楊超楠,鄭任菲，趙興東,周魯

(1.華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241；2.合肥工業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院，合肥 230009；3.河南師范大學(xué) 物理學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

與標(biāo)量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚[1-5](Bose-Einstein condensate,BEC)相比，旋量BEC是磁性超流，所以展現(xiàn)出更加豐富的物理性質(zhì)，成為近幾年來(lái)實(shí)驗(yàn)和理論的研究熱點(diǎn)[6-13].很多有趣的物理學(xué)現(xiàn)象在該體系中被觀測(cè)到，比如量子糾纏[7]、自旋壓縮[8]和自發(fā)退磁現(xiàn)象[14]等.因而，旋量BEC領(lǐng)域的研究具有極大的價(jià)值.自旋壓縮對(duì)量子信息的研究有重要的意義.在超高精密測(cè)量領(lǐng)域的作用也尤其突出.與自旋壓縮不同，向列壓縮引入了高階的向列張量，展現(xiàn)了更加豐富多元的壓縮性質(zhì)[15].CHAPMAN等人[16]首次在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了旋量BEC的向列壓縮.2013年，他們又發(fā)現(xiàn)了不穩(wěn)定點(diǎn)與壓縮之間的關(guān)系[17].同年，日本東京的一個(gè)小組將向列壓縮歸類(lèi)為第二類(lèi)壓縮，并且給出了詳細(xì)的分類(lèi)依據(jù)[18].很快，利用周期性微波脈沖將自旋向列壓縮存儲(chǔ)在旋量BEC中的方案出現(xiàn).在適當(dāng)?shù)拿}沖周期和相移條件下，壓縮可以增強(qiáng)并保持較長(zhǎng)時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)最大壓縮的存儲(chǔ)[19].同時(shí)，腔場(chǎng)中的BEC也可以產(chǎn)生向列壓縮[20].

本文從旋量BEC的模型[21-23]出發(fā)，在理論上總結(jié)了自旋向列壓縮的產(chǎn)生和動(dòng)力學(xué)演化行為[24]，在自旋向列球上展示了極化態(tài)為初態(tài)的自旋向列壓縮的物理特性和壓縮圖像.然而，僅僅描繪極化態(tài)的壓縮行為顯然是不充分的，缺乏普遍性，因此，還研究了在任意初始態(tài)下系統(tǒng)的向列壓縮行為.

1 旋量BEC模型的介紹

考慮被冷卻并囚禁于三維磁光阱中的超冷原子，用于產(chǎn)生旋量BEC.對(duì)于F=1的旋量BEC，自旋磁量子數(shù)mF是-1,0,1,對(duì)應(yīng)的3種塞曼態(tài)|F,mF〉：|1,1〉,|1,0〉|1,-1〉，如圖1所示[25-26].根據(jù)單模近似原理，在有限的磁場(chǎng)中旋量BEC的哈密頓量[27-28]

(1)

(2)

當(dāng)2個(gè)區(qū)域都存在的時(shí)候，就會(huì)有分離線(xiàn)的存在.c<0,q>0時(shí)，分離線(xiàn)對(duì)應(yīng)ε=0的等能線(xiàn)，ρ0=1對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的不穩(wěn)定點(diǎn)；c>0,q>0時(shí)，分離線(xiàn)對(duì)應(yīng)ε=q的等能線(xiàn)，ρ0=0對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的不穩(wěn)定點(diǎn).等能線(xiàn)的相圖可以用于預(yù)測(cè)初態(tài)未來(lái)的演化趨勢(shì)[23].

然而，平均場(chǎng)方法是在粒子數(shù)趨向于無(wú)窮大并忽略量子起伏的情況下得到的.顯然，在粒子數(shù)有限的情況下，與量子相關(guān)的性質(zhì)，如壓縮、漲落等無(wú)法通過(guò)平均場(chǎng)方法體現(xiàn).雖然全量子方法可以很好地描述量子性質(zhì)，但是其計(jì)算效率較低.當(dāng)原子數(shù)目比較多時(shí)，全量子方法可能會(huì)達(dá)到計(jì)算機(jī)極限.而半經(jīng)典的截?cái)嗑S格納近似方法[30]結(jié)合了平均場(chǎng)方法的思路和全量子中的漲落特點(diǎn)，用一個(gè)維格納分布代替一個(gè)點(diǎn)來(lái)描述初態(tài).這在解決壓縮這類(lèi)問(wèn)題中展現(xiàn)出巨大的優(yōu)勢(shì).既能保證計(jì)算速度，又可以準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的量子特性[31-32].

2 向列壓縮

在研究自旋壓縮的時(shí)候，通常會(huì)定義自旋算符

應(yīng)用變換ξ→10lgξ，相應(yīng)地，ξmin≥0 dB代表沒(méi)有壓縮；ξmin<0 dB代表發(fā)生了壓縮，且ξmin的值越小，代表壓縮越明顯.可以看出，初始的時(shí)候ξmin=0 dB，代表沒(méi)有壓縮，隨著時(shí)間演化，最小正交方差不斷變小，直至t=43 ms,最小正交方差達(dá)到最小值，隨后壓縮仍然持續(xù)一段時(shí)間，但是壓縮強(qiáng)度逐漸變小.

如圖4(a),初始時(shí)刻態(tài)是一個(gè)在球體北極的圓形分布.圖中白色的線(xiàn)是等能線(xiàn)，其中穿過(guò)上頂點(diǎn)(不穩(wěn)定點(diǎn))(0，0，1)的等能線(xiàn)對(duì)應(yīng)相圖的分離線(xiàn).將初態(tài)制備在不穩(wěn)定點(diǎn)，隨著時(shí)間變化態(tài)會(huì)沿著分離線(xiàn)壓縮，成為一條細(xì)長(zhǎng)的曲線(xiàn).然后散點(diǎn)會(huì)沿著分離線(xiàn)散開(kāi)(圖4(c)).在180 ms時(shí)，散點(diǎn)開(kāi)始沿著分界線(xiàn)的另一支壓縮，在北極處形成交叉的圖像.隨著壓縮的減弱，散點(diǎn)最終散開(kāi)，但是并非完全散開(kāi)，而是集中在分離線(xiàn)所在的曲面上(圖4(f)).將圖4中的一系列圖像進(jìn)行投影，使用顏色標(biāo)記散點(diǎn)的密度，得到圖5.

在圖5中，黃色代表散點(diǎn)的密度較大，其次是綠色和藍(lán)色.從投影圖可以更加直接觀測(cè)到Sx和Nyz.初始時(shí)刻，Sx和Nyz的分布近似是一個(gè)圓，說(shuō)明此時(shí)沒(méi)有發(fā)生壓縮.隨著時(shí)間的演化，在60 ms時(shí)，Sx和Nyz的分布集中在一條線(xiàn)上，且這條線(xiàn)是與分離線(xiàn)重合的，說(shuō)明此時(shí)沿著分離線(xiàn)發(fā)生了壓縮，并且壓縮越強(qiáng)，散點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積越小，幾乎完全分布在分離線(xiàn)上；相反，壓縮越弱，散點(diǎn)逐漸分散(圖5(c)).Sx的漲落小于Nyz的漲落，說(shuō)明對(duì)Sx有更加準(zhǔn)確的測(cè)量.在180 ms時(shí)，在圖5(d)中散點(diǎn)開(kāi)始沿著分離線(xiàn)的另一支壓縮.圖5(f)和圖5(c)的形狀相似，但是顏色分布有較大的差別，圖5(c)中黃色區(qū)域集中在中心和分離線(xiàn)上，而圖5(f)中黃色區(qū)域較少且只集中在中心，藍(lán)色區(qū)域散布在分離線(xiàn)圍成的閉合圖形中，此時(shí)壓縮強(qiáng)度較弱.由此可見(jiàn)，制備在不穩(wěn)點(diǎn)的初態(tài)總是沿著分離線(xiàn)壓縮的.

在旋量BEC的鐵磁相(c<0,q>0)中，不穩(wěn)定點(diǎn)往往對(duì)應(yīng)ρ0=1的極化態(tài)，圖6(a)中給出了初態(tài)為ρ0=0.2的自旋相干態(tài)和初態(tài)為ρ0=1的極化態(tài)隨時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)圖像，可以看到兩種初態(tài)最終都趨向于穩(wěn)態(tài)，趨于穩(wěn)態(tài)的時(shí)間略有不同，圖6(b)則標(biāo)出了不同的初態(tài)在相圖的位置.

3 總 結(jié)

本文從理論上回顧了旋量BEC系統(tǒng)中的自旋向列壓縮特性，推導(dǎo)出了向列壓縮參數(shù)的形式，并從數(shù)值上模擬了在不穩(wěn)定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的態(tài)隨時(shí)間演化的規(guī)律.通過(guò)模擬自旋向列球及其投影圖更清楚地展示了旋量BEC系統(tǒng)中豐富的向列壓縮特性.并且，還研究了任意初態(tài)情況下系統(tǒng)的壓縮性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)某些自旋相干態(tài)的壓縮效果比極化態(tài)更佳.