因此,模型對(duì)應(yīng)的本征值將會(huì)以(E,?E)的形式成對(duì)出現(xiàn):[31].

與布洛赫理論描述的周期邊界系統(tǒng)的能譜相比,非厄米系統(tǒng)的開邊界能譜會(huì)發(fā)生塌縮[19,31,43?46].另外,系統(tǒng)還存在非厄米趨膚效應(yīng),系統(tǒng)的本征態(tài)將會(huì)局域在系統(tǒng)的邊界上[47?59].因此,布洛赫理論不能準(zhǔn)確刻畫開邊界系統(tǒng)的能譜和波函數(shù)等性質(zhì).要精確描述非厄米系統(tǒng)的性質(zhì),必須在借助廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論框架下.當(dāng)d等于0時(shí),根據(jù)β=eik(k為復(fù)數(shù)),將 布洛赫哈密頓量H(k)改寫為非布洛赫哈密頓量H(β):

對(duì)于具有手征對(duì)稱性的非厄米系統(tǒng),非布洛赫拓?fù)洳蛔兞繛閇60?64]:

它是由R±(β)沿GBZCβ所積累的相位來(lái)決定的,當(dāng)w為0時(shí),系統(tǒng)是拓?fù)淦椒驳?開邊界系統(tǒng)中不存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的拓?fù)淞隳芎蛯?duì)應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài).當(dāng)w是非零整數(shù)時(shí),系統(tǒng)是拓?fù)浞瞧椒驳?開邊界系統(tǒng)中存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的拓?fù)淞隳芎蛯?duì)應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài).

3 逆參與率和體邊對(duì)應(yīng)率

首先,為了研究非厄米系統(tǒng)本征態(tài)的局域情況,計(jì)算了本征態(tài)的逆參與率(inverse participation ratio,IPR)[21,65].對(duì)于一個(gè)本征態(tài)ψ,其逆參與率為n表示格點(diǎn)的位置.當(dāng)此本征態(tài)為拓展態(tài)時(shí),波函數(shù)分布在所有的格點(diǎn)上,此時(shí)每個(gè)格點(diǎn)上的波函數(shù)模方與系統(tǒng)的格點(diǎn)數(shù)成反比.因此,逆參與率與系統(tǒng)的尺寸成反比,當(dāng)尺寸增大,逆參與率趨于零:IPR ≈1/L ≈0(L為晶格尺寸).而當(dāng)本征態(tài)是局域態(tài)時(shí),由于波函數(shù)局域在系統(tǒng)的邊界上,波函數(shù)的局域情況不會(huì)隨著系統(tǒng)尺寸增大而擴(kuò)展到更多的格點(diǎn)上.因此,局域態(tài)的逆參與率會(huì)隨著尺寸的增大而趨于非零的有限值.如果波函數(shù)完全局域在一個(gè)格點(diǎn)上,那么此時(shí)波函數(shù)的逆參與率為1.因此,逆參與率可以定量的描述波函數(shù)的局域性.

圖1(a)—(c)分別給出了系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧椒矐B(tài),臨界和拓?fù)淦椒矐B(tài)的能譜以及每個(gè)能量對(duì)應(yīng)波函數(shù)的IPR.由圖1(a)—(c)可見(jiàn),無(wú)論系統(tǒng)是否處于拓?fù)鋺B(tài)還是處于臨界,本征波函數(shù)的IPR 都趨于有限值.圖1(d)—(f)給出了與圖1(a)—(c)能量對(duì)應(yīng)的本征態(tài)在空間分布.如圖1(d)—(f)所示,所有的本征態(tài)和拓?fù)溥吔鐟B(tài)都局域在系統(tǒng)的邊界上.因此,系統(tǒng)的所有本征態(tài)都是局域態(tài),系統(tǒng)存在非厄米的趨膚效應(yīng).

圖1 (a)—(c)拓?fù)浞瞧椒矐B(tài),臨界和拓?fù)淦椒矐B(tài)的能譜.顏色表示能量對(duì)應(yīng)的波函數(shù)的IPR.參數(shù)為(a)t1=0.4;(b)t1=1.58;(c)t1=2.5.(d)—(f)分別對(duì)應(yīng)圖(a)—(c)中所有本征態(tài)在空間的分布.其余的參數(shù)為:γ=0.4,系統(tǒng)的尺寸L為80Fig.1.(a)–(c)The eigenenergies of topological nontrivial,critical and topological trivial phases with different parameters:(a)t1=0.4;(b)t1=1.58;(c)t1=2.5.The color denotes the IPR of the eigenstates corresponding to the eigenenergies.(d)–(f)The corresponding eigenstates in real space for Figure(a)–(c),respectively.The remaining parameter is γ=0.4.The length of the lattice is 80.

通過(guò)逆參與率分析了系統(tǒng)的每個(gè)本征態(tài)的局域情況.為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng),計(jì)算平均逆參與率(MIPR)[65],即把所有能量對(duì)應(yīng)的逆參與率取平均值:

平均逆參與率可以定量地反映系統(tǒng)所有本征態(tài)整體的局域程度.因此可以反映系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng)強(qiáng)度.圖2(a)給出了γ=0.4時(shí),平均逆參與率隨t1變化的趨勢(shì),我們發(fā)現(xiàn)t1為零時(shí),平均逆參與率最大;當(dāng)t1增大,平均逆參與率減小到一個(gè)有限值.圖2(b)給出了不同t1時(shí)MIPR 隨系統(tǒng)尺寸變化的關(guān)系.為了進(jìn)行對(duì)比,也給出了非厄米強(qiáng)度為零(綠線)的結(jié)果.圖2(b)顯示平均逆參與率與系統(tǒng)尺寸的逆成線性關(guān)系.非厄米系統(tǒng)中,當(dāng)尺寸增大時(shí),系統(tǒng)的平均逆參與率趨于一個(gè)有限值.這表明系統(tǒng)的趨膚效應(yīng)不會(huì)隨著尺寸增大而減弱.當(dāng)非厄米強(qiáng)度為零時(shí)(γ=0),平均逆參與率的值會(huì)因尺寸L趨向于無(wú)窮而趨向于0.也就是說(shuō),厄米系統(tǒng)的波函數(shù)是擴(kuò)展態(tài),系統(tǒng)沒(méi)有趨膚效應(yīng).

圖2 (a)平均逆參與率(MIPR)隨參數(shù) t1 變化.參數(shù)為γ=0.4,L=80.(b)平均逆參與率與晶格尺寸L的標(biāo)度.綠色線對(duì)應(yīng)t1=0.4,γ=0.其他顏色的線分別對(duì)應(yīng)不同的 t1,γ=0.4Fig.2.(a)MIPR varies with t1,other parameters are γ=0.4 and L=80;(b)finite-size scaling of MIPR for different t1.The green line corresponds to t1=0.4,γ=0,and the other lines correspond to different t1 with γ=0.4.

2016年,Lee[66]發(fā)現(xiàn)在非厄米問(wèn)題中加入拓?fù)浜罂赡軙?huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)化的拓?fù)鋽?shù)并對(duì)應(yīng)病態(tài)邊緣態(tài)(defective edge states,DESs).后來(lái),Yao和Wang[31]指出非布洛赫拓?fù)洳蛔兞靠梢悦枋龇嵌蛎淄負(fù)湎到y(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì),根據(jù)非布洛赫體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,大家預(yù)言兩個(gè)邊緣態(tài)可以分別位于系統(tǒng)兩側(cè)或者都位于系統(tǒng)一側(cè)(左或右),但根據(jù)數(shù)值計(jì)算,會(huì)出現(xiàn)某一側(cè)邊緣態(tài)消失即左邊緣態(tài)和右邊緣態(tài)重合的情況,也就是“病態(tài)”(defective)現(xiàn)象,則該邊緣態(tài)被命名為病態(tài)邊緣態(tài).DES是一個(gè)可以局域在一維非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的左邊界或右邊界的零模[67,68].Wang等[67]給出了預(yù)測(cè)邊緣態(tài)是否存在以及邊緣態(tài)個(gè)數(shù)是否變得“病態(tài)”的方法.為了準(zhǔn)確地研究病態(tài)邊緣態(tài),可以計(jì)算體邊對(duì)應(yīng)率(bulk-boundary correspondence ratio,RBBC):

|ψ±〉是兩個(gè)邊緣態(tài)并且滿足自歸一化條件:|〈ψ±|ψ±〉|≡1.兩個(gè)邊緣態(tài)的相似度由|〈ψ+|ψ?〉|決定.RBBC是一個(gè)描述邊緣狀態(tài)數(shù)異常的量,如果RBBC等于0.5,此時(shí)存在DES 現(xiàn)象,如果RBBC等于1,則不存在DES 現(xiàn)象.

如圖3(a)的相圖所示,拓?fù)淞隳B(tài)的RBBC都等于0.5,這說(shuō)明此時(shí)存在DES.為了便于比較,給這個(gè)非厄米系統(tǒng)增加了一個(gè)微擾 ?,因此本征值的簡(jiǎn)并性被破壞,此時(shí)|〈ψ+|ψ?〉|=0,所以RBBC會(huì)迅速增大到1(見(jiàn)圖3(b)).因此,此時(shí)DES 現(xiàn)象在微擾下變得不穩(wěn)定,會(huì)迅速消失.

圖3 (a)t1-γ 平面的相圖.紅色為拓?fù)湎鄥^(qū)域,體邊對(duì)應(yīng)率是0.5,此時(shí)存在DES.(b)體邊對(duì)應(yīng)率隨微擾大小變化.當(dāng)微擾為零時(shí),RBBC為0.5,當(dāng)微擾增大時(shí),RBBC 迅速增 加到1.其余 參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4 以及L=80Fig.3.(a)Phase diagram in t1-γ plane.The phase is topological nontrivial in the red regions,where the value of BBC ratio is 0.5.And there exists DES.(b)RBBC varies with the disturbance ?.When the disturbance is zero,the value of RBBC is 0.5,and when the disturbance increases,the value of RBBC jumps to 1.The remaining parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=80.

4 無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎宗吥w效應(yīng)的影響

為了研究無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)趨膚效應(yīng)的影響[23,42],研究系統(tǒng)在開邊界條件,選取的參數(shù):t2=1.2,t3=0.3.首先,研究了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能譜隨無(wú)序強(qiáng)度的變化情況(見(jiàn)圖4(a)和圖4(b)).如圖4(a)和圖4(b)所示,無(wú)序強(qiáng)度為零時(shí),系統(tǒng)存在拓?fù)淞隳?當(dāng)引入無(wú)序以后,隨著無(wú)序的增大,雖然系統(tǒng)的能隙將會(huì)減小,但是拓?fù)淞隳?紅線)依然穩(wěn)定.所以弱無(wú)序只是減小了系統(tǒng)的能隙,并沒(méi)有破壞拓?fù)淞隳艿姆€(wěn)定性.當(dāng)無(wú)序增強(qiáng)到能隙消失時(shí),系統(tǒng)的拓?fù)淞隳軐?huì)消失.因此,強(qiáng)無(wú)序會(huì)破壞系統(tǒng)的拓?fù)?拓?fù)浞瞧椒矐B(tài)將會(huì)變成拓?fù)淦椒矐B(tài).另外,當(dāng)無(wú)序強(qiáng)度增大時(shí),系統(tǒng)虛能量的帶寬將會(huì)減小.

非厄米系統(tǒng)的能譜不僅會(huì)塌縮,而且還存在非厄米趨膚效應(yīng):開放邊界系統(tǒng)的本征態(tài)都以指數(shù)衰減的形式局域在系統(tǒng)的邊界附近[47].為了研究無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎宗吥w效應(yīng)以及拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響,在拓?fù)浞瞧椒矐B(tài)中引入不同強(qiáng)度的無(wú)序(見(jiàn)圖4(c)—(e)).選擇的參數(shù)分別為:(c)d=0,(d)d=0.5,(e)d=1.圖4(c)是不存在無(wú)序時(shí)候,系統(tǒng)的所有體態(tài)(黑線)和拓?fù)溥吘墤B(tài)(紅線).非厄米系統(tǒng)存在非厄米趨膚效應(yīng),系統(tǒng)的所有本征態(tài)(包括拓?fù)溥吘墤B(tài))都局域在系統(tǒng)的邊界.當(dāng)引入無(wú)序以后(見(jiàn)圖4(d)),系統(tǒng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)依然局域在系統(tǒng)的邊界上,其局域程度不受無(wú)序的影響.所以結(jié)合前面拓?fù)淞隳艿慕Y(jié)果,弱無(wú)序不會(huì)破壞非厄米系統(tǒng)拓?fù)淞隳芗捌鋵?duì)應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)的穩(wěn)定性.但是發(fā)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)體態(tài)的局域程度被壓制了.引入無(wú)序以后,系統(tǒng)的體態(tài)向體內(nèi)擴(kuò)展,非厄米趨膚效應(yīng)迅速受到的壓制.進(jìn)一步增強(qiáng)無(wú)序的強(qiáng)度(見(jiàn)圖4(e)),拓?fù)溥吘墤B(tài)不受影響,但是體態(tài)已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)體內(nèi).此時(shí),雖然系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)沒(méi)有被破壞,但是系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng)被無(wú)序完全壓制了.非厄米趨膚效應(yīng)對(duì)同位無(wú)序表現(xiàn)出了脆弱性.因此,無(wú)序可以破壞非厄米系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng).

圖4 (a),(b)開邊界條件下的能譜.紅色點(diǎn)表示拓?fù)淞隳?藍(lán)色表示體態(tài)本征能量.(c)—(e)不同無(wú)序強(qiáng)度d 下的波函數(shù).黑色線表示體態(tài)的波函數(shù),紅色線表示拓?fù)淞隳軐?duì)應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)的波函數(shù).無(wú)序強(qiáng)度分別為(c)d=0,(d)d=0.5,(e)d=1.其余參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4 以及 L=80.Fig.4.(a),(b)Energy spectra under the open boundary condition.The red dots are topological zero-mode.(c)–(e)The eigenstate wave functions with different disorders d.The black curves are the bulk-state wave functions and the red curves are the zero-mode wave functions.The disorder strength is:(c)d=0,(d) d=0.5,(e) d=1.The remaining parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=80.

由于無(wú)序的存在,晶格的周期性被破壞,電子的波函數(shù)不再能擴(kuò)展到整個(gè)晶體中,而是在空間中按照指數(shù)形式衰減,形成安德森局域現(xiàn)象[69].圖5(a)給出了不同d時(shí)MIPR 隨系統(tǒng)尺寸變化的關(guān)系.為了進(jìn)行對(duì)比,也給出了非厄米強(qiáng)度為零(綠線和紅線)的結(jié)果.沒(méi)有引入無(wú)序,則MIPR 會(huì)因尺寸L趨向于無(wú)窮而趨向于0(綠線),但無(wú)序的引入會(huì)讓MIPR 最后趨于有限值(紅線).因此,無(wú)序的引入讓厄米系統(tǒng)表現(xiàn)出了安德森局域化現(xiàn)象.引入無(wú)序后的非厄米系統(tǒng),當(dāng)尺寸增大時(shí),系統(tǒng)的MIPR 也會(huì)趨于一個(gè)有限值,這表明系統(tǒng)的安德森局域化現(xiàn)象不會(huì)隨著尺寸增大而減弱.

圖5 (a)平均逆參與率與晶格尺寸L的標(biāo)度.所有線對(duì)應(yīng) t1=0.4.其中綠色線對(duì)應(yīng) d=0,γ=0.紅色線對(duì)應(yīng) d=0.5,γ=0.其他顏色的線分別對(duì)應(yīng)不同的 d,γ=0.4.(b)平均逆參與率(MIPR)隨無(wú)序強(qiáng)度 d 變化.參數(shù)為t1=0.4,γ=0.4,L=100Fig.5.(a)Finite-size scaling of MIPR for different d.All the lines correspond to t1=0.4.The green line corresponds to d=0,γ=0 and the red line corresponds to d=0.5,γ=0.The other lines correspond to different d with γ=0.4.(b)MIPR varies with d,other parameters are t1=0.4,γ=0.4 and L=100.

為了直觀地展現(xiàn)引入無(wú)序后系統(tǒng)中非厄米趨膚效應(yīng)和安德森局域現(xiàn)象的競(jìng)爭(zhēng),圖5(b)給出了這個(gè)系統(tǒng)平均逆參與率隨無(wú)序強(qiáng)度d的變化情況.如圖5(b)所示,在無(wú)序強(qiáng)度較小時(shí),系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng)迅速受到壓制,系統(tǒng)MIPR 減小.進(jìn)一步增強(qiáng)無(wú)序強(qiáng)度,系統(tǒng)的非厄米趨膚效應(yīng)被無(wú)序完全壓制了,但強(qiáng)無(wú)序誘導(dǎo)出安德森局域化現(xiàn)象,所以系統(tǒng)MIPR 重新變大.

5 結(jié)論與討論

綜上所述,通過(guò)逆參與率和平均逆參與率分析了非厄米系統(tǒng)本征態(tài)的局域情況和非厄米趨膚效應(yīng).發(fā)現(xiàn)平均逆參與率與系統(tǒng)尺寸的逆成線性關(guān)系,并且在熱力學(xué)極限下趨于有限值.還通過(guò)體邊對(duì)應(yīng)率分析了此系統(tǒng)的邊界態(tài)性質(zhì).此外,還研究了同位無(wú)序?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)的本征態(tài)局域性影響.發(fā)現(xiàn),無(wú)序會(huì)壓制系統(tǒng)的能隙和虛部能量.弱無(wú)序情況下,雖然拓?fù)溥吔鐟B(tài)的局域性不會(huì)受到無(wú)序的影響.但是體態(tài)的局域性會(huì)極大的受到無(wú)序的壓制,并迅速擴(kuò)展到整個(gè)系統(tǒng).在強(qiáng)無(wú)序情況下,系統(tǒng)的能隙將會(huì)被關(guān)閉,此時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)也會(huì)被破壞.