杭州學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園校區(qū)(311121) 陶勇勝 徐小芳

解析幾何常以壓軸題形式出現(xiàn),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)有較高的要求,是學(xué)生解題過程中的一個(gè)“痛點(diǎn)”.本文從2022 年全國(guó)數(shù)學(xué)理科甲卷第20題說起,對(duì)一類圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定直線問題進(jìn)行多角度探究,以期優(yōu)化解決此類問題的思維策略.

真題(2022 年高考甲卷第20 題) 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α ?β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

本題的第(2)與圓錐曲線中的某種定值定點(diǎn)密切相關(guān),值得我們進(jìn)行多角度探究,藉此優(yōu)化解決此類問題的思維策略.

1.圓錐曲線的幾個(gè)定點(diǎn)定值性質(zhì)

經(jīng)過對(duì)真題的深入探究,我們獲得如下性質(zhì):

性質(zhì)1(拋物線的定點(diǎn)定值問題) 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0,F(t1,0),D(t2,0)(t2>t1>0)是x軸上的任意點(diǎn),過F的直線交C于M,N兩點(diǎn).設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.則有:

圖1

(1)定點(diǎn)性質(zhì):直線AB過定點(diǎn)E(t,0),其中=t·t1(橫坐標(biāo)滿足等比性質(zhì));

(2)定值性質(zhì):如果直線MN和AB斜率都存在,則直線MN和AB斜率之比是定值,且只與點(diǎn)F(t1,0),D(t2,0),E(t,0) 的橫坐標(biāo)有關(guān),即

(3)定直線性質(zhì):直線MN和AB的交點(diǎn)T在定直線x=?t2上;

性質(zhì) 2如圖 2,設(shè)橢圓C:=1(a>b>0),F(t1,0),D(t2,0)(0<|t1|

圖2

證明(1)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)E(t,0),設(shè)直線MN的方程為x=m1y+t1,直線AB的方程為x=m2y+t,直線AN的方程為x=m3y+t2,直線BM的方程為x=m4y+t2,則曲線系方程(m1y ?x+t1)(m2y ?x+t) +λ(m3y ?x+t2)(m4y ?x+t2)=0 表示過點(diǎn)M,N,A,B的曲線,整理得到

2.性質(zhì)的應(yīng)用

聯(lián)立直線MF和直線AE的方程,得到x=?2,即交點(diǎn)T在定直線x=?2 上,故將問題轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)定點(diǎn)F(1,0),E(4,0),交點(diǎn)T在定直線x=?2 上,直線FT與ET的夾角θ何時(shí)最大? 因此,本題實(shí)質(zhì)是以米勒張角定理為幾何背景,求張角θ的最大值問題.

圖3

例2(2021 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶市預(yù)賽第11題) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系,已知F1,F2分別為橢圓=1(a>b>0) 的左、右焦點(diǎn).設(shè)點(diǎn)D(1,0)為線段OF2的中點(diǎn),直線MN(不與x軸重合)過點(diǎn)F1且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),延長(zhǎng)MD,ND與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線MN,PQ的斜率存在且分別為k1,k2.

圖4

5 結(jié)束語

總之,圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定直線是考查解析幾何的一個(gè)重要抓手,處理此類問題應(yīng)重視直觀,數(shù)形結(jié)合,突出本質(zhì),關(guān)注過程,通過歸納通性通法可以讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟問題的本質(zhì),掌握解決問題的一般方法和規(guī)律,體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.