黃旗，孫立軍，張國學，王巖，吳艷瑋，顧生杰

(1.中國鐵路蘭州局集團有限公司蘭州供電段，甘肅 蘭州 730000；2.蘭州交通大學 a.光電技術與智能控制教育部重點實驗室; b.甘肅省軌道交通電氣自動化工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

近年來，隨著我國高速鐵路發(fā)展，鐵路牽引網上的負載功率越來越大，早期建設的牽引網的載流能力低，牽引網的載流能力將成為鐵路進一步增容的瓶頸。國家鐵路總公司明確指出在加快牽引網建設的同時，要提高現(xiàn)有牽引網的輸送能力。牽引網的輸送能力與牽引網導線的載流量有關，而導線的載流量受限于導線的最大允許溫度[1]?，F(xiàn)有牽引網導線的載流量是在保守的氣象條件下計算的[2](風速0.5 m/s、風入射角90°、環(huán)境溫度40 ℃和光照強度1 000 W/m2)，但這種氣象條件組合出現(xiàn)的幾率非常小，使牽引網導線載流量的計算結果偏于保守，降低了牽引網導線的容量利用率。

國外學者Davis首次提出了動態(tài)熱定值(dynamic thermal rating, DTR)的概念[3-5]，DTR是根據導線所處的地理氣候條件和導線參數(shù)實時動態(tài)確定導線載流量的技術，在確保線路安全的前提下，DTR技術能夠提高導線的輸送能力，對滿足日益增長的電力負荷要求具有重要的理論和現(xiàn)實意義[6-7]。

文獻[8-12]分析了牽引網輸電導線載流量計算模型和計算方法，其中：文獻[8]基于牽引網多導體傳輸線數(shù)學模型，給出了考慮回流電路影響的接觸網載流量計算方法；文獻[9]在研究接觸網導線載流量的基礎上給出牽引網導線選型方法；文獻[10]分析導線溫度的徑向分布對載流量的影響；文獻[11]提出一種輸電導線等效散熱暫態(tài)測量模型用于評估導線的載流量；文獻[12]對比分析了導線載流量的國內外研究現(xiàn)狀。

上述研究成果均注重載流量的計算模型和方法的研究，然而，在牽引網負荷調度過程中，通常需要對牽引網導線載流量進行預測。針對牽引網導線載流量預測的研究報道較少。文獻[13]分析了改進灰色模型(grey model，GM)的預測方法；文獻[14]采用基于分位數(shù)回歸的預測方法；文獻[15]采用基于奇異值分解的混沌預測方法?；疑A測要求樣本數(shù)據少，不用考慮樣本的分布情況和變化趨勢，具有原理簡單、實現(xiàn)方便、預測結果精度高、可檢驗性強等優(yōu)點，因而得到了廣泛的應用[16]。GM(1,1)模型是灰色預測的核心模型，除了具有上述優(yōu)點外，還存在模型比較單一、背景值不準確、預測誤差大等缺點[17]，因此需要對GM(1,1)模型進行改進，以提高預測精度。

基于上述分析，本文以牽引網導線為研究對象，利用改進的GM(1,1)模型[18-19]對牽引網導線的載流量進行預測。在載流量預測過程中，改進算法主要集成了原始數(shù)據平滑處理法、原始數(shù)據新陳代謝法以及傅里葉殘差修正法。仿真結果驗證了所提改進GM(1, 1)模型預測牽引網導線載流量的有效性。

1 牽引網導線的電熱耦合關系

牽引網導線可以看成一個均勻的導體，其在工作過程中，導線電流產生焦耳熱，導線吸收太陽輻射能量的同時，以輻射散熱和對流散熱的方式向周圍環(huán)境散發(fā)熱量。當導線電流變化或者周圍環(huán)境參數(shù)變化時，導線從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)，其溫度變化的過程稱為暫態(tài)熱平衡過程。

牽引網導線載流產生焦耳熱，使導線溫度升高，進而使導線的電阻發(fā)生變化，由此影響牽引網的潮流。牽引網導線的電熱耦合關系如圖1所示。

圖1 牽引網導線電熱耦合關系

根據IEEE 738-2013標準[20]，牽引網導線暫態(tài)熱平衡方程為

(1)

式中：M為單位長度導線的質量，kg/m；Cp為導線材料的比熱容，J/(kg·℃)；I為導線電流，A；R(T)為單位長度導線在溫度為T時的交流電阻，Ω；qs為單位長度導線日照輻射吸熱功率，W/m；qc為單位長度導線對流散熱功率，W/m；qr為單位長度導線輻射散熱功率，W/m。

I2R(T)+qs-qc-qr=0.

(2)

對流散熱功率、輻射散熱功率以及太陽輻射吸熱功率與牽引網所處環(huán)境因素有關，IEEE 738-2013標準對其進行了詳細的說明。

導線電阻與導線溫度有關，導線溫度越高電阻越大，二者之間滿足

R(T)=Ra[1+αl(T-Ta)].

(3)

式中：Ta為參考環(huán)境溫度，℃(取20 ℃)；Ra為參考環(huán)境溫度下單位長度導線電阻，Ω/m；αl為導線的電阻溫度系數(shù)，℃-1。

當牽引網導線溫度達到允許長時間工作的最大溫度Tmax時，對應的導線電流為牽引網導線載流量Imax，

(4)

2 基于GM(1,1)模型的預測方法

該方法通過灰色模型建模，生成關于原始數(shù)據序列的微分方程，求解微分方程的過程能夠削弱離散數(shù)據的隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。在灰色預測中，GM(1, 1)是最常見的基本預測模型，該模型的實質是構建單變量的一階微分方程模型。

設原始數(shù)據序列x0={x0(1),x0(2), …,x0(n) }，定義原始數(shù)據的級比序列σ={σ(2),σ(3), …,σ(n)}，其中級比序列元素定義為

(5)

如果任意級比元素滿足

(6)

則原始數(shù)據序列x0可用于灰色預測，否則不能進行預測。式(6)為原始數(shù)據序列的可用性判據。

當有級比序列元素不滿足式(6)時，需要對原始數(shù)據進行處理。處理方法是將原始數(shù)據序列元素x0(k)分別加同一固定值，變成新的數(shù)據序列

x0m={x0(1)+m,x0(2)+m,…,x0(n)+m}.

(7)

針對新的數(shù)據序列，利用式(5)和式(6)進行可用性判斷，直至滿足可用性判據。利用滿足可用性判據的新數(shù)據序列進行預測，得出預測結果。由于原始數(shù)據序列元素都增大了定值m，所以最終的預測結果需要整體減去m。

2.1 灰色生成

根據某種設定的規(guī)則對原始數(shù)據序列x0中的數(shù)據逐一進行變換處理，這個變換過程稱為“灰色生成”?；疑赡軌蛟鰪娫紨?shù)據序列的規(guī)律性，弱化其隨機性?；疑墒腔疑A測模型的基礎。

灰色生成的方法有累加生成、累減生成、均值生成和級比生成[21]。累加生成后的數(shù)據序列呈近似指數(shù)增長規(guī)律[22]，使數(shù)據序列更光滑，減少序列隨機性，并使原始數(shù)據序列蘊含的規(guī)律信息充分顯露。因此本文采用累加的方法對原始數(shù)據序列進行處理。

設原始數(shù)據序列經過1次累加生成的序列為x1={x1(1),x1(2), …,x1(n)}。x1中的任意元素x1(k)為原始數(shù)據序列中x0(1)—x0(k)的和，即

(8)

灰色導數(shù)

d(k)=x0(k)=x1(k)-x1(k-1).

(9)

2.2 經典灰色模型

設z1={z1(2),z1(3), …,z1(n)}為鄰值生成序列。z1中任意元素

z1(k)=αx1(k-1)+(1-α)x1(k),

k=2,3,…,n.

(10)

式中：z1(k)為GM(1, 1)模型的背景值；α為背景值參數(shù)。常規(guī)的GM(1, 1)模型中，α通常取0.5，則在常規(guī)GM(1, 1)模型中，背景值

(11)

定義灰色模型的微分方程為

d(k)+az1(k)=b,k=2,3,…,n.

(12)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。由式(9)、(12)可得

x0(k)+az1(k)=b,k=2,3,…,n.

(13)

發(fā)展系數(shù)a反映了原始數(shù)據序列以及1次累加生成序列的發(fā)展趨勢。灰色作用量b是從背景中挖掘出來的數(shù)據，反映了數(shù)據變化的關系。

Y=Bu.

(14)

式(14)包含n-1個方程和2個未知數(shù)，方程的數(shù)量大于未知數(shù)的數(shù)量，方程無解。采用最小二乘法估計a和b的最優(yōu)值，即

(15)

(16)

(17)

稱式(17)為GM(1, 1)模型的白微分方程。解式(17)得出x1(k+1)的預測值

(18)

(19)

3 灰色GM(1,1)模型的改進

3.1 原始數(shù)據序列平滑處理

受人為、儀器以及通信等因素的影響，有的原始數(shù)據偏差較大，如果不進行處理將導致預測結果產生較大偏差。對原始數(shù)據做平滑處理能夠減少隨機性，增強規(guī)律性。

原始數(shù)據序列平滑處理的公式為：

(20)

原始數(shù)據序列經平滑處理后，生成新的數(shù)據序列y0={y0(1),y0(2),…,y0(n)}, 以此代替x0作為GM(1, 1)的灰色預測原始序列。

3.2 基于傅里葉級數(shù)的殘差修正方法

采用傅里葉級數(shù)對預測結果進行殘差修正能夠削弱預測結果中的噪聲，挖掘潛在的規(guī)律性，進一步提高模型預測結果的準確性。具體方法如下。

首先建立常規(guī)灰色模型，計算出預測數(shù)據序列為

(21)

計算殘差

(22)

建立殘差序列

F={f(2),…,f(k),…,f(n)}.

(23)

將f(k)寫成傅里葉變換形式：

(24)

令：

F′=[f(2) …f(k) …f(n)]T，

(25)

G=[a0a1b1…aNbN]T，

(26)

(27)

于是有

F′=GM.

(28)

利用最小二乘法求得：

G=(MTM)-1MTF′.

(29)

令：

(30)

R={r(1),r(2),…,r(n)}.

(31)

R為經傅里葉殘差修正后得出的預測數(shù)據序列。

3.3 新陳代謝數(shù)據更新方法

隨著時間的推移，時間較早的數(shù)據對預測點的預測結果貢獻不大，所以應該剔除時間較早的原始數(shù)據，引入新的數(shù)據。具體實現(xiàn)方法如下。

針對原始數(shù)據序列，預測1個時間間隔的數(shù)據，預測結果序列為

(32)

更新后的原始數(shù)據序列為

(33)

以更新后的原始數(shù)據進行下一個時間間隔的預測。依此類推，不斷地進行新陳代謝，直到達到預測時間。

4 載流量預測方法的實現(xiàn)流程

牽引網導線載流量預測實現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 牽引網導線載流量預測實現(xiàn)流程

5 算例分析

5.1 算例條件

對牽引網導線載流量影響較大的環(huán)境因素主要有風速和環(huán)境溫度。所以本算例以牽引網所處地區(qū)風速和環(huán)境溫度的歷史記錄作為原始數(shù)據進行預測，其他環(huán)境參數(shù)取固定值。風速和環(huán)境溫度的歷史記錄見表1，牽引網導線和其他固定環(huán)境參數(shù)見表2。以某日10:10—11:10的風速和環(huán)境溫度作為歷史記錄，預測11:20—12:10的牽引網導線載流量。以11:20—12:10的風速和環(huán)境溫度記錄計算的牽引網導線載流量作為預測結果的檢驗。

表1 風速和環(huán)境溫度歷史記錄

表2 環(huán)境參數(shù)固定值及導線參數(shù)

5.2 原始數(shù)據平滑處理

根據表1和表2，分別計算牽引網導線的載流量，并對計算的載流量進行平滑處理。導線載流量平滑處理前后對比結果如圖3所示。

由圖3可知，平滑處理后的數(shù)據波動幅度小于實際數(shù)據，更具有規(guī)律性。故以平滑后的數(shù)據作為建模的原始數(shù)據序列更合適。

圖3 平滑處理前后對比

5.3 常規(guī)灰色模型仿真分析

采用常規(guī)GM(1, 1)模型對牽引網導線載流量進行預測，預測結果如圖4所示。

圖4 常規(guī)GM(1,1)模型載流量預測結果

由圖4看出常規(guī)灰色模型的預測結果趨于1條單調遞增的直線。常規(guī)模型的預測結果偏差較大。

5.4 基于傅里葉級數(shù)的殘差修正

采用傅里葉級數(shù)法對常規(guī)GM(1, 1)模型的預測結果進行殘差修正，經修正后的預測結果如圖5所示。傅里葉級數(shù)是周期性函數(shù)，在修正過程中使預測值獲得周期的信號頻域響應，進而消除噪聲；從長期預測角度看，殘差修正具有非常好的穩(wěn)定性，對長期預測適用性更強。

圖5 經殘差修正的載流量預測結果

5.5 原始數(shù)據序列的新陳代謝法

在采用GM(1, 1)模型進行牽引網導線載流量預測過程中，引入原始數(shù)據序列新陳代謝環(huán)節(jié)，預測結果如圖6所示。

圖6 原始數(shù)據序列新陳代謝后的載流量預測結果

采用新陳代謝法更新原始數(shù)據序列后，預測結果與實際數(shù)據擬合度相較于常規(guī)模型的擬合度更高。主要是因為在原始數(shù)據新陳代謝過程中剔除了早期的原始數(shù)據，引入了新預測的數(shù)據，使原始數(shù)據始終保持與預測時間點最近，從而提高了預測精度。

5.6 新陳代謝法與傅里葉殘差法組合改進分析

新陳代謝法能夠更新原始數(shù)據序列，傅里葉殘差修正法能夠消除預測結果中的噪聲，使預測結果更穩(wěn)定。新陳代謝法與傅里葉級數(shù)殘差修正法并不沖突，在常規(guī)GM(1, 1)模型中引入新陳代謝法和傅里葉級數(shù)殘差修正法能起到優(yōu)勢互補的作用。仿真結果如圖7所示。

圖7 GM(1,1)模型綜合改進后的載流量預測結果

綜合利用新陳代謝法和傅里葉殘差修正法改進GM(1, 1)模型的預測結果幾乎接近實際數(shù)據，比單純使用一種優(yōu)化方法進行優(yōu)化的結果擬合度更高。

6 結論

本文以牽引網導線載流量為研究對象，提出了基于改進GM(1, 1)模型的導線載流量預測方法。具體結論如下：

a) 牽引網導線載流量易受地理氣候因素影響，應根據牽引網所處地理氣候條件動態(tài)計算牽引網導線載流量，增加導線容量利用率。

b) 以常規(guī)GM(1, 1)模型為基礎，集合原始數(shù)據平滑處理、新陳代謝以及傅里葉殘差修正法的優(yōu)點于一體，解決了常規(guī)GM(1, 1)模型預測誤差偏大的問題。

牽引網導線載流量預測方法為牽引網導線的計算提供了一定思路。但地理氣候參數(shù)的準確性對預測結果有一定的影響，下一步可研究不依賴地理氣候條件的牽引網導線載流量計算及預測方法。