楊勝豐，顏可珍，查旭東，黎國凱

(1. 廣州市中心區(qū)交通項目管理中心， 廣東 廣州 513003；2. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082；3. 長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410004)

0 引言

瀝青混合料的動態(tài)力學性質跟溫度和荷載作用時間密切相關，是一種典型的黏彈性復合材料[1-2]。因此，無論是路面力學研究，還是國內外的瀝青路面設計規(guī)范，其材料力學參數均由靜態(tài)向擬靜態(tài)參數過渡[2-3]。為了克服數學模型描述黏彈力學信息的不足，研究者通常采用力學模型描述瀝青混合料的黏彈力學性質[1，4]。然而，經典的黏彈力學模型描述動力學性質時，存在參數過多、過度擬合的現象[5]。

為了更好地描述瀝青混合料的動態(tài)力學性質，研究者采用含參數較少經驗模型描述瀝青混合料的黏彈函數主曲線[6]。ZHAO[6]等建立了基于MHN模型的黏彈函數主曲線，該模型能夠較好地描述動態(tài)模量、相位角和損失模量等黏彈參數。以上研究僅限于黏彈參數的表征，仍為經驗模型，其復數模量推導并沒有從數理方程出發(fā)。近年來，研究者采用黏彈性分數階導數模型表征橡膠、高分子材料的力學性質，并取得了許多有價值的成果[7]。分數階導數黏彈性模型是采用分數階導數彈壺替代經典力學模型中的黏壺所得到的力學模型。許亞男[8]采用分數階導數模型表征瀝青的寬溫寬頻范圍內的黏彈力學性質；顏可珍[9]等基于四參數分數階導數模型微分方程建立了瀝青混合料動態(tài)黏彈力學性質的五參數分數階導數模型。以上研究構造分數階導數模型主曲線時采用直接法，該方法因數值擬合過程中需要考慮移位因子的參數，所以模型參數較多。Wicket圖方法是測試值和預測值在雙對數坐標系內的圖像呈現倒“U”型特征的作圖方法，LEVENBERG[10]采用Wicket圖方法得到了瀝青混合料的動態(tài)模量和相位角主曲線。

為更好地推廣和應用分數階導數模型，本文基于四參數分數階導數Zener模型(Fractional Derivative Zener Model， FDZ)模型微分方程，推導得到損耗因子與存儲模量之間的函數關系式，并采用Wicket方法建立瀝青混合料FDZ模型的黏彈函數主曲線，并與Sigmoidal模型進行了對比研究。

1 分數階導數Zener模型

根據文獻[9]，FDZ模型本構微分方程為:

(1)

式中：α為微分的階數，0<α<1，E0為頻率趨近于0的存儲模量，稱為靜態(tài)模量，MPa；E∞為頻率趨近于無窮時的模量，稱為玻璃態(tài)模量，MPa；τ為特征時間。

σ(iω)+(iωτ)ασ(iω)=E0ε(iω)+

E∞(iωτ)αε(iω)

(2)

整理得復數模量解析式為式(3):

(3)

分離實部和虛部分別得到存儲模量式(4)、損失模量式(5)和損失因子(6)：

(4)

(5)

(6)

其中,ωn=ωτ為歸一化頻率；tan (δ)為損耗因子，δ為相位角，rad。

根據式(4)～式(6)可知，損耗因子與存儲模量之間的關系式為式(7)

(7)

式中：E0≤E′(ω)≤E∞，從式(7)中可知，損耗因子是存儲模量的函數，不含有參數τ，參數僅有3個(Ε0、Ε∞、α)，因此，損耗因子是與τ無關的函數。

2 主曲線構造

瀝青混合料的黏彈力學特性跟溫度和頻率密切相關，具有典型的時-溫等效性質，因此，基于該原理可以建立瀝青混合料寬溫寬頻范圍內黏彈函數主曲線，構造主曲線需要考慮移位因子、目標函數。

2.1 移位因子計算

本文采用WLF方程式(8)計算FDZ模型的移位因子。

(8)

式中:αT為溫度移位因子，無量綱；T為試驗溫度，℃；T0為主曲線擬合時所選擇的參考溫度，℃；C1為常數，無量綱；C2為常數，℃。

縮減頻率與角頻率之間的關系為：

ωr=ω×αT

(9)

其中,ωr為角頻率，rad/s。

2.2 目標函數

本文采用損耗因子作為擬合準則構造目標函數。

(10)

其中，fmin為目標函數最小值，tan(δ)m、 tan(δ)cal分別為損耗因子的測試值和預測值。

3 主曲線構造

3.1 wicket域主曲線構造

本文主曲線構造所采用的瀝青混合料為AC-10和SMA-16，混合料動態(tài)模量試驗數據出自文獻[7]。 式(7)為損耗因子與存儲模量之間的顯示函數關系，在Wicket域內，損耗因子與存儲模量之間僅與3個模型參數Ε0、Ε∞、α密切相關，與特征時間τ無關。假設τ=0.001 s時，通過優(yōu)化公式(10)得到Wicket圖， 如圖1(a)所示。

從圖1(a)可知，FDZ模型損耗因子的預測值與實測值吻合較好，擬合優(yōu)度達到0.95，且得到FDZ模型參數分別為：E0=53.15 MPa，E∞=38 558 MPa，α=0.40，此時，動態(tài)模量主曲線如圖1(b)中虛線所示。選擇21 ℃為參考溫度，通過平移得到參考溫度下的動態(tài)模量主曲線，此時τ=0.000 79 s。

(a) Wicket圖

為了建立參考溫度為21 ℃時寬溫寬頻下的動態(tài)模量和相位角的主曲線，基于WLF方程式(8)，采用非線性擬合方法分別計算各個溫度下的移位因子，并得到了動態(tài)模量和相位角的主曲線如圖2所示。

(a) 動態(tài)模量

上述采用Wicket方法建立FDZ模型動態(tài)模量和相位角主曲線的過程可以發(fā)現，相位角和動態(tài)模量主曲線均采用同一套模型參數，滿足線性黏彈性Kramers-Kronig關系，通過優(yōu)化得到的模型參數可以建立參考溫度下FDZ模型頻域或者時域內的本構微分方程。

模型擬合參數和各溫度下WLF方程的參數分別如表1和表2所示。

表1 FDZ模型參數Table 1 FDZ model parameters瀝青混合料E∞E0ατ0AC-1038 558530.407.90E-04SMA-1633 035680.39 4.60E-04

表2 WLF方程參數Table 2 WLF equation parameters 瀝青混合料溫度/℃C1C2/℃logαT-1091083.50491041.84AC-1021//0.00371192-1.61541290-3.26-1091113.54491051.80SMA-16//0.00371190-1.71541190-3.02

從表2中可知，Wicket方法各個溫度下的C1和C2值均不同，與直接法采用同一套C1和C2值確定移位因子，存在明顯的不同。

3.2 SWBZ與Sigmodal模型比較

美國公路合作計劃項目提出采用Sigmoidal模型描述動態(tài)模量主曲線，該模型的解析式適用于動態(tài)模量和存儲模量的表征[11-12]，其動態(tài)模量解析式為式(11)：

(11)

式中：a、b、c、d分別為模型參數。

采用非線性最小二乘法擬合得到的Sigmodal模型相位角測試值如圖3(b)所示，Sigmodal模型和WLF方程的參數如表3所示。

從圖3中可知，Sigmoidal模型能夠描述單一的黏彈參數(動態(tài)模量)，但沒有相位角的解析式，因而不能描述相位角的變化趨勢；同樣，該模型數值擬合過程中，僅考慮動態(tài)模量的影響，未考慮相位角的最優(yōu)擬合，所以該模型不滿足線性黏彈性的Kramers-Kronig關系。

(a) 動態(tài)模量

表3 Sigmoidal 模型參數Table 3 Sigmoidal model parameters瀝青混合料abcdC1C2/℃AC-103.42-0.48-0.511.2323212SMA-162.78-0.05-0.561.7618166

從圖4可知，兩種方法所得到的動態(tài)模量主曲線主要區(qū)別為高低頻范圍，中高頻域內相差較小，低頻范圍內兩種模型區(qū)別較大。從圖5可以看出：兩個模型移位因子[log(αT)]隨著溫度變化呈現直線特征，區(qū)別主要是在兩端。低溫處區(qū)別較大，高溫處區(qū)別較小。Sigmoidal模型log(αT)更高，說明Sigmoidal模型高頻移動的距離越大。綜合圖4和圖5可知，低頻時的預測曲線存在明顯的區(qū)別，主要是兩個模型低頻范圍內的預測曲線均由各自的模型參數值確定。

圖4 AC-10瀝青混合料不同模型動態(tài)模量主曲線

圖5 AC-10瀝青混合料FDZ模和Sigmoidal模型移位因子對比

綜合圖3～圖5可知，雖然FDZ模型和Sigmoidal模型的移位因子區(qū)別很小，但是相比Sigmoidal模型，FDZ模型采用一套模型參數描述所有黏彈函數主曲線，滿足線性黏彈性Kramers-Kronig關系。FDZ模型具有wicket域的顯示函數關系式，采用非線性最優(yōu)方法確定模型主要參數僅3個，準確性更高。

4 結論

本文基于FDZ微分方程式，通過傅里葉變換，得到了FDZ模型復數模量解析式，并進一步得到了該模型Wicket域內的解析式，采用兩種常見的瀝青混合料構造了FDZ模型黏彈參數的主曲線，并與Sigmoidal模型主曲線進行了對比研究，結論如下：

a.基于FDZ模型各黏彈參數之間的關系，得到了損耗因子與存儲模量之間的顯式函數關系式，并建立了兩種瀝青混合料黏彈參數FDZ模型的Wicket圖，預測值與測試值吻合較好。

b.采用非線性優(yōu)化方法確定了Wicket域內3個與加載頻率無關的模型參數E0、E∞、α；采用同樣的方法確定了參考溫度下的特征時間τ和WLF方程參數C1、C2。

c.與Sigmoidal模型不同，FDZ模型采用一套模型參數確定了瀝青混合料的復數模量和相位角主曲線，滿足Kramers-Kronig關系，其微分方程可為瀝青路面層狀黏彈性力學計算提供參考。