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        回歸·拓廣·升華
        ——以一道解三角形試題的分析歷程為例*

        2022-12-04 20:34:23耀
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期
        關(guān)鍵詞:平分線定理三角形

        王 耀

        (江蘇省蘇州第一中學(xué) 215006)

        筆者在近期的高三一輪復(fù)習(xí)中,發(fā)現(xiàn)一道解三角形選擇題的準(zhǔn)確率不高,于是以此為契機,精心構(gòu)思,通過師生合作將一些相關(guān)知識點完美串聯(lián)起來,具體講評歷程整理如下.

        1 問題呈現(xiàn)

        2 知識梳理

        教材溯源1(人教版教材第54頁“綜合運用”第17題)證明:設(shè)△ABC的外接圓的半徑是R,則a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

        簡證(1)當(dāng)△ABC是銳角三角形時,外接圓O半徑為R,如圖1,連結(jié)BO并延長,交外接圓于點A1,連結(jié)A1C,則圓周角∠A1=∠A.

        圖1 圖2

        3 問題解決

        在批閱這道題時,筆者發(fā)現(xiàn)得分率相對較低,詢問后得知即使答對的學(xué)生,也有部分是通過對三角形特殊化后“猜對”的答案.因此,在講解前,筆者特地回顧教材,對正弦定理的來龍去脈進行回顧(知識梳理部分).這樣處理后,許多學(xué)生再面對這道題時,得到以下解法:

        圖3

        解法1中,通過初等幾何知識(圓周角相等)以及正弦定理的拓廣結(jié)論進行求解,讓解題思維不只是“冰冷的美麗”,能否繼續(xù)展開“火熱的思考”,也是值得探究的問題.除了采用“化角”的轉(zhuǎn)化策略,筆者也嘗試進行“化邊”轉(zhuǎn)化,進而引導(dǎo)學(xué)生進行思考,將解法2的教學(xué)片段整理如下.

        師:在解三角形中,由三角形的角平分線能想到什么性質(zhì)或結(jié)論?

        圖4

        生2:相交弦定理,也就是利用△A1BD∽△CAD可知BD·DC=AD·DA1.

        師:生2講得很全面,問題轉(zhuǎn)化為求出角平分線AD的長度,怎么求解呢?

        師:上面對三角形中內(nèi)角平分線的定性分析、定量計算,復(fù)習(xí)了經(jīng)典的結(jié)論,現(xiàn)在請大家將上面的信息綜合起來,推導(dǎo)一下線段AA1的長度表達(dá)式.

        評注(1)這個解法中,綜合運用了多個定理,如角平分線定理、相交弦定理、余弦定理、角平分線長公式等,其中,與角平分線相關(guān)的公式、定理都是命題中的熱點,本文下面會舉例說明.

        圖5

        多么簡潔的方法,的確讓大家眼前一亮,筆者和學(xué)生一起感受這道題蘊涵的數(shù)學(xué)之美,也有學(xué)生提出能不能利用余弦定理來證明這個結(jié)論?結(jié)合前面的解法,師生討論后發(fā)現(xiàn)這個方向是可行的.

        解法4如圖6,設(shè)∠BAC=A=2θ,則∠BAA1=∠CAA1=∠BCA1=∠CBA1=θ,可設(shè)A1B=A1C=x.

        圖6

        真是條條大路通羅馬啊,一道小題竟然可以有幾種方法去研究它,不知不覺地就過了一節(jié)課.課后,筆者也意猶未盡,繼續(xù)思考,得到如下更為簡潔的解法:

        4 拓展運用

        為了鞏固上文中的一些解題策略,筆者選取了幾道習(xí)題供學(xué)生進行練習(xí),升華思維.

        圖7

        例1(2018·江蘇卷13)在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

        圖8

        評注此題也可以運用幾何法進行直觀想象,即利用角平分線定理構(gòu)造調(diào)和點列,得到結(jié)果,但是用解析法進行邏輯推理更加嚴(yán)謹(jǐn),可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算的能力.

        圖9

        評注在人教版新教材第64頁中,讓學(xué)生用向量法研究三角形的性質(zhì)進行數(shù)學(xué)探究的研究活動,本例恰好是在所學(xué)知識基礎(chǔ)上,對三角形的內(nèi)心進行向量表示的完美體現(xiàn).

        例4(2021·全國I卷19)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.

        (1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

        圖10

        評注這道題雖是中檔題,但是從學(xué)生反饋來看,不少人用時較多.可見,將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)特征,選擇有效的轉(zhuǎn)化策略尤為重要,本題由定比分點進行向量表示是最高效的解題途徑.

        5 教學(xué)感悟

        (1)回歸教材,理解數(shù)學(xué)

        2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)指出,通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”).高考命題的依據(jù)是“課標(biāo)”“考綱”與“教材”,命題源于教材但又高于教材,這是全體高三教師的共識.那么,高三數(shù)學(xué)備考的課堂教學(xué)中,提升“四基”“四能”,離不開對教材的深刻理解.章建躍教授近年來倡導(dǎo)的“理解數(shù)學(xué)”[1]引起了廣泛的關(guān)注,他提出,教好數(shù)學(xué)的前提是要理解數(shù)學(xué),只有理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),才能積累教學(xué)知識的表達(dá)經(jīng)驗.

        的確,通過文中分析的這道題不難看出,對于廣大師生而言,理解教材是教師教好數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,教材中的定理和一些典型的例習(xí)題之間常具有一定的關(guān)聯(lián)性,其中滲透了某些經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法.因此,在高三的復(fù)習(xí)工作中,要認(rèn)真研讀教材,充分發(fā)掘教材的使用價值,通過對教材的深入思考與研究,幫助學(xué)生系統(tǒng)地梳理知識,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).例如,本文中通過對正弦定理背景下的習(xí)題講評的設(shè)計,師生共同探究問題的背景、方法和聯(lián)系,幫助學(xué)生積累問題解決過程中常用的解題經(jīng)驗.

        (2)拓展探究,建構(gòu)數(shù)學(xué)

        教學(xué)的目的是使學(xué)生學(xué)會未知的知識,逐步由“學(xué)會”到“會學(xué)”.也就是說,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中接受新知識,更重要的是要學(xué)會如何獨立思考.因此,筆者認(rèn)為給學(xué)生提供合適的研究對象,進行拓展研究,顯得尤為必要.這些素材廣泛分布在教材中,例如正文、思考、旁白、例習(xí)題等.

        在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中,如果只是對知識點重復(fù)羅列,無法提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度和內(nèi)驅(qū)力.不妨注重聯(lián)系,“合縱連橫”地進行知識體系的再建構(gòu),即通過“點—線—面”的方式,將教材中的關(guān)聯(lián)知識點靈活呈現(xiàn)[2],在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生對概念、定理、公式的來龍去脈進行再認(rèn)識,對教材知識進行再鞏固,提高知識綜合運用的能力,提升問題解決的成功率.

        本節(jié)課中研究的問題,與三角函數(shù)、向量、正弦定理、余弦定理、不等式、初等幾何等知識之間有著密切的聯(lián)系,這些知識都是解決幾何問題的有力工具.通過對其中分析思維歷程的展示,讓學(xué)生領(lǐng)會到知識的精髓,積累數(shù)學(xué)探究的活動體驗.

        (3)強化運用,升華思維

        以“微點”入手的課堂教學(xué)是近年來高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的常見課型[3],教師精心選擇素材,結(jié)合歸類設(shè)計、變式開發(fā)等手段完善講評策略,通過學(xué)生自主探究、師生合作探究,對知識進行運用和拓展,探究解法聯(lián)系,還原問題本原,從而引導(dǎo)學(xué)生積極、主動地矯正思維問題,深入體會數(shù)學(xué)思想方法,拓寬思維的廣度,發(fā)掘思維的深度,進一步完善知識結(jié)構(gòu).這樣的課堂設(shè)計,常需要從微觀和宏觀兩個層面進行構(gòu)思,師生積極參與,使高三的數(shù)學(xué)課堂充滿生機活力,對學(xué)生思維的發(fā)展、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的提高有積極的作用,對教師課堂教學(xué)效率和品位的提高有參考價值.

        通過本節(jié)課中的問題解決過程發(fā)現(xiàn),解法之間有聯(lián)系,更有創(chuàng)新,各具特色,解題過程不再是“冰冷的形式化美麗”,而是那種發(fā)散的、火熱的思考過程,達(dá)到了數(shù)學(xué)思維的自然流淌.由此可見,面對數(shù)學(xué)問題,只要我們學(xué)會廣泛的聯(lián)想和生動的類比,我們就會擁有寬闊的思路,探究出各式各樣的方法.如果在解題過程中,對于每一個細(xì)節(jié)再進一步深入思考,繼續(xù)追尋下去,那么解法還能不斷改進,不斷優(yōu)化,化復(fù)雜為簡單,聚分散為統(tǒng)一.這一切不僅可以提高我們發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,更是一種數(shù)學(xué)美的享受.

        總之,提高學(xué)生的問題解決能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的永恒主題.作為教者,應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生重視知識背后的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律,積累問題解決過程中的思維經(jīng)驗,追求知識能力的應(yīng)用和遷移,從而讓教師的課堂教學(xué)更加精彩,最大限度地促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效落實.

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