00080 華東師范大學第一附屬初級中學 李建華

數(shù)學是思維的體操，高階思維是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.“思維著的教學活動決定著學習的質(zhì)量.因此必須重視人的思維教育，對于數(shù)學教育而言，思維教育日益處于核心地位”[1].但是，縱觀目前的數(shù)學課堂，仍然存在學生數(shù)學思維僵化，尤其是學生的高階思維還沒有得到充分發(fā)展的現(xiàn)象.究其原因，主要是部分教師的灌輸式教學使學生的思維缺乏適應性，在教學過程中過分強調(diào)套路和模式，減少了學生思索問題的機會，導致學生在很大程度上只是通過套用模式和模仿解決問題，機械地使用教材(例如教材中反映概念的圖形通常以標準形式呈現(xiàn)，忽略了標準圖形的特殊性和有限性)，容易形成機械記憶.

實踐證明，變式教學是數(shù)學教學的一種重要方法.通過創(chuàng)建“含英咀華、披沙揀金、循序漸進、‘小題大做’”的變式訓練，可以指導學生以驅(qū)動性問題為線索，從多個方向、多個角度加以思考，并引導學生通過現(xiàn)象把握數(shù)學及其學習本質(zhì).它能優(yōu)化學生思維結構，是提升思維品質(zhì)的利器，并且易于滲透到日常數(shù)學教學中，是與教學無縫銜接的一種有效方法.

1 變式教學及其對高階思維培養(yǎng)的價值

1.1 變式教學的內(nèi)涵解讀

《中國教育百科全書》把“變式”界定為“從各個不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物的一般屬性的思維方式”[2].在數(shù)學教學中，“變式”是指相對于一種固定范式的變化形式，即不斷改變問題情境或改變思維角度的變化模式，使事物的非本質(zhì)屬性在保持事物本質(zhì)不變的前提下不斷遷移，在數(shù)學教材中具體表現(xiàn)為數(shù)學思維結果.

“變式教學”是運用變式原理突出學科的概念、規(guī)律和本質(zhì)特征的教學，是一種指向高階思維培養(yǎng)的教學策略.它是重要的數(shù)學教學思想，也是思維訓練的重要途徑.它要求數(shù)學課程開發(fā)和教學實施通過不同性質(zhì)和類別的變式展示知識發(fā)生、發(fā)展和形成的完整認知過程，凸顯思維過程.通過運用不同的知識和方法，從不同的角度、不同的層次、不同的情境、不同的背景對數(shù)學問題進行變式研究，有意識地引導學生從“變化”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中尋求“變化”規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng).它有助于培養(yǎng)學生透過現(xiàn)象認識數(shù)學問題本質(zhì)的批判型思維，以及求異、思變的創(chuàng)新型思維.

1.2 數(shù)學高階思維——一種復雜思維

高階思維是一個相對的概念.目前，關于高階思維的定義在學術和實踐領域尚無普遍共識，但是從現(xiàn)有文獻中可以找到高階思維的一些共同特征，即高階思維是一種復雜思維，不是預先給定的程序，具有多種解決方案、多種標準，是一種基于情境的、充滿不確定性且過程復雜的問題解決過程，需要付出更多的努力，高階思維的結果往往具有建設性的意義.發(fā)展高階思維是當今社會對人才培養(yǎng)提出的新要求，是學生未來適應社會所必備的能力，也即學生發(fā)展的核心素養(yǎng).

數(shù)學高階思維，指學生在數(shù)學學習領域所表現(xiàn)出的高認知水平和認知能力，是一種指向元認知的思維方式.基于文獻研究和課堂實踐，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學高階思維是面對教師提供的數(shù)學學習任務，學生在數(shù)學學習活動中為完成任務提出的學習要求所表現(xiàn)出來的高水平心智活動，突出表現(xiàn)為策略型思維、批判型思維、創(chuàng)新型思維.

1.3 變式教學和數(shù)學高階思維培養(yǎng)的內(nèi)在契合性

研究表明，數(shù)學高階思維通常構思于復雜的問題情境中，在問題分析和解決活動中發(fā)展，可以通過有效的、基于情境的訓練來實現(xiàn).而變式教學是數(shù)學教學的重要教學理念，可以作為幫助學生鞏固數(shù)學基礎、形成數(shù)學能力、提高思維品質(zhì)的最直接最有效的訓練方式.

一方面，變式教學能有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學批判型思維和創(chuàng)新型思維.數(shù)學學習中的思維方式通常分為收斂思維和發(fā)散思維.收斂思維是深入理解數(shù)學概念、全面把握數(shù)學知識體系的重要思維方式，也是數(shù)學批判型思維的重要組成部分.在數(shù)學變式教學中，主要通過“一題多問”或“多題歸一”的辯證過程，凸顯思維發(fā)展歷程，引導學生將新問題與已解決的同類問題聯(lián)系起來，比較和識別其特點，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，或運用解決舊問題的經(jīng)驗方法，培養(yǎng)學生的收斂思維.發(fā)散思維不局限于一種方式或一種理解，而是傾向于多方向延伸，通過多維度思考各種可能的解決問題方法，屬于創(chuàng)造型思維.在數(shù)學變式教學中，主要通過“一題多解”或“一題多變”促進學生思維多向拓展，引導學生從不同角度思考問題，尋求最佳解決方案，培養(yǎng)學生發(fā)散思維.變式教學可以整合“收斂”和“發(fā)散”兩種相反的思維模式的優(yōu)勢，培養(yǎng)學生的批判型思維和創(chuàng)新型思維，促進學生思維結構的不斷完善、優(yōu)化.

另一方面，變式教學可以使學生在判斷、比較和選擇各種變式時發(fā)展自己的策略型思維.它鼓勵學生使用多種方法和策略來解決真實問題，學生需要結合具體的問題情況，發(fā)掘潛在條件，提出一些假設和解決問題的路徑，并從眾多解決方案中選擇更佳、更簡單的方法以及最有效的路徑和步驟等.這一過程是學生運用策略型思維的體現(xiàn).

簡而言之，變式教學是學生高階思維發(fā)生的助推器，順應了學生思維發(fā)展規(guī)律和新時期數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的新趨勢.

2 指向?qū)W生數(shù)學高階思維發(fā)展的變式教學的路徑

數(shù)學高階思維的發(fā)展需要高階學習的支持.高階學習是要求學習者運用數(shù)學高階思維的學習活動.實踐表明，“一題多解”“多題歸一”“一題多問”“一題多變”等變式訓練方法有利于學生數(shù)學高階思維的發(fā)展.基于此，筆者對數(shù)學高階思維培養(yǎng)的變式教學發(fā)展路徑展開了積極探索.

2.1 從“一維”走向“多維”:讓策略型思維在變式教學中架構

策略型思維是指學生在學習數(shù)學概念、定理、公式或解決數(shù)學問題的過程中進行提煉、變通、優(yōu)選或遷移的行為.它具有抽象性、多樣性、擇優(yōu)性和遷移性的典型特征，屬于數(shù)學高階思維范疇.

2.1.1 一題多解，拓廣思路

在教學中，面對同一素材來源，引導學生非常規(guī)、全面、多角度地思考問題，探索不同的解決方法.例如，在講解例題時，不局限于教材中已有的解決方案，引導學生探索其他解決方案，克服靜態(tài)孤立的思維習慣，實現(xiàn)方法的靈活變通和優(yōu)選優(yōu)化.

案例1列方程解應用題(一題多解)

例題請用三種方法解答下面的實際情境應用題.

某電腦公司2021年的各項經(jīng)營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為800萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%．該公司預計2023年經(jīng)營總收入要達到2880萬元，且計劃從2021年到2023年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，問2022年預計經(jīng)營總收入為多少萬元?

如何求解這道實際情境數(shù)學應用題？首先，逐句讀題，厘清題中涉及的量及它們之間的關系.通過審讀發(fā)現(xiàn)本題主要條件有三句話，根據(jù)這三句話可得到的數(shù)量關系為“三個相等關系”，具體如下.

①2021年電腦配件收入800萬元÷40%=2021年全年經(jīng)營總收入.

②2023年經(jīng)營總收入=2880萬元.

③2021年—2022年的年經(jīng)營總收入增長率=2022年—2023年的年經(jīng)營總收入增長率.

然后，選擇其中的一個相等關系進行“轉(zhuǎn)譯”，并根據(jù)轉(zhuǎn)譯相等關系時出現(xiàn)的未知量設未知數(shù)，列出方程求解.根據(jù)這三個相等關系，依次可以列出三個不同的方程解答該實際情境數(shù)學應用題，具體如下.

方法1：利用相等關系①

答：該電腦公司2022年預計經(jīng)營總收入為2400萬元.

方法2：利用相等關系②

解法2：設該電腦公司每年經(jīng)營總收入的年增長率為x，根據(jù)題意，得(800÷40%)(1+x)2=2880，解得x1=0.2，x2=-2.2(不合題意，舍去).故將x=0.2代入(800÷40%)(1+x)得(800÷40%)(1+0.2)=2400(萬元).

答：該電腦公司2022年預計經(jīng)營總收入為2400萬元.

方法3：利用相等關系③

解法3：設該電腦公司2022年預計經(jīng)營總收入為x萬元，根據(jù)題意，得x2=(800÷40%)×2880，解得x1=2400，x2=-2400(不合題意，舍去).

答：該電腦公司2022年預計經(jīng)營總收入為2400萬元.

在學生自主探索的過程中，教師要主動巡視指導，提供必要的支架和幫助，鼓勵學生以不同的方式進行探索和嘗試,并根據(jù)學生的具體情況及時進行調(diào)控.同時，教師向?qū)W生展示各種方法，進行適當點撥.

2.1.2 多題歸一，透“表”求“里”

學生解決數(shù)學問題的實踐中存在許多同一類型問題，因此，可以使用相同的思維方式或方法來解決問題，即多題歸一或一法多用.在解決問題的過程中，為強化一種解決問題的方法，可以將不同內(nèi)容的練習有機地整合在一起，編成一組，引導學生觀察和對比，讓學生明確問題實質(zhì)，用同樣的方法解決問題.此外，教材中的許多例題(習題)在解法上是相同的，復習時可以將其歸為一類，引導學生用同樣的方法解決問題，使學生不沉迷于表面現(xiàn)象，而是透“表”求“里”，自覺認識同一問題的本質(zhì)，然后提煉出規(guī)律、方法，比較分類，由一個問題認識一個類別.

案例2解直角三角形的應用(多題歸一)

例題某市正在對城區(qū)河段進行區(qū)域性景觀打造，某施工單位需要測得某河段的寬度，如圖1-1，測量員先在河對岸岸邊取一點A，再沿河邊取兩點B，C，在B處測得點A在北偏東30°方向上，在點C處測得點A在西北方向上，量得BC長為200米.求小河的寬度(結果保留根號).

圖1-1

其實例題與變式題是“形異質(zhì)同”的兩個問題，因為它們的基本結構是相同的，其實質(zhì)都是“已知兩個銳角α，β和一邊長m(如圖1-3所示)，求高x”.它們均可利用解直角三角形的方法，列出形式完全相同的方程求解，即在例題與變式題中，若分別設小河的寬度、居民樓與大廈的距離為x，則根據(jù)題意所列出的方程分別是xcot60°+xcot45°=200(例題)，xcot53°+xcot42°=80(變式).

圖1-2圖1-3

2.1.3 設計題組，應變思索

設計由淺到深的變式題組，根據(jù)建構主義思想，引導學生進行巧妙轉(zhuǎn)換.學生在由易到難的探究中，通過觀察比較、把握特點，提高舉一反三、觸類旁通的能力，即綜合思維品質(zhì).

通過變式教學，可以有效地指導學生從多個知識領域和知識的各個方面進行廣泛聯(lián)想，多角度、多層次、多維觀察和思考.在廣泛尋求解決方案和全面研究問題的過程中，有利于學生保持多維思維，探索新的最優(yōu)狀態(tài)，從而不斷地培養(yǎng)和完善其策略型思維.

2.2 從“應答”走向“質(zhì)疑”：讓批判型思維在變式教學中喚醒

批判型思維是指在數(shù)學學習活動中，學習者自覺地對自己或別人的思維過程和結果進行辨別分析、自我評價和自我調(diào)整的一種思維品質(zhì)[3].通常，學習者表現(xiàn)出質(zhì)疑、求異或聚合的行為，具有質(zhì)疑性、解構性和建構性的典型特征，屬于數(shù)學高階思維.

2.2.1 變式舉例，辨析質(zhì)疑

在數(shù)學教學中，運用變形設疑，有意識地設置陷阱，引導學生運用已有知識進行辨別和比較，提高其識別能力.例如，在數(shù)學概念教學中，學生通?；谝延械囊曈X形象和感性經(jīng)驗，通過合理的抽象，建立相應數(shù)學概念的形式化定義.然而，由于視覺形象和經(jīng)驗的具體性和特殊性，在概念理解上容易產(chǎn)生偏差和片面性，因此，教師應通過正、反兩方面的是非辨析或變式舉例等，幫助學生完成從具體思維到抽象思維的過渡，引導學生在辨析中深入理解、全面思考，在思辨中闡明概念的本質(zhì)特征.

案例3一元一次方程的概念(辨析舉例)

在得出了一元一次方程的概念后，教師設計了如下例題與變式題.

例題判斷下列式子是不是一元一次方程，為什么？

(1)7x+5=9；(2)2x+7；(3)2x2-4x=5；

(4)2y+3=-6； (5)x-7y=5；(6)2a>9．

變式1請與同桌互相舉出一元一次方程的例子，并互相進行評價.

變式2設計一道以“2019年進博會”為實際背景的可列出一元一次方程的應用題，并進行交流.

本例的六個式子中，有的不是方程，有的雖是方程但未知數(shù)的個數(shù)多于1或未知數(shù)的指數(shù)大于1.通過概念辨析，可以幫助學生鞏固一元一次方程的概念，掌握概念的本質(zhì).變式1和變式2都是開放式問題，能使學生敞開思路，充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力.本例采取小組合作方式，小組間的交流也可以培養(yǎng)學生的合作意識.

2.2.2 一題多問，評價反思

在數(shù)學教學中采用一題多問，引導學生在已有知識或經(jīng)驗的基礎上對問題、解法、觀點、思考過程等主動提出疑問.教師引導學生對思考過程、所涉及的知識、解決問題的方法和策略以及得到的結果進行反思，增強質(zhì)疑求異的自覺性，有利于學生吸取教訓，調(diào)整錯誤的思維結構，鼓勵學生調(diào)節(jié)自己的行為，改善認知結構，并提高數(shù)學思維品質(zhì).

案例4探索圖表的規(guī)律(一題多問)

例題如圖2所示是某年某月的日歷，根據(jù)該日歷回答下面的問題.

圖2

(1)日歷圖灰色方框中的九個數(shù)字之和與該方框正中間的數(shù)有什么關系？

(2)這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關系嗎？

九個數(shù)之和為90，是正中間數(shù)10的9倍，學生可能得出其他關系，可讓學生再找?guī)讉€方框檢驗自己得出的規(guī)律是否成立.若用a表示中間的數(shù)，這九個數(shù)的和等于9a.

(3)此關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？

(4)你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中九個數(shù)之間的其他關系嗎？用代數(shù)式表示.

小問(3)、小問(4)通過符號表示數(shù)，學生體會符號運算可以驗證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

(5)你還能提出哪些問題？

比解決問題更高明的是提出問題，鼓勵學生提出問題，并與同伴互相交流評價.

通過變式教學，有效地引導學生有目的、有意識地對已有的數(shù)學表達式、數(shù)學思維過程和結果進行分析、判斷、推理、解釋和調(diào)整，從而加深學生對知識的理解，提高思維靈活性.對因果關系、問題解決方法、錯誤根源、分類總結等進行不同方面、不同層次的思維過程評價、分析和總結，有利于學生的思維始終處于反思質(zhì)疑、自覺調(diào)控的最佳狀態(tài)，不斷培養(yǎng)和提高學生的批判型思維.

2.3 從“摹擬”走向“創(chuàng)新”：讓創(chuàng)造型思維在變式教學中催生

創(chuàng)造型思維是指在解決問題時，學習者調(diào)動已有的數(shù)學知識和經(jīng)驗以及相應資源而獲得獨特、新穎、有意義的處理方法或者結果的一種思維品質(zhì)[4].主要表征為學生對問題的延伸、發(fā)散或生成具有發(fā)展性、發(fā)散性或生成性的典型特征，屬于數(shù)學高階思維.

2.3.1 一題多變，標新立異

在數(shù)學教學中，通過對例題(習題)的多角度、多方向的探索，如條件變化、結論探索、引申擴展、推廣應用等，激活學生的主體作用，讓學生積極參與學習研究過程，并借助探索和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)新知識、總結新方法和新規(guī)律的能力，達到舉一反三、觸類旁通、凝練系統(tǒng)思維結構的目標.

案例5三角形的外角及其性質(zhì)(一題多變)

例題如圖3-1，在△ABC中，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，如果∠A=60°，試求∠DBC+∠ECB的大小.

變式1如圖3-2，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，∠P與∠A有怎樣的數(shù)量關系?為什么?

變式2如圖3-3，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，∠P與∠A+∠D有怎樣的數(shù)量關系?為什么?

變式3如圖3-4，在五邊形ABCDE中，BP，CP分別平分外角∠NBC，∠MCB，∠P與∠A+∠D+∠E有怎樣的數(shù)量關系?為什么?

圖3-1圖3-2

圖3-3圖3-4

2.3.2 不循常規(guī)，尋求變異

在數(shù)學教學中，通過比較直接與間接、正向與反向、封閉與開放在各種情況下的變化和形式，引導學生尋找其中蘊含的內(nèi)在關系，逐步提煉數(shù)學的精粹，建構體系化的思維結構，促進學生思維品質(zhì)的不斷優(yōu)化.非歐幾何的誕生告訴我們，順推不行時，考慮逆推；不能直接求解時，想辦法通過間接求解；原命題研究完后，再研究逆命題；在探索可能性出現(xiàn)困難時，考慮探索不可能性.數(shù)學教學的結果表明，許多學生學習水平較低的重要原因之一是逆向思維能力較弱，這主要表現(xiàn)在對公式、定理的簡單認識和死板套用，缺乏創(chuàng)造力、觀察力、分析能力和開拓精神.學生從正向思維向逆向思維快速、自然地轉(zhuǎn)變，是數(shù)學能力增強的標志.因此，在數(shù)學教學中，要加強對學生逆向思維的訓練，強化反證法價值，引導學生敢于“反其道而思之”，從反面進行深入探究，促進學生發(fā)展創(chuàng)新型思維.

案例6數(shù)學綜合實踐活動(不循常規(guī))

例題(1)閱讀材料:商品條形碼是商品的“身份證”.我國使用EAN條碼，常見的為13位，即EAN-13條碼.它是由12位數(shù)字和校驗碼構成的，分別代表國家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼和校驗碼(如圖4-1所示).其中，校驗碼用來校驗前12位數(shù)字代碼的正確性，校驗碼的編制是按照特定算法得來的，其算法如圖4-2所示.

圖4-1

圖4-2

(2)小組實踐:某校數(shù)學課外活動興趣小組按照下面的五個步驟編制校驗碼.

步驟1 計算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a.如a=9+1+3+5+7+9=34.

步驟2 計算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b.如b=6+0+2+4+6+8=26.

步驟3 計算3a與b的和c.如3a+b=3×34+26=128.

步驟4 取大于或等于c的最小整數(shù)d，且10|d.如d=130.

步驟5 計算d與c的差，就是校驗碼X，即X=130-128=2.

(3)問題解決:某一商品的校驗碼被陰影遮擋(如圖4-3所示)，你能夠依據(jù)上面的信息求出該條形碼的校驗碼嗎？

變式1如圖4-4，某商品條形碼中的某個數(shù)字看不清楚了，你能夠依據(jù)所學習的知識判別這個數(shù)字嗎？

變式2假如某商品的條形碼“6919■21■23459”中被陰影遮擋住的兩個數(shù)字的和為5，你可以利用已有的信息判斷出這兩個數(shù)字嗎？

圖4-3圖4-4

解法1：按照從左到右的順序，設被遮擋的數(shù)字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，又因為0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故103≤c≤113.當103≤c≤110時，d=110，即110-(113-2x)=9，解得x=6(不合題意，舍去).當110

答：按照從左到右的順序，這兩個數(shù)字分別是1和4.

解法2：按照從左到右的順序，設被遮擋的數(shù)字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，e=9，由e=d-c可以得到d=c+e=122-2x.又因為0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故112≤122-2x≤122.因為122-2x還需要是10的倍數(shù)，所以122-2x=120.解得x=1.當x=1時，5-x=4.

答：按照從左到右的順序，這兩個數(shù)字分別是1和4.

解法3：按照從左到右的順序，設被遮擋的數(shù)字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，由e=d-c，得c=d-e.又因為d是10的倍數(shù)，e=9，所以c的個位數(shù)字為1，故3-2x=1，或13-2x=1.解得x=1或x=6(不合題意，舍去).當x=1時，5-x=4.

答：按照從左到右的順序，這兩個數(shù)字分別是1和4.

變式3請?zhí)岢鲆粋€數(shù)學問題，并與同學互相評價、交流.

通過變式教學，可以有效地引導學生打破常規(guī)或經(jīng)驗，擺脫思維的束縛，靈活改變思維方向，提出多種解決問題的方法.引導學生多角度、多渠道、多方式地思考，用不同的方法解決同一問題，為學生提供各種機會，克服負遷移，有利于學生保持發(fā)散、延伸、生成和發(fā)展的最佳狀態(tài)，不斷培養(yǎng)和提高學生的創(chuàng)造型思維.

3 變式教學培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維應注意的問題

變式教學是中國數(shù)學教育的傳統(tǒng)和特色，其用于培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維，也是行之有效的教學手段和方法.但是，基于學生數(shù)學高階思維培養(yǎng)的變式教學需要精心設計，把握“量”和“度”，不是“多多益善”，不能“為了變而變”，而是要追求質(zhì)量的提高，“變”就是“不變”.

3.1 培養(yǎng)數(shù)學高階思維要與具體的變式內(nèi)容相結合

在課堂教學中，學生數(shù)學高階思維的培養(yǎng)要與具體的數(shù)學內(nèi)容相結合，將變式教學內(nèi)容作為學生數(shù)學高階思維培養(yǎng)的載體.對于不同的學習內(nèi)容，其變式教學的重點、培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的側重點也應該不同.例如，在概念教學的過程中，對“概念”變式處理的著力點是加強學生對概念的理解，突出概念的本質(zhì)，使學生對概念形成更周詳、更深刻的理解，從而培養(yǎng)學生的批判型思維；在習題教學中，對“例題”變式處理的關鍵是加強數(shù)學思想方法的滲透，拓展思維，讓學生從模仿解法到自己創(chuàng)新解法，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造型思維；在復習課教學中，對“題組”變式處理的重點是加強知識和方法的橫、縱向比較，讓學生在分析比較中進行歸類，并且形成最適合自己的解題方法，從而培養(yǎng)學生的策略型思維.

通過變式推演，歸納概括更高水平的概念內(nèi)涵，形成數(shù)學學科大概念，這是培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要手段.

3.2 掌控好變式教學的量，給學生足夠的思考空間

培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的變式教學，要把握變化的“密度”和“廣度”.課堂時間有限，為了讓學生的思維逐步走向深入，變式教學的次數(shù)不宜過多，不能為了變式而變式，這就“稀釋”了問題的本質(zhì)，阻礙了思維的展開.

對于同一變式問題，要給學生足夠的時間進行思考.不論是通過引導學生多角度地思考問題，探索不同的解決方法，并從不同解法中提煉出一般規(guī)律、方法，以架構學生的策略型思維；還是運用變形設疑，引導學生對問題解決的過程與結果進行評價和反思，以培養(yǎng)學生的批判型思維；抑或是讓學生在變式過程中發(fā)現(xiàn)新知識、總結新方法和新規(guī)律，以催生學生的創(chuàng)新型思維.這些思維的展開與深入，都需要給學生足夠的時間，將同一變式問題研究透徹，讓變式教學問題成為培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的載體.將“導”和“引”，歸納和演繹有機整合，提高學生數(shù)學思維品質(zhì)，促進思考問題方法的多元化.

3.3 培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的變式教學要有學習進階梯度

培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的變式教學，要注意變式的“梯度”和“深度”，雖然變式教學最終指向?qū)W生數(shù)學高階思維的培養(yǎng)，但應以基礎知識作為階梯，不能忽視學生基礎知識、原理的掌握，從學生知識和思維的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，實現(xiàn)學生思維不斷發(fā)展.這就需要變式教學能夠由淺入深地展開，有效地激活學生的思維，不斷促進學生思維的螺旋式提升，引導學生向更深層次發(fā)展自己的認識.利用最近發(fā)展區(qū)和支架理論，幫扶有度，提高學生數(shù)學學習的積極性和成就感.

總之，在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學高階思維，教師是關鍵.教師要積極更新觀念，提高數(shù)學素養(yǎng)、辯證思維水平，強化問題意識教學，教學方法和策略主動求新求變.教師要不斷鼓勵學生積極參與數(shù)學學習活動，無論是在行動上還是在思想上，都要通過各種形式架構策略型思維、喚醒批判型思維、催生創(chuàng)造型思維，促進學生數(shù)學思維水平的不斷進階.