吳俊，楊維明，姚靜，黃秋安

(1.湖北大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院， 湖北 武漢 430062; 2.上海大學(xué)可持續(xù)能源研究院， 上海 200444)

0 引言

鋰離子電池由于其能量密度高，使用壽命長，記憶效應(yīng)低等特點，通常被用于便攜式電子設(shè)備(如手機(jī)、藍(lán)牙耳機(jī))和電動汽車等領(lǐng)域[1-2]，并且在軍事和航空航天應(yīng)用中日益流行.鋰離子電池在其充放電過程中，鋰離子在正負(fù)電極上完成脫嵌和嵌入，在電解質(zhì)中完成轉(zhuǎn)移.由于傳統(tǒng)鋰電池使用液體電解質(zhì)，而液體電解質(zhì)具有易燃、易爆、易揮發(fā)的特性，在受到外部撞擊或者其他極端情況時，會發(fā)生電池短路，繼而起火燃燒，無法提供足夠的安全保障.最近的特斯拉汽車起火事件表明，必須對電池的運行狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)控和管理.

單純使用SOCSOH等外特性參數(shù)描述電池，不足以揭示電池運行狀態(tài).尤其不足以探究電池電氣特性的變化，當(dāng)電池內(nèi)阻變得很大時，根據(jù)焦耳定律，容易造成電池局部過熱，進(jìn)而導(dǎo)致電池爆炸起火等重大安全事故.因此，要完成對電池運行狀態(tài)的監(jiān)控管理，必須對電池的阻抗特性進(jìn)行描述.

本文中主要工作是選用分?jǐn)?shù)階模型作為鋰電池的等效電路，主要完成三個工作：1)利用分?jǐn)?shù)階定義，給出該分?jǐn)?shù)階模型的任意序列輸入條件下的數(shù)值解；2)完成在該模型框架下的階躍響應(yīng)；3)利用遺傳算法完成對該模型電路參數(shù)的辨識仿真，并分析其誤差.

1 分?jǐn)?shù)階理論及改進(jìn)Randle模型的參數(shù)提取

分?jǐn)?shù)階理論有三種定義，這里僅介紹一種常用的數(shù)值逼近方法，即Grüwald-Letnikov，簡稱GL定義.假設(shè)函數(shù)滿足處處連續(xù)且可導(dǎo)條件，根據(jù)整數(shù)階的Hospital法則，可擴(kuò)展得到其分?jǐn)?shù)階的導(dǎo)數(shù)定義為[3-5]：

(1)

說明如下：

1)「?表示向上取整，h表示步長，類似整數(shù)階導(dǎo)數(shù)分母，越小越好，α表示分?jǐn)?shù)階階數(shù)；

2)t0表示時間起點，即在該定義下，當(dāng)前函數(shù)值涉及從t0開始到t之間所有時間點的函數(shù)值；

GL定義下，其分?jǐn)?shù)階積分的拉氏變換見公式(2)：

(2)

在經(jīng)典等效電路模型中，一階RC模型試圖模擬歐姆電阻和電荷轉(zhuǎn)移反應(yīng)，對應(yīng)于高頻尾線和低頻直線，但沒有描述中頻范圍內(nèi)的擴(kuò)散行為.對于二階RC模型，可以模擬歐姆電阻和擴(kuò)散行為，但不能考慮電荷轉(zhuǎn)移過程.Yu Zhihao等[6]使用第三階或更高階的RC串聯(lián)模型，所有三個過程都可以產(chǎn)生.然而，這些模型有大量的參數(shù)，不僅使與計算負(fù)擔(dān)相關(guān)的模型數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化，還增加系統(tǒng)校準(zhǔn)的工作量和過擬合的風(fēng)險.此外，正如Westerhoff等[7]所證明的，即使使用5個RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，該模型也不能非常準(zhǔn)確地捕捉零相位.

為了解決上述問題，分?jǐn)?shù)階微積分(FOC)最近被用于鋰離子電池的建模，Wang J L等[8]用CPE單元替換一階RC模型并聯(lián)塊中的理想電容器，得到分?jǐn)?shù)階模型.這些分?jǐn)?shù)階等效電路模型可能包含一個或多個CPE元件.通過簡單地將一階RC模型中的理想電容替換為分?jǐn)?shù)階單元，得到的分?jǐn)?shù)階模型FOM，如圖1所示.利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)該模型對實驗數(shù)據(jù)的擬合有較好的精度，該分?jǐn)?shù)階模型的阻抗表達(dá)式為：

Z(s)=R0+Zct(s)+Zd(s)

(3)

說明如下：

1)R0表示電解質(zhì)的歐姆電阻和連接電阻；

2)Zct(s)表示電荷轉(zhuǎn)移電阻，通常由一個電阻Rp與CPE并聯(lián)組成，其中CPE表示電解質(zhì)和電極表面形成的非理想電容，也稱為常相位單元[9-11]；

3)Zd(s)表示鋰離子在低頻條件下的擴(kuò)散電阻，被稱為Warburg阻抗.

常相位單元CPE的頻域表達(dá)式為：CPE(s)=1/Q1sα.其中，Q1是一個常數(shù)，量綱是F·s1-α；α∈(0,1]表示非理想電容的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，當(dāng)α=1時，CPE就退化成標(biāo)準(zhǔn)電容，這里τ=(RpQ1)-α，公式(3)中的電荷轉(zhuǎn)移電阻可表示為：

(4)

對于阻抗譜的實際測量，頻率范圍通常受到測試設(shè)備和物體特性的限制.因此有效的頻率范圍一般設(shè)置為:(100 mHz,100 kHz).本文中著重討論實際應(yīng)用情況下，半無限擴(kuò)散條件下的Warburg阻抗，即：

(5)

待辨識參數(shù)為：θ={R0,Rp,Q1,α,Q2}.

2 改進(jìn)Randle模型下的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)

(6)

此時，除了上面提到的利用定義法求解分?jǐn)?shù)階響應(yīng)外，還可以借助文獻(xiàn)[12-13]，利用反拉普拉斯變換，給出該階躍響應(yīng)的解析解，見公式(7)～(8)，這里的α∈(0,1].文獻(xiàn)[12-13]中已經(jīng)證明，該解析解與定義法等價.

(7)

(8)

如圖2為改進(jìn)Randle模型下的階躍響應(yīng).階躍電流為1 A，橫軸表示時間，縱軸表示響應(yīng)電壓，參數(shù)θ={7.37,6.243 ,3.073 ,0.782 ,608.1}，即參照下文中表1中的預(yù)設(shè)參數(shù)θ值取值.

3 參數(shù)辨識及其結(jié)果分析

辨識的基本步驟包括實驗設(shè)計、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)預(yù)處理、結(jié)構(gòu)辨識、參數(shù)估計、模型驗證等.實驗設(shè)計主要包括激勵信號的選擇，采樣周期的確定，激勵信號數(shù)據(jù)長度，離線辨識還是在線辨識等，主要目的是使采集的輸入輸出數(shù)據(jù)盡可能多地包涵系統(tǒng)的內(nèi)在特性.因此，本仿真實驗采用階躍電流和正弦電流作激勵，希望盡可能與實際獲得的實驗數(shù)據(jù)相仿或相近.

參數(shù)辨識方法有很多，從信號的實時性看，可以分為兩大類，一是在線辨識，二是離線辨識.本文中采用離線辨識方法，利用遺傳算法，作參數(shù)優(yōu)化，得到最終的參數(shù)辨識結(jié)果.實際上除了一次完成算法外，其他無論哪種方法，其辨識流程大體均如圖3所示.

如果用θ表示分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的參數(shù)，用F(θ)表示待辨識模型的數(shù)學(xué)映射，當(dāng)輸入電流為i(t)時，可以得到辨識模型計算值um和鋰電池模型的響應(yīng)電壓值u，計算目標(biāo)函數(shù)Jθ的值：

Jθ=(u-um)2

(9)

更新并調(diào)整參數(shù)θ的值，使得目標(biāo)函數(shù)Jθ朝變小的方向靠近，當(dāng)輸出誤差函數(shù)小到某一指定精度ε，如當(dāng)Jθ<ε時即認(rèn)為辨識成功.可認(rèn)為在指定精度ε下，可以用辨識模型代替鋰電池系統(tǒng).

3.1 遺傳算法原理遺傳算法[14-16]是美國教授John Hollond于上世紀(jì)60年代提出的一種受自然選擇過程啟發(fā)的元啟發(fā)式算法，屬于進(jìn)化智能算法的一種，通常依賴于生物啟發(fā)的算子，如選擇、交叉、變異等生成高質(zhì)量的優(yōu)化和搜索問題的解決方案.遺傳算法本質(zhì)上是一種基于達(dá)爾文的“物競天擇、適者生存”原則的仿生算法.目標(biāo)生物種群在捕食者和環(huán)境危害威脅等外在條件下，不能適應(yīng)的弱小生物個體被消滅，更能適應(yīng)生存環(huán)境的優(yōu)秀個體被保留.通過優(yōu)勝劣汰篩選后的生物成員往往比其他成員有更好的生存機(jī)會.它們更有可能適應(yīng)進(jìn)化條件，它們產(chǎn)生的后代可能會遺傳并繼承他們的特征，學(xué)習(xí)和模仿它們的技能，從而產(chǎn)生更健康的后代.此外，基因突變在物種成員中隨機(jī)發(fā)生，其中一些突變可能會提高健康個體及其進(jìn)化后代長期存活的機(jī)會.最后存活下來得到的個體就是優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法從隨機(jī)生成的可能解群體(個體)開始.首先計算個體的適應(yīng)度，根據(jù)個體的適應(yīng)度值選擇部分個體作為父母，產(chǎn)生父群體.通過將交叉算子應(yīng)用于父群體，然后將變異算子應(yīng)用于它們的后代，產(chǎn)生了可能解的新群體(子群體).重復(fù)用新子代替換雙親(舊個體)進(jìn)行迭代，直到滿足停止標(biāo)準(zhǔn).

本文中采用遺傳算法的流程圖如圖4所示.首先定義電池參數(shù)θ，隨機(jī)生成滿足要求的初始種群，計算初始種群的目標(biāo)函數(shù)值，通過遺傳算子(選擇、交叉、變異)得到新的候選解種群，重復(fù)計算新種群中目標(biāo)函數(shù)的值.當(dāng)某個體目標(biāo)函數(shù)值小于指定精度時，停止迭代，該個體即為最優(yōu)個體輸出，否則繼續(xù)迭代.需要注意目標(biāo)函數(shù)值與適應(yīng)度一一對應(yīng)，目標(biāo)函數(shù)需要作適應(yīng)度轉(zhuǎn)換，才能輸出該個體的適應(yīng)度.

3.2 辨識結(jié)果分析本文中采用遺傳算法作為辨識算法，為了驗證辨識算法的有效性，假定電池的既定參數(shù)如表頭所示，在激勵電流為階躍信號輸入的條件下，使用遺傳算法，取較好的4次結(jié)果展示在表1中.由于遺傳算法的收斂結(jié)果有一定波動性，每次運行結(jié)果都不盡相同，因此表中僅列出4組辨識結(jié)果.如表1中誤差均值MAE所示，每個點對應(yīng)的誤差均值精度達(dá)10-5，比原數(shù)據(jù)高出2個數(shù)量級，結(jié)果正確有效.

圖5是改進(jìn)Randle分?jǐn)?shù)階模型辨識結(jié)果(表1)的階躍響應(yīng)圖，橫軸是時間，縱軸是響應(yīng)電壓.其中圖5(a)是激勵時長為0 ～ 100 s的階躍電流在4次參數(shù)辨識結(jié)果下的階躍響應(yīng).從圖5(a)的擬合效果看，4次辨識結(jié)果的擬合值基本與預(yù)設(shè)值響應(yīng)結(jié)果重合，擬合程度也“較好”.圖5(b)是對圖5(a)中從35 ～ 80 s時間片段(藍(lán)色虛線框部分)的局部放大.從圖5(b)可看出，除了“2#”外，其他3次辨識結(jié)果擬合曲線與預(yù)設(shè)值“完全重合”，擬合程度較高.

表1 階躍響應(yīng)辨識結(jié)果

圖6是“2#”個體遺傳進(jìn)化過程圖，即給出了“2#”遺傳算法優(yōu)化過程的實驗結(jié)果，橫軸是遺傳算法執(zhí)行代數(shù)，縱軸是適應(yīng)度值.由于響應(yīng)電壓的幅度值相對較小，在每個點上僅存在10-5的誤差，因此，需要進(jìn)行適應(yīng)度變換，這里使用公式ObiV=log(∑(u-um)2)作為適應(yīng)度函數(shù).由于本身電阻較小，擴(kuò)散系數(shù)很大，導(dǎo)致電壓在10-3量級，因此在圖5(b)的微觀尺度上顯示出很大的差距.從實際的誤差均值上可看出，擬合后的響應(yīng)電壓與電壓真值之間差距很小.遺傳進(jìn)化過程圖(圖6)顯示，遺傳到180代時，ObiV已經(jīng)小到-11個量級，說明均方誤差函數(shù)也已達(dá)到10-11，可以認(rèn)為對模型而言，已經(jīng)達(dá)到較好的精度，也進(jìn)一步驗證圖5(b)中，看起來的差距很大的圖，實際并不大.

4 結(jié)論

本文中主要研究動力鋰離子電池的改進(jìn)Randle模型，討論該模型在輸入信號為階躍電流情況下的解析解，并給出其階躍電壓響應(yīng)曲線，實現(xiàn)對該模型在階躍激勵下模型參數(shù)的提取.在此基礎(chǔ)上，利用遺傳算法對該系統(tǒng)模型的參數(shù)完成辨識，參數(shù)辨識誤差均值接近10-5，擬合程度在98%以上.