羅雨晨 李曉鵬2)?

1)(復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系,上海 200438)

2)(上海期智研究院,上海 201210)

費米子是標(biāo)準(zhǔn)模型中物質(zhì)構(gòu)成的基本單元,這些基本的粒子通過相互作用構(gòu)建了物質(zhì)世界.同時,費米子也是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域和量子化學(xué)計算中需要處理的核心的微觀自由度,對理解高溫超導(dǎo)電性、刻畫量子磁性、描述分子結(jié)構(gòu)和功能均起決定性作用.但是在經(jīng)典計算機(jī)上模擬多費米子模型比較普遍地會遇到負(fù)符號問題,需要的計算復(fù)雜度往往隨著粒子數(shù)的增長呈指數(shù)增長.而超冷原子系統(tǒng)提供了一種直接對相互作用費米子進(jìn)行量子模擬的有效手段和實驗平臺,即通過微觀可控的方式在物理實驗中實現(xiàn)一個費米子模型,通過對體系進(jìn)行測量獲取模型的微觀和宏觀特性,從而加深對相關(guān)物理機(jī)制的認(rèn)知和對關(guān)鍵參數(shù)的測定.近年來,實驗對多費米子系統(tǒng)的基態(tài)、熱平衡態(tài)、量子多體動力學(xué)進(jìn)行了豐富的研究,在BEC-BCS 渡越、費米子哈伯德模型、量子多體局域化的研究中取得多項研究進(jìn)展.在量子模擬中對經(jīng)典計算不能有效模擬的物理進(jìn)行研究,包括宏觀的量子現(xiàn)象和微觀的物理機(jī)制等,體現(xiàn)了可控量子系統(tǒng)中的量子優(yōu)越性.本文將簡單介紹相互作用費米子的模型以及其在描述量子多體物質(zhì)狀態(tài)中的重要性,并闡述相互作用導(dǎo)致的各種超流和密度波關(guān)聯(lián)物態(tài),而這些物態(tài)對理解高溫超導(dǎo)和量子磁性有重要科學(xué)意義.同時,關(guān)聯(lián)物態(tài)的模擬在經(jīng)典計算機(jī)上往往具有指數(shù)復(fù)雜度,而量子模擬的相關(guān)研究在標(biāo)定相變參數(shù)、表征物態(tài)性質(zhì)上體現(xiàn)了量子優(yōu)越性.

1 引言

費米子作為微觀物質(zhì)世界的基本構(gòu)成單元,其中的量子多體物理對描述多種不同尺度的物質(zhì)狀態(tài)均有重要意義.凝聚態(tài)物理中的高溫超導(dǎo)材料被發(fā)現(xiàn)已有三十余年,但其微觀物理機(jī)制仍未有定論,這也阻礙了更具實用價值的高溫超導(dǎo)材料的發(fā)現(xiàn),極大限制了超導(dǎo)材料的實用化進(jìn)程.其中一個基本的物理問題是描述高溫超導(dǎo)相圖的微觀物理模型是什么,一個重要的備選模型是費米子哈伯德模型,但是經(jīng)過長期大量的研究,該模型是否存在超導(dǎo)仍未有定論,其中重要的原因是模型的經(jīng)典計算復(fù)雜度太高.在天體物理中,中子星是一類重要的研究對象,其物態(tài)方程由強(qiáng)相互作用費米子刻畫,而定量的物態(tài)方程對預(yù)測中等規(guī)模的恒星演化起決定性作用[1].計算相互作用費米子的精確物態(tài)方程也遇到計算復(fù)雜的困難.量子化學(xué)直接需要處理的問題就是庫侖相互作用的多電子體系,電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的模擬對分子結(jié)構(gòu)和功能的預(yù)測至關(guān)重要[2].該領(lǐng)域目前遇到的一個重要困難是關(guān)聯(lián)電子的模擬在經(jīng)典計算機(jī)上復(fù)雜度過高.

早在20 世紀(jì)80 年代,理論物理學(xué)家費曼就提出通過進(jìn)行量子模擬應(yīng)對模擬自然界物理現(xiàn)象的經(jīng)典計算復(fù)雜度過高的問題.基于原子體系的量子模擬在過去二十年取得了長足的進(jìn)展和豐碩的研究成果.這些量子模擬的研究大致分為兩類:一類是展示新物理概念的量子模擬,包括了拓?fù)湮飸B(tài)、自旋軌道耦合、非厄米體系等的研究,這類研究極大地豐富了對低溫物質(zhì)狀態(tài)的認(rèn)識;另一類是對經(jīng)典計算復(fù)雜度過高的量子多體物理模型的量子模擬.強(qiáng)相互作用費米子的量子模擬屬于后者,研究包括運(yùn)用6Li,40K 等費米型原子對費米子哈伯德模型的量子模擬[3?6],量子多體局域化到熱化的相變[7,8],BEC-BCS 渡越的物態(tài)方程測量[1],關(guān)聯(lián)體系量子輸運(yùn)[6,9,10?12]等.

目前,費米子量子模擬的研究正在朝著更加可控、更低溫度、更多可編程自由度的方向發(fā)展.近期的冷原子物理實驗運(yùn)用空間高分辨的光場控制技術(shù),可以制造平整的約束勢場,研究具有宏觀平移對稱性的多體物態(tài)[4,13]和動力學(xué)[6,12],同時可以對約束在光晶格中的原子進(jìn)行進(jìn)一步的蒸發(fā)冷卻達(dá)到更低的溫度區(qū)間[4,6],亦可對所模擬的物理模型進(jìn)行校準(zhǔn)從而實現(xiàn)更加精確的量子模擬[8,14].費米光晶格體系也從簡單的晶格體系拓展至復(fù)晶格到多軌道的光晶格[15],為晶格、能帶、關(guān)聯(lián)效應(yīng)之間交叉復(fù)合帶來了新的發(fā)展機(jī)遇,為新型量子物態(tài)的制備打開更廣闊的空間,為更具普適意義的可編程量子模擬提供技術(shù)和方法等層面的積累.

2 基態(tài)和低溫?zé)崞胶鈶B(tài)的量子模擬

采用堿金屬原子的超精細(xì)能級可以直接實現(xiàn)的費米子模型具有SU(2)對稱性,模型哈密頓量具有以下一般形式:

在弱相互作用區(qū)間或者關(guān)聯(lián)效應(yīng)不顯著的體系,費米子多體系統(tǒng)由朗道費米液體理論描述.因為相互作用重整化的原因,費米面附近的激發(fā)表現(xiàn)為幾乎自由無碰撞的準(zhǔn)粒子.在低溫區(qū)間,費米液體理論一般的不穩(wěn)定性僅存在于超導(dǎo)配對通道,因此費米子在低溫下形成超導(dǎo)是一種自然的選擇[16],即使是排斥相互作用的費米子也可以通過Kohn-Luttinger 機(jī)制在低溫下形成超導(dǎo)配對.費米面附近的準(zhǔn)粒子之間的有效吸引相互作用的形式?jīng)Q定了不同的超導(dǎo)配對模式,即〈ψs(K)ψs′(K′)〉,而不同的超導(dǎo)配對模式給出不同的費米超流.自旋單態(tài)s-波費米超流是最簡單的一種費米超流,在冷原子的量子模擬實驗中已經(jīng)被實現(xiàn),包括BEC-BCS渡越的實驗[8]和光晶格中吸引相互作用的費米子實驗[5]等.通常認(rèn)為自旋單態(tài)d-波費米超流是銅基電子超導(dǎo)電性的本質(zhì),冷原子光晶格實驗體系中近十年一直在推進(jìn)的方向是通過對光晶格中的6Li 原子降溫,來回答排斥相互作用費米子哈伯德模型的基態(tài)能否支持d-波超導(dǎo)[17].如果不能,則更進(jìn)一步的問題是什么樣的費米子模型才能描述高溫超導(dǎo)的微觀物理機(jī)制[18].自旋三重態(tài)p-波費米超流可以形成手性p+ip的配對,這種超流體具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì),其拓?fù)浼ぐl(fā)支持馬約拉納費米子,可以用來進(jìn)行拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子計算.這種拓?fù)涑髟谝恍┕腆w材料體系如氧化物材料和超導(dǎo)-拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)中已有報道,但未取得足夠令人信服的實驗證據(jù)支撐.在冷原子量子模擬體系中引入p-波相互作用(或者等效的p-波相互作用),實現(xiàn)拓?fù)涑饕彩悄壳霸擃I(lǐng)域發(fā)展的一個重要研究方向,近期運(yùn)用里德堡綴飾態(tài)控制長程相互作用[19,20]、光晶格約束p-波共振[21]等技術(shù)取得了一定的突破,有望進(jìn)一步在費米子量子模擬中證據(jù)確鑿地實現(xiàn)拓?fù)涑?

在強(qiáng)相互作用下,費米子的基態(tài)也可以超出超導(dǎo)配對的范疇,形成Mott 絕緣體、密度波、自旋密度波等多體狀態(tài).其中的序參量通?？梢杂昧Ｗ?空穴配對刻畫,即而這些強(qiáng)相互作用費米子量子物態(tài)的實現(xiàn)也可以通過引入費米面嵌套(Fermi-surface nesting)拓展至弱相互作用區(qū)間得以實現(xiàn),從而避免冷原子量子模擬平臺中強(qiáng)相互作用帶來的三體損失.在冷原子二維正方光晶格(晶格長度設(shè)為單位1)的實驗中采用單格點成像技術(shù)觀測到了自旋密度波態(tài)[4],其序參量由描述.這里,自旋密度波的波矢為Q=(π,π),自旋空間的配對由自旋三重態(tài)描述,系統(tǒng)自發(fā)破缺晶格平移對稱性和自旋SU(2)對稱性.而粒子-空穴配對與超導(dǎo)配對類似,同樣可以有不同的自旋通道(自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)),外態(tài)(動量和軌道)的配對也可以形成高分波的形式[22].這將給出豐富的費米子密度波態(tài),自發(fā)時間反演對稱破缺的密度波態(tài)也可以支持相互作用誘導(dǎo)的拓?fù)湮飸B(tài).實現(xiàn)這些奇異物質(zhì)狀態(tài)所需的溫度與已經(jīng)在實驗中實現(xiàn)的自旋密度波態(tài)的溫度在同一個數(shù)量級.目前的費米子光晶格實驗中既可以調(diào)控費米子的色散關(guān)系,從而引入不同的費米面嵌套或者能帶閉合,又可以調(diào)控長程的相互作用.預(yù)期在近期的實驗中可以基于這些操控手段引入費米面附近準(zhǔn)粒子復(fù)雜的相互作用形式,從而誘導(dǎo)出豐富的多體物質(zhì)狀態(tài).

上述超導(dǎo)配對和粒子-空穴配對可以導(dǎo)致豐富的費米子多體物態(tài).在微擾相互作用下,場論計算方法可以可靠地計算系統(tǒng)的平衡態(tài),但是微擾相互作用體系的相變溫度往往過低.而在非微擾的情況下,什么樣的相互作用支持高分波的超導(dǎo)和高分波的密度波,模型的相圖計算等問題無法通過有效的經(jīng)典計算得到,需要的計算復(fù)雜度隨粒子數(shù)呈指數(shù)增長,而這些問題可以利用費米原子體系的量子模擬來回答,這也是其量子優(yōu)越性的一種體現(xiàn).

3 量子多體動力學(xué)的量子模擬

量子多體動力學(xué)和非平衡態(tài)的物理近年來在凝聚態(tài)和原子分子光學(xué)等領(lǐng)域獲得廣泛的關(guān)注.在銅氧化物中發(fā)現(xiàn)的光致超導(dǎo)、在弗洛凱(Floquet)量子體系構(gòu)造的奇異拓?fù)溥吘墤B(tài)、相互作用無序體系的量子多體局域化、里德堡原子陣列中發(fā)現(xiàn)的量子“傷疤”、破缺時間平移對稱性的量子時間晶體等蘊(yùn)含著豐富多彩的量子多體非平衡動力學(xué).在銅氧化物中發(fā)現(xiàn)的光致超導(dǎo)由相互作用費米子的量子動力學(xué)描述,但是理解和分析具有相互作用的非平衡量子體系的長時間動力學(xué)演化比平衡態(tài)難度更大,這就導(dǎo)致很難采取傳統(tǒng)的建模加經(jīng)典數(shù)值模擬的方式來理清其中的物理機(jī)制.而在冷原子量子模擬的實驗中,既可以同時引入非平衡、相互作用、長時間演化這些復(fù)雜性的調(diào)控,也可以把這些要素剝離出來進(jìn)行從弱到強(qiáng)的調(diào)控,這有助于對量子非平衡體系進(jìn)行整體性、系統(tǒng)性的把握,也給理論上進(jìn)行建模分析帶來重要的啟發(fā)性.

在6Li 冷原子量子模擬的研究中,近期在一個準(zhǔn)二維費米體系的BEC-BCS 渡越附近發(fā)現(xiàn)了豐富的量子多體動力學(xué)現(xiàn)象[23,25].實驗將約束在勢阱中的6Li 原子快速地從相變溫度以上冷卻到相變溫度以下.系統(tǒng)因為不能瞬時響應(yīng)溫度的變化,會被激發(fā)到不穩(wěn)定的非平衡態(tài).隨著時間的演化,這個非平衡態(tài)會逐漸達(dá)到平衡,形成低溫的費米超流體.從高溫態(tài)到低溫超流的形成伴隨著多個動力學(xué)過程的發(fā)生[26].首先,費米子會形成超導(dǎo)配對[23],系統(tǒng)中的費米激發(fā)從無能隙變成有限能隙,而玻色型的費米子對不會立刻發(fā)生凝聚,這時的非平衡態(tài)類似于高溫超導(dǎo)體系中贗能隙態(tài).然后,隨著玻色型的費米子對占比的增多,系統(tǒng)逐漸進(jìn)入一個具有大量拓?fù)錅u旋激發(fā)的超流狀態(tài).這種狀態(tài)下,系統(tǒng)不具有長程的相位關(guān)聯(lián).實驗發(fā)現(xiàn)費米子對數(shù)量增長的方式具有普適性,很大程度上不依賴于系統(tǒng)冷卻的速率.從費米對增長的動力學(xué)中可以提取出一個特征的時間尺度tf,而快速冷卻過程中產(chǎn)生的渦旋的數(shù)目隨tf呈現(xiàn)冪指數(shù)關(guān)系,實驗觀測符合著名的Kibble-Zurek 理論,證實了該理論對強(qiáng)相互作用的費米子依然成立.快速冷卻也為產(chǎn)生大量隨機(jī)分布拓?fù)浼ぐl(fā)提供了有效手段,這些大量的渦旋表現(xiàn)出非平庸的空間冪律分布,由二維XY 模型描述[23?25].最終,非平衡態(tài)會弛豫到平衡態(tài)的費米超流.最后階段發(fā)生的動力學(xué)主要是正負(fù)渦旋對的湮滅,對應(yīng)的渦旋數(shù)目衰減呈現(xiàn) 1/t的規(guī)律[25].這個過程由XY 模型或者等效的庫侖氣體模型描述,主要的模型參數(shù)包括相鄰的正負(fù)渦旋湮滅的速率和渦旋的擴(kuò)散系數(shù).實驗發(fā)現(xiàn)渦旋湮滅存在一種“短板機(jī)制”[25].正負(fù)渦旋湮滅的速率與超流密度正相關(guān),而擴(kuò)散系數(shù)與溫度正相關(guān).因為渦旋的有效衰減既需要渦旋在系統(tǒng)中的擴(kuò)散也需要正負(fù)渦旋的湮滅,因此衰減的速率由湮滅和擴(kuò)散中較弱的一個決定.在BEC 區(qū)間,因為超流密度足夠大,所以渦旋衰減速率由擴(kuò)散快慢決定,因此渦旋的衰減速率隨溫度升高而增大.在BCS 區(qū)間,由于大量的未配對的費米子與渦旋碰撞可以導(dǎo)致有效的擴(kuò)散,所以渦旋衰減速率由正負(fù)渦旋的湮滅決定,因此隨著溫度的升高而降低.如何建立一個統(tǒng)一的嚴(yán)格理論來描述上述費米超流中的復(fù)雜動力學(xué)仍是一個有待解決的問題,基于全息對偶理論為研究其中的復(fù)雜動力學(xué)提供了一種思路[25,26],但是如何將全息對偶理論與實驗觀測對應(yīng),以及如何拓展至費米子體系從而描述實驗中的動態(tài)贗能隙物理仍然有待進(jìn)一步的研究.

近期發(fā)展的空間高分辨的光場調(diào)控技術(shù),為冷原子體系研究具有宏觀空間平移對稱性的量子輸運(yùn)動力學(xué)提供了新的機(jī)遇.二流體理論預(yù)言超流中存在熵的波動傳播對應(yīng)的第二聲集體激發(fā)模式.該激發(fā)模式在實驗中很難被直接觀測到,而最近的實驗為超冷費米子制造了平整的約束勢阱[12],可以保持系統(tǒng)的動量守恒,使得第二聲的聲速和擴(kuò)散系數(shù)等重要物理量可以在密度響應(yīng)函數(shù)中直接體現(xiàn)出來.實驗中通過布拉格譜學(xué)的手段,可以施加動量-頻率可調(diào)的微擾外勢以探測系統(tǒng)的密度響應(yīng),從而得到系統(tǒng)的密度響應(yīng)函數(shù).實驗測得的第二聲的聲速在超流區(qū)間為一個有限值,在從低溫區(qū)逼近相變溫度時逐漸趨近于零,而第二聲的擴(kuò)散系數(shù)保持為一個有限值.實驗結(jié)果印證了第二聲在超流區(qū)是一個傳播模式而在正常流體區(qū)是一個擴(kuò)散模式.量子輸運(yùn)動力學(xué)的實驗為研究超流相變的普適動力學(xué)臨界行為打開了新的視角.

冷原子量子模擬也非常適合于研究遠(yuǎn)離平衡的多體動力學(xué)穩(wěn)態(tài).一類有代表性的系統(tǒng)是冷原子-光腔系統(tǒng).近期的實驗將6Li 囚禁在一個光學(xué)腔中,通過改變泵浦光的光強(qiáng)觀測到了費米子體系的動力學(xué)超輻射態(tài)[27].超輻射發(fā)生的臨界光強(qiáng)(Pth)隨粒子數(shù)(N)呈冪指數(shù)關(guān)系(Pth?N?s),而費米超輻射的冪指數(shù)因為泡利不相容原理,與非簡并氣體和玻色愛因斯坦凝聚均不相同,非簡并氣體和玻色愛因斯坦凝聚體系對應(yīng)的指數(shù)s=1,費米子的指數(shù)為1/2.這一費米量子統(tǒng)計對動力學(xué)超輻射相變的影響在實驗中被證實.另外一類有代表性的實驗是冷原子高軌道光晶格體系.近期的實驗將40K 成功裝載到一個兩維的“棋盤”狀光晶格的p-能帶[28].實驗得到了一個長壽命的亞穩(wěn)態(tài),單分量(無相互作用)的費米子在激發(fā)能帶上的壽命達(dá)到10 s,雙分量的費米子壽命也達(dá)到秒量級.這為冷原子系統(tǒng)模擬多軌道的關(guān)聯(lián)電子模型打下了基礎(chǔ).

4 總結(jié)與展望

截至目前,費米冷原子體系開展了豐富的量子模擬研究.從早期的BEC-BCS 渡越過程中強(qiáng)相互作用費米子的平衡態(tài)相圖研究,到其中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子輸運(yùn)動力學(xué)的測定以及費米光晶格中量子熱化、量子多體局域化的研究,這些實驗都不能在經(jīng)典計算機(jī)進(jìn)行準(zhǔn)確模擬.從這些實驗中測定出的重要物理參數(shù)也不能被準(zhǔn)確計算,比如三維強(qiáng)相互作用費米子的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度與費米溫度的比值,量子多體局域化發(fā)生的臨界無序強(qiáng)度等.相互作用費米子量子模擬的實驗很大程度上符合費曼提出量子模擬的最初邏輯,取得的結(jié)果在諸多問題上提供了不可取代的貢獻(xiàn).運(yùn)用費米光晶格對量子材料中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子物態(tài)進(jìn)行量子模擬的研究目前仍未超出經(jīng)典可計算的范疇,主要原因包括晶格中的原子數(shù)目有限、溫度偏高等.進(jìn)一步的發(fā)展需要在費米子降溫的技術(shù)上或者是在量子模擬的方法、方案上開展創(chuàng)新.這個方向的突破將產(chǎn)生極為重要的科學(xué)意義,比如回答費米子哈伯德模型的基態(tài)是否支持超導(dǎo)等.通過引入更多的可控自由度比如晶格結(jié)構(gòu)、多軌道自由度等,費米子量子模擬將在復(fù)雜電子材料建模分析中有助于我們進(jìn)行模型構(gòu)造、迭代和篩選.更進(jìn)一步的引入庫侖相互作用則直接可以進(jìn)行量子化學(xué)問題的量子模擬.同時,完全可編程相互作用費米子模型的量子模擬同樣也為普適量子計算提供了一條路徑[29,30].