趙博，谷偉偉，潘渤，王延博

（1.西安熱工研究院有限公司，西安 710054；2.西安西熱節(jié)能技術(shù)有限公司，西安 710054）

在導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)異常的各類(lèi)故障中，不對(duì)中出現(xiàn)的頻率僅次于質(zhì)量不平衡[1]。軸系不對(duì)中的可能原因有加工誤差、安裝誤差和運(yùn)行中的熱膨脹、機(jī)械沖擊作用等。不對(duì)中除了會(huì)導(dǎo)致設(shè)備振動(dòng)變化，還可能導(dǎo)致軸承加速磨損、油膜失穩(wěn)和轉(zhuǎn)軸的撓曲變形等，危害極大[2]。研究和掌握不對(duì)中振動(dòng)的機(jī)理和特征，對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷和治理具有重要意義。

軸系不對(duì)中分為軸承不對(duì)中、聯(lián)軸器不對(duì)中和動(dòng)靜不同心3種類(lèi)型，形式上又分為平行不對(duì)中、角度不對(duì)中和復(fù)合不對(duì)中[2-4]，更需要注意的是應(yīng)用凸緣、齒套、膜片等各類(lèi)的聯(lián)軸器時(shí)軸系振動(dòng)特性也需要分別討論。文獻(xiàn)[5]研究了聯(lián)軸器交角不對(duì)中柔性轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)分叉、跳躍以及混沌等非線(xiàn)性現(xiàn)象，著重研究了軸承非線(xiàn)性對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[6]分析了不對(duì)中和碰摩耦合時(shí)的軸系振動(dòng)特性，模型考慮了動(dòng)靜摩擦帶來(lái)的非線(xiàn)性和軸承非線(xiàn)性，但不對(duì)中效應(yīng)僅被模化為轉(zhuǎn)速同步的離心和阻尼載荷。文獻(xiàn)[7]以雙子系統(tǒng)為研究對(duì)象，發(fā)現(xiàn)高、低壓轉(zhuǎn)子的振動(dòng)相互耦合，在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的1/2會(huì)發(fā)生2倍頻共振。文獻(xiàn)[8]建立了包含滾動(dòng)軸承的航發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，通過(guò)數(shù)值方法分析了發(fā)生不對(duì)中和質(zhì)量不平衡時(shí)的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[9]基于構(gòu)建使用齒式聯(lián)軸器的偏盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)和聯(lián)軸器不對(duì)中激勵(lì)共同作用下的非線(xiàn)性響應(yīng)特性。文獻(xiàn)[10]針對(duì)柴油發(fā)電機(jī)組聯(lián)軸器空間動(dòng)態(tài)不對(duì)中問(wèn)題，建立有限元模型并分析了系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性。文獻(xiàn)[11]通過(guò)改變軸系標(biāo)高來(lái)模擬各種軸承不對(duì)中工況，并根據(jù)軸承的載荷變化，反演計(jì)算出不對(duì)中聯(lián)軸器所承受的力和力矩，并依此對(duì)軸系不對(duì)中進(jìn)行定量的振動(dòng)分析。文獻(xiàn)[12]研究了剛性連接平行不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)其故障特征頻率主要成分為1X 分量，但是建立模型時(shí)未考慮聯(lián)軸器柔度的影響，以及橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合效應(yīng)。文獻(xiàn)[13]研究了具有平行不對(duì)中故障的非對(duì)稱(chēng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特征。

以上文獻(xiàn)的研究對(duì)象多為應(yīng)用剛性或齒套式聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子不對(duì)中系統(tǒng)，一般把聯(lián)軸器?；癁楣潭ɑ蜚q接等剛性連接。然而，以火電廠核心輔機(jī)汽動(dòng)給水泵組和部分風(fēng)機(jī)組為例，普遍采用柔度不能忽略的膜片式聯(lián)軸器，因此有必要對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)不對(duì)中特性進(jìn)行分析研究。文獻(xiàn)[14]通過(guò)建立柔性聯(lián)軸器的三維有限元模型，計(jì)算了聯(lián)軸器在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中剛度的周期性波動(dòng)，將周期性波動(dòng)的剛度引入系統(tǒng)控制方程，以此作為不對(duì)中產(chǎn)生二倍頻振動(dòng)的一種解釋。文獻(xiàn)[15]研究了彈性聯(lián)軸器不對(duì)中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力特性，不對(duì)中效應(yīng)被簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧變化的外部載荷，重點(diǎn)研究了軸承非線(xiàn)性對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，未考慮不對(duì)中帶來(lái)的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合。

本文針對(duì)聯(lián)軸器平行不對(duì)中問(wèn)題，考慮聯(lián)軸器彎曲、扭轉(zhuǎn)和橫向柔度的影響，對(duì)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，建立動(dòng)力學(xué)模型并使用數(shù)值方法分析了平行不對(duì)中情況下系統(tǒng)振動(dòng)特性。重點(diǎn)分析了平行不對(duì)中量和聯(lián)軸器剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，為該類(lèi)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)故障診斷和治理提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮聯(lián)軸器柔性的影響和橫向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合效應(yīng)，建立聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，如圖1所示。模型中聯(lián)軸器兩側(cè)允許有相對(duì)橫向位移、扭轉(zhuǎn)角和偏轉(zhuǎn)角；軸承具有 x和 y兩個(gè)方向相對(duì)獨(dú)立的剛度和阻尼，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子支撐為剛性；各轉(zhuǎn)軸為剛性，并忽略轉(zhuǎn)軸慣性，輪盤(pán)位于轉(zhuǎn)子中部。圖1中：（ x , y）為被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子的輪盤(pán)中心橫向位移坐標(biāo)；（ θx, θy）為其輪盤(pán)的偏轉(zhuǎn)角； φ1為 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角； φ2為被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角；（ x1, y1）和（ x2, y2）為被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子在左右軸承處軸心橫向位移坐標(biāo)；（ x3, y3）為被驅(qū)動(dòng)側(cè)半聯(lián)軸器軸心橫向位移坐標(biāo)。

圖1 聯(lián)軸器平行不對(duì)中軸系模型示意圖

系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子、輪盤(pán)和聯(lián)軸器各位置中心坐標(biāo)滿(mǎn)足的約束關(guān)系如下：y,θx,θy,φ1,φ2。在上述廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的總動(dòng)能為

由方程組（1）可知，系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為： x,

式中： Ip1為 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子輪盤(pán)的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； Id2和 Ip2分別為被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子輪盤(pán)的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。系統(tǒng)的總勢(shì)能表示為

式中： kx和 ky分 別為軸承在 x和 y 兩個(gè)方向上的橫向剛度。系統(tǒng)的拉格朗日方程為

式中： qj為系統(tǒng)的各廣義坐標(biāo)； Qˉj表示軸承阻尼力和驅(qū)動(dòng)力等非保守力在各廣義坐標(biāo)下對(duì)應(yīng)的廣義力。忽略式（2）動(dòng)能中陀螺力矩項(xiàng)，將系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力矩設(shè)定為M，約定阻力與角速度平方成正比為。由式（2）～式（4）得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程為：

從上面控制方程可以看出軸系的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是耦合的，式（5）和式（6）中的kctδcosφ2和kctδsinφ2即為不對(duì)中產(chǎn)生的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間的耦合項(xiàng)。由于 φ2本身也是廣義坐標(biāo)，其三角函數(shù)即為非線(xiàn)性項(xiàng)。除方程（9）僅包含各廣義坐標(biāo)的線(xiàn)性項(xiàng)為線(xiàn)性方程外，其他方程中均包含sinφ2和cosφ2等非線(xiàn)性項(xiàng)，表明此系統(tǒng)的控制方程組為非線(xiàn)性。此非線(xiàn)性方程組難以求出解析解，但是可以使用數(shù)值方法求解。

2 數(shù)值求解及分析

表1列出了數(shù)值模型選用的參數(shù)。轉(zhuǎn)子尺寸及質(zhì)量屬性參考BENTLY 公司生產(chǎn)的RK-4型試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子，并以文獻(xiàn)[14]中的膜片聯(lián)軸器三維有限元計(jì)算結(jié)果為參考設(shè)定柔性聯(lián)軸器剛度。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

2.1 時(shí)頻特性

求解式（5）～式（10）組成的非線(xiàn)性方程組時(shí)各廣義坐標(biāo)初值均設(shè)定為0，使用的求解方法為5階Runge-Kutta 法。圖2為計(jì)算得出的被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)，可以看出轉(zhuǎn)速達(dá)到100 rad/s附近后有小幅度的規(guī)律性波動(dòng)，表明軸系存在明顯的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。對(duì)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的轉(zhuǎn)子角速度交變量進(jìn)行FFT 變換，得到圖3所示的轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻譜，可以看出扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以2倍頻為主，并有少量的1倍頻分量，如圖3所示。

圖2 被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)

圖3進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻譜

圖4 為進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤(pán)軸心X 和Y 方向橫向振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)域波形，結(jié)果顯示X 方向幅值更大，且兩個(gè)方向振動(dòng)有約90°的相位差。圖5為對(duì)X 方向振動(dòng)時(shí)域波形進(jìn)行FFT 變換得到的頻譜，顯示振動(dòng)為1 倍頻分量。圖6為利用兩個(gè)方向振動(dòng)響應(yīng)合成得到的軸心軌跡，是較為標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形。

圖4 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤(pán)處X 方向和Y 方向橫向振動(dòng)波形

圖5 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤(pán)處X 方向振動(dòng)頻譜

圖6 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子在輪盤(pán)處的軸心軌跡

2.2 聯(lián)軸器剛度和不對(duì)中量對(duì)響應(yīng)影響

通過(guò)改變不對(duì)中量δ，計(jì)算具有不同不對(duì)中程度時(shí)轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)幅值。無(wú)量綱化不對(duì)中程度以不對(duì)中量 δ和轉(zhuǎn)子跨內(nèi)長(zhǎng)度l之比表示。計(jì)算結(jié)果顯示振動(dòng)始終以基頻分量為主，振動(dòng)幅值和不對(duì)中量取對(duì)數(shù)后呈近似線(xiàn)性關(guān)系，如圖7所示。同時(shí)，存在不同不對(duì)中量時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)都以2倍頻為主，并含有少量基頻分量，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值和不對(duì)中量為正相關(guān)。

圖7 不同不對(duì)中程度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值

考慮到平衡不對(duì)中激振力大小和聯(lián)軸器橫向剛度相關(guān)，計(jì)算了不同橫向剛度下的軸系振動(dòng)響應(yīng)。無(wú)量綱化聯(lián)軸器橫向剛度以橫向剛度 kct和軸承剛度kx之比表示。圖8為不同聯(lián)軸器剛度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值，可以看出，在同樣的平行不對(duì)中量下，轉(zhuǎn)子橫向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值隨聯(lián)軸器橫向剛度增大而增大，取對(duì)數(shù)后近似為線(xiàn)性關(guān)系。

圖8 不同聯(lián)軸器剛度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值

3 分析討論

結(jié)合數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，對(duì)于式（5）～式（10）組成的非線(xiàn)性控制方程組也可以做定性分析。當(dāng)軸系正常穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，以被驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，若其瞬時(shí)轉(zhuǎn)速均值為 ω，則轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角可以表示為

式中： ε(t)表示與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相關(guān)的轉(zhuǎn)速瞬態(tài)波動(dòng)。根據(jù)上一部分中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和一般經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為?ω和ε(t)?1是成立的，進(jìn)一步可以認(rèn)為cosφ2≈cosωt 和sinφ2≈sinωt成立。如果將式（5）到式（8）中的 φ2替換為 ωt后，即轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)不受扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響，振動(dòng)控制方程組也從非線(xiàn)性退化為線(xiàn)性，求解出轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)振動(dòng)表達(dá)式為x=Axsin(ωt+ψx)，顯然為單純的1倍頻振動(dòng)。

以火電廠使用柔性聯(lián)軸器的汽動(dòng)給水泵為例，泵轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度2 m 左右，但是不對(duì)中量不會(huì)超過(guò)2 mm，即 δ/l＜10-3。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，即使在δ/l＜10-2范圍內(nèi)，系統(tǒng)未表現(xiàn)出明顯的非線(xiàn)性特征，橫向基頻振動(dòng)均以基頻為主。可以認(rèn)為，在具有實(shí)際意義的不對(duì)中量情況下，柔性聯(lián)軸器平行不對(duì)中引起的橫向振動(dòng)以基頻為主。

不失一般性，可以假設(shè)求解出轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)X 向振動(dòng)表達(dá)式為 x=Axsin(ωt+ψx)。以式（10）中的kctδx sinφ2為觀察對(duì)象，分析扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2 倍頻來(lái)源。將X 向振動(dòng)表達(dá)式代入后這一項(xiàng)可以表示為kctδAxsin(ωt+ψx)sin(ωt+ε(t))，這是一個(gè)角頻率為2ω的的交變量，解釋了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2倍頻的成因。

由于控制方程中激發(fā)振動(dòng)的廣義力為不對(duì)中量和對(duì)應(yīng)剛度的乘積，也很容易理解振動(dòng)幅值隨不對(duì)中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大。這一結(jié)論也說(shuō)明相同對(duì)中狀態(tài)下，使用柔性聯(lián)軸器的軸系振動(dòng)要優(yōu)于使用剛性聯(lián)軸器的軸系振動(dòng)。

4 結(jié)論

研究表明，柔性聯(lián)軸器平行不對(duì)中可以激發(fā)出軸系二倍頻的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，振動(dòng)幅值隨不對(duì)中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大。在生產(chǎn)實(shí)際中可能存在的不對(duì)中量情況下，即當(dāng)平行不對(duì)中量與轉(zhuǎn)子跨距之比小于10-3時(shí)，具有平行不對(duì)中的柔性聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，橫向振動(dòng)為基頻分量，幅值大小隨不對(duì)中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大，不存在明顯的其他頻率分量。