羅藝靈，高 巖

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

隨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整和人民生活水平的提高，我國(guó)電力消費(fèi)增速加快，用電量的變化曲線波動(dòng)越來越劇烈。電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行要求供需實(shí)時(shí)平衡，然而僅僅依靠供給側(cè)的調(diào)節(jié)很難實(shí)現(xiàn)這一平衡，因此，需要配合有效的需求側(cè)管理[1-2]。實(shí)時(shí)定價(jià)作為需求側(cè)管理最直接、有效的方法，是指通過電價(jià)信號(hào)激勵(lì)電力用戶自愿在谷期用電，從而削減峰期的負(fù)荷，達(dá)到削峰填谷的目標(biāo)[2-3]。智能電表的應(yīng)用有效實(shí)現(xiàn)了電力供給側(cè)和需求側(cè)雙方的電力信息交互，為實(shí)時(shí)定價(jià)策略提供保障。電力系統(tǒng)研究中目標(biāo)優(yōu)化是比較常見的方法[4-5]。智能電網(wǎng)的實(shí)時(shí)定價(jià)策略研究常見的研究思路有2 種：一種是運(yùn)用動(dòng)態(tài)博弈理論[6-7]和雙層優(yōu)化方法[8-9]，另一種是基于社會(huì)福利最大化理論和影子價(jià)格理論[10]，運(yùn)用對(duì)偶優(yōu)化方法[2-3]?，F(xiàn)有的研究中后者的運(yùn)用更加廣泛。

基于社會(huì)福利最大化的定價(jià)機(jī)制主要從公共產(chǎn)品的角度出發(fā)，被廣泛運(yùn)用到電力定價(jià)中。在智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)策略的研究中，社會(huì)福利最大化模型同時(shí)兼顧了供需雙方的利益。文獻(xiàn)[10]最先將社會(huì)福利最大化模型運(yùn)用到智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中，以實(shí)現(xiàn)用戶的效用最大化和供電商的成本最小化為目標(biāo)，以用戶的效用減去供電商的成本作為目標(biāo)函數(shù)建立智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)的社會(huì)福利最大化模型，根據(jù)供電與用電的平衡為約束條件，運(yùn)用對(duì)偶優(yōu)化方法求得供、用電量和實(shí)時(shí)電價(jià)。許多學(xué)者基于文獻(xiàn)[10]進(jìn)行了一系列研究。社會(huì)福利最大化方法最初運(yùn)用于研究一個(gè)供電商和多個(gè)用戶構(gòu)成的最基本的智能電網(wǎng)模型，隨著研究的深入，學(xué)者們對(duì)社會(huì)福利最大化模型進(jìn)行了不同角度的改進(jìn)。首先是在基本社會(huì)福利最大化模型的基礎(chǔ)上考慮用戶側(cè)的電器分類[9，11-12]，根據(jù)電器運(yùn)行的特點(diǎn)一般分成必須運(yùn)行的電器、彈性電器和半彈性電器3 類。隨著太陽能、風(fēng)能等可再生能源的發(fā)展，一些研究亦將可再生能源發(fā)電并入到了智能電網(wǎng)的實(shí)時(shí)定價(jià)研究中[13-15]，有的還考慮了儲(chǔ)能裝置[16]、雙碳目標(biāo)[9，17]、分類用戶[18]、效用函數(shù)的形式[19]等。但是，文獻(xiàn)[10-19]的實(shí)時(shí)定價(jià)研究都是基于離散的社會(huì)福利最大化方法，沒有重點(diǎn)體現(xiàn)發(fā)電和用電的時(shí)間連續(xù)性這一重要特征對(duì)實(shí)時(shí)定價(jià)的影響。文獻(xiàn)[20]首次提出了基于連續(xù)時(shí)間商品模型的電力市場(chǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)，與以往研究的不同之處在于文獻(xiàn)[20]提出的定價(jià)方式下的市場(chǎng)優(yōu)化模型是連續(xù)的，優(yōu)化問題也由傳統(tǒng)的數(shù)值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉汉瘶O值優(yōu)化問題。

文獻(xiàn)[20]主要考慮了電力系統(tǒng)中發(fā)電和用電的時(shí)間連續(xù)性，以電能平衡為約束條件，運(yùn)用社會(huì)福利最大化理論對(duì)電力市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)時(shí)定價(jià)研究。但在實(shí)時(shí)定價(jià)原理的闡述方面，只考慮了發(fā)電側(cè)的單邊競(jìng)價(jià)成本最小，沒有體現(xiàn)需求側(cè)管理，也沒有綜合考慮用戶側(cè)與發(fā)電側(cè)雙方的利益，并非真正意義上的社會(huì)福利最大化模型。此外，文獻(xiàn)[20]的算例分析沒有設(shè)計(jì)算法，也沒有與離散的社會(huì)福利最大化實(shí)時(shí)定價(jià)模型進(jìn)行比較分析，不能體現(xiàn)出連續(xù)的社會(huì)福利最大化實(shí)時(shí)定價(jià)模型的優(yōu)勢(shì)。因此，本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，結(jié)合目前的智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)策略與方法，綜合考慮用戶側(cè)與發(fā)電側(cè)雙方的利益，繼續(xù)完善連續(xù)的社會(huì)福利最大化實(shí)時(shí)定價(jià)模型的理論與推導(dǎo)；并且將該模型與離散的社會(huì)福利最大化實(shí)時(shí)定價(jià)模型進(jìn)行比較分析。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型不僅能夠削峰填谷，有效地保證電力系統(tǒng)的供需平衡以及用戶和供電商雙方的利益，還能最大限度地避免發(fā)生峰谷轉(zhuǎn)移的情況。

1 效用函數(shù)與成本函數(shù)理論

1.1 效用函數(shù)

在智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中，效用函數(shù)指用戶對(duì)消耗一定電量的滿意度，需要滿足非遞減性和邊際效用遞減2 個(gè)特征[21]。智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中的效用函數(shù)主要采用式（1）二次函數(shù)：

式中：α,ω均為常數(shù)，0 ＜α≤1，ω為用戶的用電意愿；x為用戶所需要的用電量。

1.2 成本函數(shù)

供電商發(fā)電系統(tǒng)中存在一定的成本，假設(shè)損耗成本和維修成本均很小，可以忽略不計(jì)，主要考慮發(fā)電系統(tǒng)的發(fā)電成本。

供電商的發(fā)電成本C可用二次函數(shù)[2-3，9，22]表示為：

式中：a＞0,b≥0,c≥0，且為常數(shù)；Q為發(fā)電量。

2 連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型

2.1 電力系統(tǒng)概述

本文考慮1 個(gè)供電商的簡(jiǎn)化模型，用戶側(cè)有n個(gè)電器，且配有智能電表。

在考慮用電時(shí)間的連續(xù)性下，由(P(t),t)關(guān)系得到的電量可用黎曼積分表示為：

式中：P(t)為功率與時(shí)間的關(guān)系；P為用戶電器的功率；w為用戶的用電量；T為電器的使用時(shí)長(zhǎng)；t為連續(xù)時(shí)間變量。

連續(xù)模型下用戶的福利N(Pj(t))和供電商的利潤(rùn)R(Pf(t))分別為：

式中：π(t)為隨時(shí)間變化的實(shí)時(shí)電價(jià)；Pj(t)為用戶第j個(gè)電器的功率曲線；Pf(t)為供電商的發(fā)電裝置的功率曲線；Uj(Pj(t))為用戶使用電器j的效用；C(Pf(t)為供電商的成本；Uj為關(guān)于電器功率Pj(t)的泛函；C為關(guān)于發(fā)電功率Pf(t)的泛函；分別為第j個(gè)電器功率曲線的最小、最大功率；分別為發(fā)電裝置的最小、最大功率；均為不隨時(shí)間變化的常數(shù)。

2.2 模型的建立

社會(huì)福利最大化理論同時(shí)考慮了用戶側(cè)和發(fā)電側(cè)雙方的利益，智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)下的社會(huì)福利最大化模型通常是用戶的效用減去供電商的成本[2-3，9-11，13，16，22-23]。類似于離散時(shí)間的實(shí)時(shí)定價(jià)研究，以功率平衡為約束條件，當(dāng)0 ≤t≤T時(shí)，連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型表示為：

式中：L(t)為電路中的損耗；L(t)=γPf(t)，γ為損耗率。

模型（7）以Pj(t)，Pf(t)為決策變量對(duì)用電和供電進(jìn)行優(yōu)化，與現(xiàn)有模型[20]的區(qū)別在于模型（7）同時(shí)考慮了用戶側(cè)和發(fā)電側(cè)雙方的利益，是真正意義上的社會(huì)福利最大化模型；而文獻(xiàn)[20]只考慮了發(fā)電側(cè)的成本最小化，不是真正意義上的社會(huì)福利最大化模型。相同之處在于模型（7）也是泛函問題，所以，變分問題（7）的求解轉(zhuǎn)化為泛函極值優(yōu)化問題，求解方法為Euler-Lagrange 方程[20-21]。因此，首先引入拉格朗日乘子λ(t)，定義模型（7）的廣義泛函為：

然后可得到變分問題式（8）的Euler-Lagrange方程為：

比較式（6）和式（10）可知：

證明了式中的λ(t)也為實(shí)時(shí)電價(jià)。

此外，式（10）還可以表示所有用電器的邊際效用相等；由式（10）—式（11）可知，U′j(Pj(t))=C′(Pf(t))，表示邊際效用等于邊際成本，是經(jīng)濟(jì)學(xué)上著名的生產(chǎn)定律。理論上，由式（10）可得：

考慮到復(fù)雜的泛函不易求解，Pj(t)也可由式（14）求解。

即通過Pj(t) (1 ≤j≤n)之間的關(guān)系，再結(jié)合功率平衡條件，即可求解出用電器的最優(yōu)功率Pj(t)。同理，若發(fā)電側(cè)有多個(gè)發(fā)電廠，每個(gè)發(fā)電廠的最優(yōu)發(fā)電功率亦可用此方法求解。

基于連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型的實(shí)時(shí)定價(jià)策略主要通過求解出用戶最優(yōu)的功率曲線、供電商最優(yōu)的發(fā)電功率曲線，進(jìn)而求得最優(yōu)的實(shí)時(shí)電價(jià)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，通常用等微增率準(zhǔn)則來進(jìn)行最優(yōu)負(fù)荷的經(jīng)濟(jì)分配。

2.3 模型的解析解

式中：αj,ωj均為常數(shù)，0 ＜αj≤1；ωj為用戶的用電意愿；Pj(t)為第j個(gè)電器的功率。

考慮發(fā)電時(shí)間連續(xù)性的發(fā)電成本可用二次函數(shù)來表示[24-25]，即

在連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型中，考慮用戶的效用尚未達(dá)到飽和的情況下的效用函數(shù)，可得：

由式（10）和式（11）可得：

由式（18）可知，λ(t)與j無關(guān)，所有電器的價(jià)格是相同的。式（19）的結(jié)果與文獻(xiàn)[20]的單邊競(jìng)價(jià)模型結(jié)果一致，不同的是λ(t)還可以根據(jù)式（18）來求解，因此社會(huì)福利最大化模型中的2 個(gè)決策變量Pj(t),Pf(t)還需要滿足以下條件：

將Pf(t)代入功率平衡約束可以得到：

由式（21）可知，電價(jià)λ(t) 與負(fù)荷曲線Pd(t)=一致，即用電量需求越高，電價(jià)越高，從而可以考慮通過價(jià)格信號(hào)來引導(dǎo)用電行為的方式進(jìn)行削峰填谷。

由式（10）可得：

由式（22）可以求出Pj(t)。代入式（18）可以得到

最后把Pj(t),Pf(t)回代到式（18）或式（19）即可求解出電價(jià)λ(t) 。

此外，從連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型式（17）可知，當(dāng)Pj(t)，Pf(t)是不隨時(shí)間t變化的常函數(shù)時(shí)，即功率在這段時(shí)間內(nèi)是均勻變化的，此時(shí)連續(xù)的社會(huì)福利最大模型可看成是離散的社會(huì)福利最大化模型，離散的定價(jià)方法也同樣適用。

3 模型的求解算法

實(shí)時(shí)定價(jià)是用戶和供電商雙向互動(dòng)的過程[4]，雙方通過智能電表進(jìn)行信息交流。用戶根據(jù)供電商提供的電價(jià)，結(jié)合自身的效用最大化進(jìn)行用電決策，包括是否用電以及用電量的多少等，并將決策信息通過智能電表反饋給供電商。供電商根據(jù)成本最小化進(jìn)行供電決策，并通過智能電表向用戶發(fā)布電價(jià)信息，接收用戶的反饋信息以及發(fā)送供電量信息。

算法的設(shè)計(jì)以用戶和供電商雙方的信息交流為基礎(chǔ)，相比于離散的模型，連續(xù)模型的最大不同之處在于其每時(shí)每刻都可變，可以隨時(shí)進(jìn)行調(diào)整。因此，在模型的求解算法上也會(huì)有所不同。

當(dāng)0 ≤t≤T時(shí)，本文建立的連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型的算法步驟為：（1）數(shù)據(jù)初始化；（2）由式9—式11）得出Pj(t)之間的關(guān)系，以及Pj(t)與Pf(t)之間的關(guān)系；（3）賦初始值Pj(t)；（4）設(shè)定損失率γ，由=Pf(t)-L(t) 求解出合適的初始值Pf(t) ；（5）判斷U′j(Pj(t))=C′(Pf(t))是否成立，若不成立，轉(zhuǎn)（3）至（5）；若成立，則轉(zhuǎn)（6）；（6）由式（10）或式（11）求得λ(t)；（7）得到初始λ(t)后，根據(jù)式（24）預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的Pj(t)與Pf(t)；（8）重復(fù)（5）至（7）直至結(jié)束。

4 仿真分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提模型的合理性與有效性。假設(shè)電力系統(tǒng)是由1 個(gè)供電商和用戶組成的簡(jiǎn)化模型，同時(shí)將用戶側(cè)看成1 個(gè)整體，假設(shè)用戶側(cè)有2 個(gè)用電器，即j=2。其他參數(shù)分別設(shè)置為：ω2=2ω1,α2=2α1,γ=0.03,L(t)=0.03Pf(t)，a=0.01,b=c=0。假設(shè)供電商根據(jù)負(fù)荷曲線進(jìn)行規(guī)劃發(fā)電，用戶根據(jù)負(fù)荷曲線進(jìn)行規(guī)劃用電。通過Matlab2019b進(jìn)行仿真分析。

4.2 結(jié)果分析

連續(xù)模型下負(fù)荷曲線、發(fā)電和損耗之間的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 連續(xù)模型中負(fù)荷曲線、發(fā)電功率和損耗之間的關(guān)系Fig.1 Relationship among load curve，generated power and loss in continuous model

由圖1 可知，1∶00—6∶00 屬于用電低谷期，7∶00—18∶00 屬于用電高峰期，19∶00—24∶00 的用電處于用電低谷期和峰期之間，符合用戶的作息習(xí)慣。此外，連續(xù)模型下的供電商的發(fā)電功率曲線與用戶的負(fù)荷曲線之間的趨勢(shì)基本相同，發(fā)電功率曲線稍高于電器的負(fù)荷曲線，說明了發(fā)電量能夠滿足用戶的需求，同時(shí)也不會(huì)造成過多的電力浪費(fèi)。

圖2 為連續(xù)模型中負(fù)荷曲線和電器功率分配的具體情況。由圖2 可知，連續(xù)模型下用戶側(cè)2 個(gè)電器功率的功率曲線，其中，電器1 與電器2 的總功率即負(fù)荷曲線，且電器1 與電器2 各自的功率曲線與負(fù)荷曲線在趨勢(shì)上也大致相同。電器1 與電器2 的功率曲線均比較平緩，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的差值不大，表現(xiàn)出較好的削峰填谷效果。

圖2 連續(xù)模型中負(fù)荷曲線和電器功率分配Fig.2 Load curve and appliance power distribution in continuous model

圖3 為連續(xù)模型得到的最優(yōu)實(shí)時(shí)電價(jià)。由圖3可知連續(xù)模型下的實(shí)時(shí)電價(jià)的波動(dòng)情況與圖2 中的負(fù)荷曲線的趨勢(shì)相似。證明了當(dāng)用電需求下降時(shí)，電價(jià)也隨之下降，以激勵(lì)用戶多用電；當(dāng)用電需求上升時(shí)，電價(jià)也隨之上升，以減少用戶在此時(shí)的用電。實(shí)時(shí)定價(jià)的目的主要是通過價(jià)格機(jī)制來引導(dǎo)用電行為，從而實(shí)現(xiàn)削峰填谷的目標(biāo)。

圖3 連續(xù)模型的實(shí)時(shí)電價(jià)Fig.3 Real-time electricity prices in continuous model

圖4 為連續(xù)模型下的社會(huì)福利與成本。由圖4可知社會(huì)福利曲線位于成本曲線上方，說明同時(shí)考慮了供電商和用戶雙方利益的社會(huì)福利最大化模型得到的平均福利要優(yōu)于僅僅考慮了供電商單側(cè)的成本最小化模型得到的平均福利。因此驗(yàn)證了連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型在智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中的合理性與有效性。

圖4 連續(xù)模型中的社會(huì)福利與成本Fig.4 Social welfare and cost in continuous model

圖5 為供電商分別在連續(xù)、離散模型中的發(fā)電功率情況。由圖5 可知，在離散的模型下，供電商不能即時(shí)對(duì)發(fā)電功率進(jìn)行調(diào)整，為了滿足用戶的用電需求，電力系統(tǒng)的發(fā)電量為負(fù)荷曲線在交易時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的最大負(fù)荷；而連續(xù)的模型可以隨時(shí)對(duì)發(fā)電功率做出調(diào)整，故連續(xù)模型下的發(fā)電功率可以看成近似于負(fù)荷曲線。由于發(fā)電量可表示為發(fā)電功率曲線與坐標(biāo)橫軸所圍成的面積，因此，在同一段時(shí)間內(nèi)，離散模型下的發(fā)電量高于連續(xù)模型下的發(fā)電量，容易導(dǎo)致供過于求的情況，同時(shí)消耗著較大比例的電力資源和成本。

圖5 連續(xù)、離散模型中的發(fā)電功率Fig.5 Electricity generation in continuous and discrete model

圖6 為用戶分別在連續(xù)、離散模型中的用電功率情況。由圖6 可知，當(dāng)負(fù)荷曲線上升時(shí)，離散模型下用戶在用電時(shí)長(zhǎng)T內(nèi)的電器功率為負(fù)荷曲線在該時(shí)間段內(nèi)的最小功率；當(dāng)負(fù)荷曲線下降時(shí)，離散模型下用戶在用電時(shí)長(zhǎng)T內(nèi)的電器功率為負(fù)荷曲線在該時(shí)間段內(nèi)的最大功率。由于連續(xù)的模型可以通過隨時(shí)改變用電功率，則這種情況下的電器功率曲線近似于負(fù)荷曲線。

圖6 連續(xù)、離散模型中的用電功率Fig.6 Electricity consumption in continuous and discrete model

圖5—6 表明了不管是連續(xù)的模型下還是離散的模型下，發(fā)電功率曲線均與用電功率曲線的趨勢(shì)相同，都保證了用戶的用電需求。同時(shí)，如果同一段時(shí)間內(nèi)要將功率從相同的初值變成相同的終值，連續(xù)的模型可以隨時(shí)對(duì)發(fā)電和用電功率做出調(diào)整，緩慢地改變，也給發(fā)電裝置和電器預(yù)留了適當(dāng)?shù)木彌_時(shí)間，保證電路的安全運(yùn)行。而離散模型下不能馬上調(diào)整發(fā)電、用電功率，且會(huì)在可以發(fā)生調(diào)整的固定時(shí)刻使得功率從初值立刻變?yōu)榻K值，整個(gè)過程中沒有給發(fā)電裝置和電器預(yù)留任何的緩沖時(shí)間，容易導(dǎo)致電路的不穩(wěn)定。圖7 為在連續(xù)、離散模型下的社會(huì)福利。

圖7 連續(xù)、離散模型中的社會(huì)福利Fig.7 Social welfare in continuous and discrete model

圖5—7 主要是為了研究社會(huì)福利最大化模型在連續(xù)、離散情況下的區(qū)別。通過比較分析可知，基于連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型的成本更低，但并非所有的指標(biāo)都優(yōu)于離散的社會(huì)福利最大化模型。在一段時(shí)間內(nèi)，由于離散的模型在劃分好的一段時(shí)間內(nèi)的發(fā)電量和用電量是固定的，不能迅速改變，這就很大可能會(huì)形成新的峰谷期。而連續(xù)的模型可以通過實(shí)時(shí)電價(jià)的迅速改變從而迅速調(diào)節(jié)用電器的功率，可以更及時(shí)地進(jìn)行削峰填谷。因此，連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型的最大優(yōu)點(diǎn)主要在于調(diào)節(jié)的靈活性。同時(shí)，圖5—圖7 也驗(yàn)證了連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型下的實(shí)時(shí)定價(jià)方法的合理性與有效性。

5 結(jié)論

在智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)的社會(huì)福利最大化方法中，現(xiàn)有的定價(jià)模型基本都是離散的，沒有側(cè)重體現(xiàn)發(fā)電和用電的時(shí)間連續(xù)性這一重要特征對(duì)實(shí)時(shí)定價(jià)的影響。本文將發(fā)電和用電的時(shí)間連續(xù)性融入到智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中，建立了連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型，在理論上推導(dǎo)出了實(shí)時(shí)電價(jià)與發(fā)電功率、用電功率之間的關(guān)系，并設(shè)計(jì)了求解模型的算法。通過與離散的社會(huì)福利最大化模型的比較分析，得到如下結(jié)論：

1）連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型不僅能夠有效地削峰填谷，還能保證電力系統(tǒng)的供需平衡以及用戶和供電商雙方的利益。同時(shí)，以社會(huì)福利最大化為目標(biāo)函數(shù)帶來的社會(huì)福利要高于以供電商成本最小化為目標(biāo)函數(shù)帶來的社會(huì)福利。

2）在連續(xù)和離散的社會(huì)福利最大化模型的比較中，前者不僅能夠有效地降低發(fā)電成本，還能憑借其每時(shí)每刻都能發(fā)生變化的優(yōu)勢(shì)及時(shí)靈活地調(diào)節(jié)用電的峰谷期，最大限度地避免發(fā)生峰谷轉(zhuǎn)移的情況。證明了連續(xù)的社會(huì)福利最大化模型應(yīng)用于智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)中的合理性與有效性。