何 慶，汪健輝，李晨鐘，利 璐，馮曉云，王青元

(1.西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.中鐵二院華東勘察設(shè)計有限責(zé)任公司，浙江 杭州 310000；3.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

近年來，高速鐵路的快速發(fā)展對軌道平順性提出了新的要求。軌道平順性對行車安全、乘坐舒適性、軌道壽命及環(huán)境噪聲等具有重要影響[1]。軌道不平順的峰值超限可能會引起列車的爬軌和脫軌，對行車安全構(gòu)成極大危害[2-3]，同時也是各國現(xiàn)有線路養(yǎng)護維修常用的基本評價指標(biāo)[4]。

目前，國內(nèi)外諸多學(xué)者均對軌道不平順的管理值標(biāo)準(zhǔn)進行了研究。吳旺青[5]通過分析仿真模型，提出了秦沈?qū)＞€試驗段軌道不平順建議管理值；李明華等[6]建立了整車模型并求解運動方程，探索并給出時速300 km線路高低不平順閾值；張媛等[7]基于數(shù)據(jù)分類，利用仿真數(shù)據(jù)獲得不同速度等級下不平順峰值安全域邊界。以上研究對影響軌道平順性的控制因素進行了詳細分析，但針對鐵路養(yǎng)護維修基礎(chǔ)性工作的鐵路峰值超限風(fēng)險價值以及峰值管理值的合理性研究并不多見。超限風(fēng)險價值VaR指在一定置信水平和未來某段時期內(nèi)的最大可能損失，廣泛應(yīng)用于金融風(fēng)險管理并正逐漸向其他行業(yè)擴展[8]。運用于鐵路中是對軌道不平順峰值超限風(fēng)險價值的評估，在給定的顯著水平下，線路在未來一段時間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大峰值。

大量研究表明，基于峰值過閾值法模型的極值理論方法在描述數(shù)據(jù)分布的尾部特征方面更具優(yōu)勢，側(cè)重于關(guān)注超限數(shù)據(jù)序列分布，充分考慮了所有較大實測值出現(xiàn)的可能，能更客觀地反映工程實際，是一種相對準(zhǔn)確的分位數(shù)分析方法和預(yù)測工具[9-13]。針對軌道不平順峰值超限存在低頻高損、數(shù)據(jù)稀疏的特點，本文采用極值理論中的峰值過閾值法(Peaks Over Threshold)模型[14]，根據(jù)一定規(guī)則選取閾值，對歷史檢測值超過閾值數(shù)據(jù)進行建模，運用廣義帕累托分布(Generalized Pareto Distribution)[15]研究并確定新樣本序列分布函數(shù)，將既有峰值標(biāo)準(zhǔn)不同等級的容許偏差管理值視為損失值來反推超限概率P，以此來評價既有峰值管理標(biāo)準(zhǔn)的合理性。本文結(jié)合西部某高鐵軌檢車實測數(shù)據(jù)，對該方法的可行性和有效性進行了驗證。

1 峰值過閾值法模型

與一般的模型不同，峰值過閾值法模型主要研究超過設(shè)定閾值的數(shù)據(jù)樣本，觀察該類序列的數(shù)值大小及總體分布特征。對于軌檢車實測值序列X，假設(shè)u為閾值，超過閾值u的樣本個數(shù)為nu，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)。峰值過閾值法模型分析的是在X>u的條件下，超限值yi=X-u(i=1,2,…,nu)的條件分布函數(shù)Fu(y)為

Fu(y)=P(X-u≤y|X>u)y≥0

(1)

式中：P為條件概率；nu確定時y即為yi。

由式(1)可得：

(2)

將式(2)變形可得

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)X≥u

(3)

Balkema-de Haan定理表明[12,15]，對足夠大的閾值u，超限值yi近似服從于廣義帕累托分布Gξ,σ(y)，則

(4)

超限值的概率密度函數(shù)gξ,σ(y)為

(5)

因此，對于給定的一個軌檢車實測值序列{x1,x2,…,xn}，對數(shù)似然函數(shù)L(ξ,σ|y)可表示為

(6)

2 參數(shù)估計

由上述計算可知，對閾值u、尺度參數(shù)σ和形狀參數(shù)ξ的正確估計是建立峰值過閾值法模型的關(guān)鍵。根據(jù)反復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)，閾值u的選取直接關(guān)系到能否準(zhǔn)確估計尺度參數(shù)及形狀參數(shù)。過大的閾值，會導(dǎo)致超限樣本數(shù)量太少，從而影響分布函數(shù)的估計；過小的閾值，則無法保證超限數(shù)據(jù)的收斂性導(dǎo)致參數(shù)估計的偏差過大[12]?；谲墮z車實測值序列的特點，本文依據(jù)超限期望圖來確定閾值u[11,13]。

廣義帕累托分布在形狀參數(shù)ξ<1時，其超限期望函數(shù)e(m)為線性函數(shù)，可表示為

(7)

平均余值函數(shù)e(u)為

(8)

式中：nu=max{i|yi}。

由式(7)可知，若樣本具有厚尾分布特征，即可認(rèn)為其服從ξ<1的廣義帕累托分布，則其期望余值為u的線性函數(shù)。因此，可以根據(jù)實測軌檢車數(shù)據(jù)得出超限期望圖，通過選取充分大的臨界值u0,使得當(dāng)X≥u0時e(x)為近似線性函數(shù)作為確定閾值的依據(jù)[12]。同時，可以得到軌檢車實測值序列X中超過閾值的樣本個數(shù)nu。

當(dāng)u確定以后，利用軌檢車實測值序列X，根據(jù)式(6)進行最大似然估計，即可得尺度參數(shù)σ和形狀參數(shù)ξ的估計值。

3 動態(tài)不平順峰值管理指標(biāo)擬定及合理性評價

在閾值確定后，用(n-nu)/n作為F(u)的經(jīng)驗估計，將式(4)帶入式(3)可得過閾值u的數(shù)據(jù)分布函數(shù)F(x)為

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)=

(9)

根據(jù)上述方法求得式(9)中各參數(shù)的估計值后，即可確定過閾值u條件下分布函數(shù)。依據(jù)現(xiàn)有峰值管理中不同等級的管理值，利用分布函數(shù)的逆函數(shù)即可求得超限發(fā)生概率，從而實現(xiàn)對現(xiàn)有動態(tài)管理值的合理性評價。

令xm為軌檢車實測值不同等級下的管理值，當(dāng)x>xm,軌道動態(tài)不平順影響舒適度、臨時補修或限速，其概率P為

(10)

根據(jù)動態(tài)不平順不同等級指標(biāo)的重要性確定不同等級的發(fā)生概率Pα(即α)，一般為1%～5%。則對于給定置信水平P，可能損失值VaRP就是損失分布的P分位數(shù)，即xm的估計值為

(11)

具體擬定及評價動態(tài)不平順峰值管理指標(biāo)的流程見圖1。

圖1 擬定峰值管理不同等級指標(biāo)流程

4 實例分析

以運行速度為300 km/h的某客運專線為例，選取該線上行段280 km，2016—2019年共60次軌檢車實測數(shù)據(jù)進行分析，利用里程誤差修正模型進行預(yù)處理[16]。

4.1 厚尾檢測

以某次檢測數(shù)據(jù)中高低-半峰值(絕對值)為例，繪制概率分布直方圖見圖2。由圖2可知，該線路高低峰值分布具有明顯的非正態(tài)性。通過指數(shù)分位數(shù)法進行檢驗，可以證實該線高低峰值分布具有相對明顯的厚尾性，說明該線實際運營出現(xiàn)高低峰值的概率較正態(tài)分布出現(xiàn)的概率要大。因此，通過極值理論建立峰值過閾值法模型計算風(fēng)險概率，針對厚尾分布進行重點分析。

圖2 高低實測值概率分布直方圖

4.2 閾值討論及參數(shù)估計

以高低-半峰值(絕對值)為例，根據(jù)式(8)計算樣本平均余值函數(shù)，繪制圖3所示超限期望圖。一般而言，合適的閾值u能夠?qū)?0%左右的數(shù)據(jù)劃分為超限樣本，否則無法抓住序列分布的特征[12]。經(jīng)過多次試驗驗證，選取7 km為一個區(qū)間進行劃分較為合理，由此可得4 800個軌檢車高低-實測半峰值序列。由圖3可以看出，當(dāng)閾值u在3 mm附近，余值函數(shù)e(u)變化幅度較小為近似線性函數(shù)且斜率有正向變大的趨勢，說明超限數(shù)據(jù)較正態(tài)分布的尾部要厚，適用于帕累托模型進行厚尾的分布擬合以描述尾部的特征。此時，只有少量的高低實測值點分布在圖2的尾部，且收斂速度緩慢，符合帕累托分布的特征。利用余值函數(shù)即可初步判定該觀測值為所需閾值u[17],此時過閾值u=3 mm的樣本個數(shù)nu為387，占比約為8%。由此可以推斷閾值為3時比較合適。也允許適當(dāng)放寬該線左高低峰值Ⅰ級管理值，不妨取u=4、u=5并與u=3進行對比見圖4和圖5。利用最大似然估計，分別計算三種不同閾值情況下的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計值及對應(yīng)的累計分布函數(shù)和風(fēng)險價值見表1。

表1 不同閾值下的累積分布函數(shù)F(x)和風(fēng)險價值函數(shù)VaRP

圖3 高低實測值序列超限期望

圖4 不同閾值下的累計分布函數(shù)

圖5 不同閾值下的風(fēng)險價值函數(shù)

由圖4可知，閾值u=3比u=4、u=5的累計分布函數(shù)F(x)包含更多的超限閾值概率，使得估計的參數(shù)更準(zhǔn)確。由圖5可知，盡管不同閾值在低顯著水平(P<90%)下，相同的顯著水平各自的風(fēng)險價值不同，但當(dāng)顯著水平較高時(P≥90%)相同的顯著水平、不同的閾值對應(yīng)的風(fēng)險價值十分相近。因此，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌瘸霭l(fā)，本文選取閾值u=3 mm科學(xué)合理。而對于動態(tài)不平順?biāo)竭@一項指標(biāo)，規(guī)范中Ⅰ級管理值為5，大于其余同級別各指標(biāo)。作如上相同分析后發(fā)現(xiàn)水平閾值取4更為合理。

4.3 峰值管理值的擬定及評價

確定閾值后，在高低-半峰值的偏差等級為Ⅰ級(經(jīng)常保養(yǎng))超限概率為5%的情況下，對超閾值樣本使用廣義帕累托分布求得的Ⅰ級管理值指標(biāo)為4.4 mm，與文獻[18]中250(含)～350 km/h線路軌道動態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值的4 mm相近。結(jié)合式(11)可以反推出該線路出現(xiàn)高低峰值偏差為等級Ⅰ級時的概率為5.85%，出現(xiàn)Ⅱ級(舒適度)的概率為3.14%，出現(xiàn)Ⅲ級(臨時補修)的概率為1.72%，而出現(xiàn)Ⅳ級(限速(160 km/h))的概率為0.55%。對其余幾項指標(biāo)做相同處理，分別可得各自閾值、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)及不同等級下的超限概率見表2和表3。

表2 不同指標(biāo)的閾值及參數(shù)估計值

表3 某運營速度300 km/h線路不同指標(biāo)峰值超限概率 %

由表2和表3可得，對于該客運專線，軌向的動態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值相對寬松，超過9%的概率需要經(jīng)常保養(yǎng)，更有約5%的概率需要限速，可以考慮根據(jù)規(guī)范適當(dāng)提高標(biāo)準(zhǔn)；軌距的Ⅱ級及以上峰值管理值相對嚴(yán)格，均只有小于1%的概率，可以考慮根據(jù)規(guī)范適當(dāng)放寬標(biāo)準(zhǔn)；其余指標(biāo)水平、扭曲和高低的峰值管理值相對合理，可以根據(jù)現(xiàn)場實際情況，適當(dāng)調(diào)整。

4.4 加速度分析

峰值管理還包含車體垂向、橫向加速度的等級劃分，見表4。然而根據(jù)實際現(xiàn)場養(yǎng)護維修調(diào)查發(fā)現(xiàn)，加速度檢測值往往小于Ⅰ級標(biāo)準(zhǔn)，而達不到檢修的目的。因此，本文對已有垂向、橫向的現(xiàn)場加速度檢測值按照時間序列做箱形圖分析，結(jié)果見圖6。

表4 250(不含)～350 km/h 線路軌道動態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值

圖6 加速度實測值箱形圖

由圖6可知，垂向加速度的范圍在(-0.04～0.04)g內(nèi)，橫向加速度的范圍在(-0.03～0.03)g內(nèi)，均未有檢測值超過規(guī)范中的Ⅰ級標(biāo)準(zhǔn)。這說明現(xiàn)場養(yǎng)護維修作業(yè)時，峰值管理中的加速度指標(biāo)并沒有起到很好的限制效果[19-20]。由于本文采用的基于極值理論的峰值過閾值法模型有其特定的應(yīng)用范圍，只適用于描述及分析過閾值數(shù)據(jù)的廣義帕累托分布特征，不必對數(shù)據(jù)序列總體的分布類型進行建模。

由于該線路不同檢測時間下的加速度實測值均未有超限的情況出現(xiàn)，這也意味著此模型不適用于該線路既有加速度管理值的合理性評估。因此，需要根據(jù)現(xiàn)場實際情況，適當(dāng)?shù)膶F(xiàn)有峰值管理中的加速度指標(biāo)嚴(yán)格化以達到實際的養(yǎng)護維修參考標(biāo)準(zhǔn)。

5 結(jié)論

本文基于峰值過閾值法模型，借助廣義帕累托分布函數(shù)，研究軌道動態(tài)不平順峰值管理值的合理性，結(jié)合軌檢車實測數(shù)據(jù)進行驗證分析。以下結(jié)論是對模型優(yōu)缺點及現(xiàn)有峰值管理指標(biāo)合理性的總結(jié)：

(1)軌道動態(tài)不平順峰值管理值的擬定及評估本質(zhì)上考慮的是極端事件。峰值過閾值法模型采用閾值的劃分特點，只分析過閾值樣本的廣義帕累托分布特征，根據(jù)既有規(guī)范，計算不同等級VaRP的超限概率，實現(xiàn)對峰值管理標(biāo)準(zhǔn)的合理性評價。該方法充分考慮了可能出現(xiàn)的軌道動態(tài)不平順較大實測值，更全面的體現(xiàn)了實測數(shù)據(jù)的分布特征，得到的超限概率能更客觀的反映工程實際。

(2)根據(jù)實測數(shù)據(jù)分析可得，該線軌向及車體垂向、橫向加速度動態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值較寬松，約高于實測峰值的50%，可以考慮根據(jù)規(guī)范及現(xiàn)場實際情況適當(dāng)提高標(biāo)準(zhǔn)；軌向管理值相對寬松，約10%的實測峰值超限，其中，Ⅳ級限速標(biāo)準(zhǔn)的超限概率約5%，不符合實際線路運營需求，應(yīng)根據(jù)實際情況適當(dāng)提高容許偏差管理值，從而達到降低超限概率的目的；軌距Ⅱ級及以上峰值管理值相對嚴(yán)格，超限概率均小于1%，可以考慮適當(dāng)放寬標(biāo)準(zhǔn)；其余指標(biāo)水平、高低及三角坑的峰值管理值相對合理，可以根據(jù)現(xiàn)場實際情況進行適當(dāng)調(diào)整。

(3)本文為簡化分析，僅考慮其數(shù)值大小，未考慮閾值的時間維度，且根據(jù)超限值出現(xiàn)的概率評定管理值的合理性具有一定經(jīng)驗性。為了更加客觀描述峰值管理值的合理性，是今后需要重點研究的問題。