魏威 張?jiān)怕?劉漢宇 唐偉 閆指江

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

0 引言

在工業(yè)燃燒爐、航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室、火箭底部，輻射是一種非常重要的熱傳遞方式[1-3]。在液體火箭底部附近，高溫的發(fā)動(dòng)機(jī)噴流通過(guò)輻射和對(duì)流加熱火箭的底部防熱板，從而可能造成火箭底部溫度過(guò)高而產(chǎn)生問(wèn)題，新一代液體運(yùn)載火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流在底部防熱板引起的熱流主要為輻射熱流。輻射換熱可以顯著地影響流場(chǎng)的溫度，從而影響化學(xué)動(dòng)力學(xué)和火焰結(jié)構(gòu)，甚至導(dǎo)致火焰的熄火。此外，近些年來(lái)大量的研究工作致力于湍流和輻射的相互作用（TRI）。因此氣體輻射的有效計(jì)算對(duì)于工程中設(shè)備的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和校核具有十分重要的意義。氣體輻射具有強(qiáng)烈的光譜選擇性和容積性（或延程性），其吸收系數(shù)隨著波長(zhǎng)劇烈的變化，因此這成為氣體輻射計(jì)算的難點(diǎn)，隨之而來(lái)的有兩個(gè)問(wèn)題：第一氣體輻射模型問(wèn)題，第二氣體輻射的計(jì)算量大為增加。因此在氣體輻射中合理地建立輻射模型，對(duì)于氣體輻射的非灰特性的?；陀行У慕档陀?jì)算量有著重要的意義。

現(xiàn)有的氣體輻射的計(jì)算方法可以大致分為三類：（1）逐線計(jì)算法；（2）譜帶模型法；（3）全局模型。逐線計(jì)算法是最精確的方法，但其計(jì)算量非常大，因此經(jīng)常用作新模型的校正基準(zhǔn)。譜帶模型法包括窄譜帶模型和寬譜帶模型法。統(tǒng)計(jì)窄譜帶模型（SNB）能夠給出高溫氣體的輻射特性，但是其僅給出窄帶內(nèi)的穿透率，而很多輻射求解方法要求給出氣體輻射的吸收系數(shù)，因此統(tǒng)計(jì)窄譜帶模型很難和離散坐標(biāo)法、有限體積法相結(jié)合使用。另外窄譜帶模型需要大量的譜帶，其計(jì)算量相當(dāng)可觀。寬譜帶模型可以看做是窄譜帶模型的簡(jiǎn)化，其計(jì)算量較窄譜帶少，但它給出的是譜帶吸收率，因此也不易和離散坐標(biāo)法、有限體積法等結(jié)合使用。此外寬譜帶模型法要求光程長(zhǎng)度，因此其給出的輻射參數(shù)將和光程長(zhǎng)度有關(guān)。相關(guān)k分布法（CK）[4-5]假設(shè)譜帶足夠窄，可以將吸收系數(shù)重新排列為一個(gè)光滑的單調(diào)變化的函數(shù)，然后用輻射傳遞方程對(duì)吸收系數(shù)的積分取代對(duì)波數(shù)的積分，因此CK模型更容易應(yīng)用到輻射傳遞方程的各種解法中。CK模型需要大量的譜數(shù)據(jù)，計(jì)算量也很大。全局氣體輻射模型中主要包括全譜相關(guān)k分布法（FSCK）和加權(quán)氣體和模型（WSGGM）。FSCK模型采用Planck加權(quán)k分布函數(shù)[6]，在整個(gè)譜內(nèi)采用CK方法，因此相比CK模型減小了大量的計(jì)算量。F. Liu[7]等發(fā)展了基于Malkmus統(tǒng)計(jì)窄譜帶模型的FSCK，或稱為SNB-FSCK。由于Malkmus統(tǒng)計(jì)窄譜帶模型的k分布函數(shù)和累計(jì)k分布函數(shù)具有分析表達(dá)式，這使得SNB-FSCK計(jì)算上更簡(jiǎn)便。盡管如此，如果和CFD結(jié)合，SNB-FSCK方法的計(jì)算量還是偏大，不利于工程中應(yīng)用。加權(quán)灰氣體和模型使用與溫度無(wú)關(guān)的吸收系數(shù)和溫度相關(guān)的加權(quán)因子來(lái)擬合氣體的發(fā)射率，能夠通過(guò)4-5種灰氣體精確地輻射的非灰特性，非常適合與CFD的結(jié)合。本文基于離散坐標(biāo)法求解輻射傳遞方程，通過(guò)和SNB計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，比較了幾種WSGGM模型的精度。此外還比較了不同離散坐標(biāo)方式對(duì)計(jì)算精度的影響，以及計(jì)算量的大小。

1 控制方程及數(shù)值方法

1.1 控制方程

本文采用離散坐標(biāo)法對(duì)輻射傳遞方程進(jìn)行求解，氣體輻射模型為加權(quán)灰氣體和模型，不考慮氣體輻射散射，在加權(quán)灰氣體和模型下輻射傳遞方程為：

邊界條件為：

輻射熱源項(xiàng)可以表達(dá)為：

壁面熱流可通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算

加權(quán)灰氣體和模型是假設(shè)幾種灰氣體具有不依賴于溫度的吸收系數(shù)和依賴于溫度的加權(quán)因子式(6)，模型參數(shù)通過(guò)擬合氣體的發(fā)射率式(5)得到

1.2 數(shù)值求解方法

對(duì)于離散坐標(biāo)體系下的輻射傳遞方程，其空間離散格式有階梯格式、指數(shù)格式、菱形格式，菱形格式雖然精度高，但是隨著網(wǎng)格的加密會(huì)出現(xiàn)負(fù)的輻射強(qiáng)度值，導(dǎo)致物理上的不真實(shí)。指數(shù)格式的計(jì)算量較菱形格式和階梯格式大。階梯格式始終能夠給出物理上真實(shí)的解，因此本文中選用階梯格式進(jìn)行輻射傳遞方程的空間離散。離散后的方程采用CGSTAB方法對(duì)所有節(jié)點(diǎn)直接求解。

1.3 計(jì)算模型

本文采用Liu[8]采用SNB輻射模型計(jì)算的模型算例如圖1所示，三維的計(jì)算域?yàn)?m×2m×4m，x方向長(zhǎng)度為2m，y方向長(zhǎng)度為2m，z方向的長(zhǎng)度為4m，四個(gè)壁面為黑體冷壁面，溫度為300K。計(jì)算域中包含的混合氣體體積分?jǐn)?shù)組成為10% CO2, 20% H2O 和70% N2，氣體的壓力為1atm。模型中氣體的溫度是不均勻的，計(jì)算域中溫度分布為T=(Tc-Te)f(r/R)+Te，其中Tc為計(jì)算域中沿z方向的中心線上溫度分布，Te為z=4m處的溫度，中心線上的溫度從z=0m處的400K線性增加到z=0.375 m處的1800K，然后線性減小到z=4m處的800K。長(zhǎng)方體區(qū)域中有一個(gè)R=1m的同心圓柱形區(qū)域，圓柱形區(qū)域內(nèi)的溫度由函數(shù)f(r/R)=1-3(r/R)2+2(r/R)3描述，其中r為響應(yīng)點(diǎn)到中心線的距離，在這個(gè)區(qū)域之外氣體的溫度為800K。本文中網(wǎng)格劃分為41×41×80，分別為x、y、z方向的網(wǎng)格數(shù)。

圖1 輻射計(jì)算域Fig.1 Radial region for calculation

2 結(jié)果及討論

2.1 不同輻射模型的結(jié)果比較

本文比較了三種WSGGM模型，分別為Smith(4GG)[9]，Perry(5GG)[10]和Truelove(4GG)[11]，坐標(biāo)離散方式采用S4離散，并和文獻(xiàn)[5]的統(tǒng)計(jì)窄譜帶模型法（SNB）方法進(jìn)行了比較，SNB模型在計(jì)算量上很大，精度非常高，因此常用作其它模型的基準(zhǔn)。圖2（a）和（b）分別給出了中心線（0m，0m，z）上的輻射熱源和壁面（1m，1m，z）上的熱流分布。可以看到不同的輻射模型無(wú)論對(duì)輻射熱源，還是對(duì)壁面熱流結(jié)果都有非常大的影響。

圖2 三種WSGGM模型計(jì)算的結(jié)果Fig.2 Results of three WSGGM models

從圖 2（a）可以看到 Smith(4GG)和Truelove(4GG)計(jì)算的中心點(diǎn)熱源在最低點(diǎn)和SNB方法的計(jì)算結(jié)果比較接近，但在z大于0.375 m的大區(qū)域內(nèi)都低估了輻射熱源。Perry(5GG)在中心熱源的最低點(diǎn)誤差較大，但在最低點(diǎn)之外的大部分區(qū)域和SNB的計(jì)算結(jié)果吻合的很好。從圖2(b)可以看到Smith(4GG)在壁面熱流最高點(diǎn)附近較大的區(qū)域內(nèi)高估了輻射熱流。Truelove(4GG)在整個(gè)范圍內(nèi)都低估了輻射熱流。Perry(5GG)在除熱流最高點(diǎn)附近的大部分區(qū)域略低于SNB的結(jié)果，但整體上Perry(5GG)的結(jié)果較好。

2.2 不同坐標(biāo)離散方式對(duì)結(jié)果的影響

在離散坐標(biāo)法中，非常重要的是離散方向的選取，不同的離散方向和權(quán)重，產(chǎn)生了多種離散坐標(biāo)方式，這里對(duì)比了六種坐標(biāo)離散方式對(duì)此算例結(jié)果的影響，輻射模型為Perry(5GG)。圖3（a）和（b）分別給出了中心線（0m，0m，z）上的輻射熱源和壁面（1m，1m，z）上的熱流分布。

從結(jié)果可以看到不同的坐標(biāo)離散方式對(duì)輻射熱源影響非常小，但是對(duì)輻射熱流的計(jì)算產(chǎn)生了非常大的影響。從圖3（b）可以看到S2對(duì)稱和非對(duì)稱的離散方式都低估了輻射熱流，并且誤差非常大。層對(duì)稱奇階格式的S6 LSO和S8 LSO以及層對(duì)稱偶階格式S4 LSE的計(jì)算結(jié)果和SNB的結(jié)果吻合的比較好，層對(duì)稱奇階格式S4 LSO在熱流最高點(diǎn)附近高估了輻射熱流，并且具有較大誤差。

圖3 不同坐標(biāo)離散方式對(duì)結(jié)果的影響Fig.3 Effect of different coordinate discrete methods

2.3 不同坐標(biāo)離散方式對(duì)計(jì)算效率的影響

上一小節(jié)研究了不同的坐標(biāo)離散方式對(duì)加權(quán)灰氣體和模型計(jì)算精度的影響，本文同時(shí)考察了不同的離散方式的計(jì)算效率。表1中給出了在采用輻射模型Perry(5GG)時(shí)不同的坐標(biāo)離散方式的時(shí)間消耗，可以看出隨著離散方向的增加，輻射計(jì)算的時(shí)間消耗逐漸增加，相同離散方向數(shù)的兩種S2以及兩種S4的時(shí)間消耗基本相同。在輻射模型確定時(shí)，S4離散的計(jì)算時(shí)間是S2離散計(jì)算時(shí)間的3.5倍左右，S6計(jì)算時(shí)間是S2的10倍左右，S8離散計(jì)算時(shí)間是S2離散的23倍左右。表1的結(jié)果表明，離散方式對(duì)輻射計(jì)算時(shí)間的影響主要和離散方向數(shù)有關(guān)。這是由于當(dāng)離散方向數(shù)目增加時(shí)，求解方程的數(shù)目也相應(yīng)增加，求解的時(shí)間消耗也相應(yīng)增加。在流場(chǎng)與輻射耦合計(jì)算時(shí)，可以采用相對(duì)低精度的坐標(biāo)離散方式來(lái)顯著的減小輻射計(jì)算部分的計(jì)算量，從而加速輻射計(jì)算速度。

表1 不同坐標(biāo)離散方式的計(jì)算效率Table1 Computational efficiency of different coordinate discrete methods

3 結(jié)論

本文采用離散坐標(biāo)法求解輻射傳遞方程，輻射模型采用加權(quán)灰氣體和模型（WSGGM），研究了不同的加權(quán)氣體和模型和不同的坐標(biāo)離散方式對(duì)輻射計(jì)算結(jié)果的影響。研究表明：

1）不同的加權(quán)氣體和模型對(duì)輻射熱源及壁面輻射熱流都有較大影響；

2）不同的坐標(biāo)離散方式對(duì)輻射熱源的影響較小，但對(duì)壁面輻射熱流有著相當(dāng)顯著的影響；

3)不同坐標(biāo)離散方式對(duì)計(jì)算耗時(shí)的影響主要取決于離散方向數(shù)目，離散方向數(shù)目越大計(jì)算量越大；

4）對(duì)于工程中輻射計(jì)算Perry(5GG)和離散方式S6組合可以達(dá)到較好的精度。液體運(yùn)載火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流輻射熱計(jì)算計(jì)算量較大，尤其在輻射和流場(chǎng)耦合計(jì)算時(shí)，輻射模型和坐標(biāo)離散方式要綜合權(quán)衡選擇，本文推薦Perry(5GG)和離散方式S6組合使用。