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        高等數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè) 初等數(shù)學(xué)解決

        2022-12-04 14:48:23無錫市太湖格致中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
        關(guān)鍵詞:定義利用數(shù)學(xué)

        無錫市太湖格致中學(xué) 何 勇

        在一些高考數(shù)學(xué)試題或模擬題的設(shè)置中,以創(chuàng)新情境等方式來巧妙設(shè)置,利用高等數(shù)學(xué)的知識來創(chuàng)設(shè)或應(yīng)用,是新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題的一常見命題方式與創(chuàng)新亮點,倍受各方關(guān)注.此類創(chuàng)新應(yīng)用問題,合理滲透初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系,實現(xiàn)中等教育與高等教育之間的合理有機過渡與無縫銜接.

        1 創(chuàng)新定義類問題

        利用高等數(shù)學(xué)中一些概念、名稱、相關(guān)知識等的初等數(shù)學(xué)化創(chuàng)新定義,通過初等數(shù)學(xué)知識來重新簡單定義高等數(shù)學(xué)問題,結(jié)合合理推理論證或數(shù)學(xué)運算,實現(xiàn)用初等數(shù)學(xué)知識解決創(chuàng)新問題的目的.

        A.4 B.3 C.2 D.1

        分析:根據(jù)題目條件中給出的“凸函數(shù)”的創(chuàng)新定義,通過對給定的函數(shù)f(x)進行二次求導(dǎo),結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的不等式恒成立進行等價轉(zhuǎn)化,變換主元,將二次不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立問題,結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定變量的取值范圍,進而確定區(qū)間“寬度”的最大值.

        根據(jù)“凸函數(shù)”的定義,當(dāng)|m|≤1時,f″(x)=x2-mx-6<0恒成立,等價于當(dāng)|m|≤1時,關(guān)于m的一次函數(shù)h(m)=x2-mx-6<0恒成立.

        從而b-a的最大值為2-(-2)=4.

        故選擇答案:A.

        點評:借助高等數(shù)學(xué)中的“凸函數(shù)”進行創(chuàng)新定義,結(jié)合初等數(shù)學(xué)中一些基本初等函數(shù)的求導(dǎo)與運算,綜合函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)實現(xiàn)問題的突破與解決.以創(chuàng)新定義的形式來實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識與高中基本初等函數(shù)之間的鏈接.

        2 公式應(yīng)用類問題

        利用高等數(shù)學(xué)中一些定理、性質(zhì)、公式等的初等數(shù)學(xué)化表示,結(jié)合初等數(shù)學(xué)知識來展開與構(gòu)建,合理利用推理論證或數(shù)學(xué)運算,實現(xiàn)借助高等數(shù)學(xué)知識簡單快捷解決一些初等數(shù)學(xué)問題的目的.

        A.a(chǎn)>b>cB.b>c>a

        C.b>a>cD.c>b>a

        分析:根據(jù)題目條件,合理聯(lián)系條件中分式、指數(shù)式、根式等對應(yīng)的泰勒公式,利用泰勒公式的展開式所對應(yīng)的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,快捷解決對應(yīng)代數(shù)式的大小比較問題.

        解析:根據(jù)泰勒公式,得

        由上各展開式的關(guān)系,可知a>b>c.

        故選擇答案:A.

        點評:借助高等數(shù)學(xué)中的泰勒公式,利用泰勒公式的展開,并結(jié)合三個代數(shù)式在泰勒公式條件下的進一步轉(zhuǎn)化以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征,可以簡單快捷地比較大?。├展绞歉叩葦?shù)學(xué)中的內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)知識的拓展與課外提升部分,是高中數(shù)學(xué)競賽中的知識點.

        3 步驟分解類問題

        利用高等數(shù)學(xué)中一些解題步驟、技巧策略等的初等數(shù)學(xué)化分解,在初等數(shù)學(xué)背景下按部就班,通過初等數(shù)學(xué)知識來合理推理論證或數(shù)學(xué)運算,實現(xiàn)用初等數(shù)學(xué)知識解決高等數(shù)學(xué)問題的目的.

        例3(福建省莆田市2022屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷·12)(多選題)意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾(Cardano. Girolamo,1501—1576)發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀(jì)人們把卡爾達諾的解法推廣并整理為四個步驟:

        第二步,利用公式x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)將x3+px+q因式分解;

        某同學(xué)利用上述方法解方程8x3-12x2-42x+55=0時,得到y(tǒng)的一個值:-1+i,則下列說法正確的是( ).

        分析:根據(jù)題目條件,結(jié)合卡爾達諾的三次方程代數(shù)解法的四個步驟的說明與理解,按部就班,逐一展開與分析,綜合復(fù)數(shù)的四則運算加以計算與處理,進而確定對應(yīng)說法的正確性.

        綜上分析,故選擇答案:ABC.

        點評:借助高等數(shù)學(xué)中卡爾達諾的三次方程代數(shù)解法的步驟分解,結(jié)合數(shù)學(xué)運算、代數(shù)式的變形、因式分解以及復(fù)數(shù)的四則運算等的綜合應(yīng)用.此類問題涉及高等數(shù)學(xué)中的一些解題步驟的初等數(shù)學(xué)分解,關(guān)鍵就是按照說明按部就班,綜合推理論證或數(shù)學(xué)運算加以解決.

        通過高等數(shù)學(xué)中的某個數(shù)學(xué)概念的初等化定義或初等化應(yīng)用、某個定理公式的展開與應(yīng)用、某個解題步驟過程的初等化分解等創(chuàng)新設(shè)置,實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識初等化,借助定義的理解、公式的應(yīng)用、步驟的分析等加以拓展,從而實現(xiàn)相關(guān)知識在內(nèi)涵與外延上的突破,考查學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力等,也對學(xué)生后續(xù)進入高校學(xué)習(xí)所具備的基本能力加以合理區(qū)分與選拔.

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