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        從教材立意,走向深度學(xué)習(xí)
        ——挖掘?qū)?shù)概念的立意

        2022-12-04 14:48:23江蘇省淮陰中學(xué)胡桂東陳伏香
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
        關(guān)鍵詞:建構(gòu)概念教材

        江蘇省淮陰中學(xué) 胡桂東 陳伏香

        江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

        立足于教材立意,對(duì)教師認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)具有啟發(fā)意義,才能充分發(fā)揮教材對(duì)數(shù)學(xué)教育的功能.在暴露思維的解題活動(dòng)中,為讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單、形象、生動(dòng),提升學(xué)生探究問(wèn)題的能力,從而走向深度學(xué)習(xí),教師要對(duì)教材進(jìn)行精心創(chuàng)作,在幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解過(guò)程中為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供廣闊的空間.

        1 高中導(dǎo)數(shù)課程與教學(xué)現(xiàn)狀概述

        高中“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容是建立在必修一“函數(shù)”基礎(chǔ)之上的選修課程.用高等代數(shù)的方法研究函數(shù)問(wèn)題,是對(duì)初等函數(shù)問(wèn)題研究的延續(xù)、內(nèi)容的擴(kuò)充、方法的提升、思想的引領(lǐng),是研究與完善函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵之舉.教材的立意格局是開(kāi)闊和深邃的,教師應(yīng)當(dāng)從中可尋找到:是什么?為什么?怎么做?換言之,將“知識(shí)背景、章節(jié)理念、過(guò)程實(shí)踐、文化詮釋、主線梳理”等環(huán)節(jié)都貫穿于教材立意之中.

        新課標(biāo)教材中“導(dǎo)數(shù)”這一章的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中的地位格外重要,函數(shù)圖象的切線成為命題的熱點(diǎn),也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).但是,“導(dǎo)數(shù)”課程教學(xué)的“尷尬”之處在于教師在教學(xué)這程中普遍重視刷題,用教輔資料取代教材,忽視教材立意與格局,違反教學(xué)規(guī)律,學(xué)生沒(méi)有知識(shí)基礎(chǔ):(1)沒(méi)有學(xué)過(guò)極限直接學(xué)導(dǎo)數(shù),本身給導(dǎo)數(shù)教學(xué)帶來(lái)的是一種不清不楚的知識(shí)環(huán)境;(2)高中數(shù)學(xué)對(duì)切線的概念并沒(méi)有詳細(xì)的說(shuō)明(僅在《選修2-2》中有描述性介紹);(3)導(dǎo)數(shù)中很多結(jié)論直接給出并要求學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用,學(xué)生掌握的知識(shí)很脆弱.所以教學(xué)中絕大部分學(xué)生是“食之無(wú)肉,去之無(wú)味”,在綜合題中表現(xiàn)為理解能力不足,忽視教材教學(xué)導(dǎo)向功能,應(yīng)當(dāng)改變目前高中教材使用現(xiàn)狀,深入理解、領(lǐng)悟教材立意,正確認(rèn)識(shí)教材的教學(xué)價(jià)值導(dǎo)向,筆者根據(jù)選修教材“導(dǎo)數(shù)”中對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解,結(jié)合案例談?wù)劷滩牡牧⒁?

        2 教材的立意探索

        2.1 建立理解目標(biāo)

        在課堂教學(xué)實(shí)踐中,教師為了凸顯教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn),往往以簡(jiǎn)單的記憶、訓(xùn)練來(lái)代替對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解,一味地把教學(xué)的重心指向所謂的學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識(shí)“核心”,學(xué)生在觀察、思考過(guò)程中,因?yàn)樗季S沒(méi)有深度參與,形成對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)概念的“概念表象”,阻礙了學(xué)生向?qū)W習(xí)目標(biāo)深處追溯的意愿,降低了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度,使得“高效課堂”的背后埋藏著未被學(xué)生掌握的“核心知識(shí)”.

        美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯提出過(guò)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”的精辟論述,要聚焦解決什么問(wèn)題,才能建立理解目標(biāo).在教材“導(dǎo)數(shù)”章引言的案例中,氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)意義是什么?用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)變量的快與慢?所以,如何建立平均變化率模型就是引領(lǐng)學(xué)生深度思考,探究問(wèn)題本質(zhì)的關(guān)鍵;建立平均變化率的模型,就是建立導(dǎo)數(shù)概念的理解目標(biāo).

        2.2 建構(gòu)理解系統(tǒng)

        無(wú)論是立于一章的設(shè)計(jì),還是立于一節(jié)課的設(shè)計(jì),都應(yīng)當(dāng)考慮教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生整體思維的過(guò)程,在知識(shí)構(gòu)建、探究策略、反思總結(jié)、拓展升華等方面建構(gòu)理解系統(tǒng).通過(guò)問(wèn)題情境—問(wèn)題提出—問(wèn)題解決—學(xué)生活動(dòng)(建立數(shù)學(xué)—運(yùn)用數(shù)學(xué)—反思升華)這個(gè)過(guò)程提煉、建構(gòu)理解系統(tǒng),能夠讓學(xué)生全面掌握章節(jié)核心知識(shí),這也是教學(xué)設(shè)計(jì)的主線.如何建構(gòu)?可以結(jié)合教材的章引言、教材每節(jié)的標(biāo)題、章節(jié)回顧、文化閱讀提煉關(guān)鍵的線索.建構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念的設(shè)計(jì),如圖1所示.

        圖1

        2.3 明確理解主體

        現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程.因此,要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中的內(nèi)部認(rèn)知加以分析,數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷感性到理性、從領(lǐng)會(huì)到形成、從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過(guò)程.如何讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念便是該章節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,教材中對(duì)“陡峭程度”是這樣描述的:平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說(shuō),曲線陡峭程度是平均變化率的“可視化”,前者是“數(shù)”的表達(dá),后者是“形”的立意.

        數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過(guò)程需要經(jīng)歷以下4個(gè)階段:

        (1)辨認(rèn):通過(guò)初中的已知物理概念“平均變化率”的相關(guān)知識(shí),確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個(gè)方面.

        (2)分化:從函數(shù)曲線“增與減”的直觀代數(shù)化和“平均變化”到“瞬時(shí)變化”的幾何化對(duì)心理產(chǎn)生不同的刺激反應(yīng).

        (3)交互:幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化以彼此對(duì)立的方式在心理上運(yùn)行.

        (4)內(nèi)化:數(shù)形結(jié)合思想,以一種綜合的心理圖式轉(zhuǎn)化為內(nèi)部觀念.

        課堂實(shí)踐要以學(xué)生為教學(xué)主體.教師要引導(dǎo)學(xué)生在探索與創(chuàng)造的過(guò)程中培養(yǎng)認(rèn)識(shí)、搜索與整理信息的能力,不能將自己的主觀經(jīng)驗(yàn)直接灌輸給學(xué)生,知識(shí)傳播要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,要建構(gòu)對(duì)理解的目標(biāo)設(shè)計(jì).因此教師必須足夠重視教材對(duì)概念的引導(dǎo)和啟發(fā).

        2.4 發(fā)掘理解項(xiàng)目

        奧蘇伯爾認(rèn)為:學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)是否成功的前提.教師在幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入學(xué)習(xí)時(shí),應(yīng)著眼于學(xué)生思維的發(fā)展.在解決問(wèn)題的過(guò)程中完成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)、對(duì)項(xiàng)目的理解,應(yīng)注重學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn),重視認(rèn)知過(guò)程的層次性;同時(shí),在解決問(wèn)題的過(guò)程中,使其自身不斷產(chǎn)生新的問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生對(duì)原來(lái)問(wèn)題進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),隨著新問(wèn)題的提出使其自身思維進(jìn)一步發(fā)展.

        圖2

        教材中,利用割線逼近切線的方法,通過(guò)圖示的動(dòng)態(tài)模擬方式建構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念的初步感性認(rèn)識(shí),挖掘?qū)?shù)概念的內(nèi)涵進(jìn)行深度學(xué)習(xí).結(jié)合教材圖示(如圖2),嘗試解讀.

        2.4.1 割線斜率的動(dòng)態(tài)變化與切線靜態(tài)斜率之間建立的等量與不等量關(guān)系的內(nèi)涵

        圖3

        2.4.2 割線斜率的動(dòng)態(tài)變化揭示直線與靜態(tài)函數(shù)曲線之間位置的內(nèi)在聯(lián)系

        例2設(shè)k,b∈R,若不等式kx+b≥lnx對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(0,+∞)恒成立,求k+b的最小值.

        圖4

        思路點(diǎn)撥:如圖4,不難想到將條件中不等式左邊看成不等式右邊函數(shù)圖象的切線.

        圖5

        思路點(diǎn)撥:過(guò)點(diǎn)(0,b)分別作f(x),g(x)的切線,使直線y=kx+b在兩切線之間.如圖5.

        例4已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù),且為常數(shù)).若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        思路點(diǎn)撥:不等式(x-1)f(x)≥0恒成立可等價(jià)于x≥1時(shí),(x+1)lnx≥a(x-1)恒成立;0

        簡(jiǎn)解:根據(jù)數(shù)形結(jié)合法可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,2].

        通過(guò)幾個(gè)案例分析,了解了切線與函數(shù)圖象的位置關(guān)系,題目的立意幾乎都源自導(dǎo)數(shù)的概念.數(shù)學(xué)解題是一種思維活動(dòng),教師要摒棄繁雜套路的解題教學(xué),回歸教材關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

        2.5 梳理理解成果

        圖6

        將對(duì)教材的研究融入課堂實(shí)踐,在概念教學(xué)中尋找新的生長(zhǎng)點(diǎn),立足于教材結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,設(shè)計(jì)教學(xué)是學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)的前提,也是問(wèn)題設(shè)計(jì)的思想源泉.挖掘教材內(nèi)涵,發(fā)揮教材教學(xué)功能,讓教學(xué)回歸良性的教育生態(tài).

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