問夢飛，鐘建琳，彭寶營，王鵬家，王增新

(1.北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192;2.超同步股份有限公司，北京101500)

0 前言

隨著高精密自動化制造技術(shù)的迅速發(fā)展，對于數(shù)控機(jī)床的精度要求越來越高。而在機(jī)床各項(xiàng)誤差中，由熱變形導(dǎo)致的加工誤差占比最高可以達(dá)到70%[1]。電主軸作為現(xiàn)代數(shù)控機(jī)床中的關(guān)鍵部件，由于其零傳動的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，熱量不易散出，加劇了主軸的熱變形，將直接影響產(chǎn)品的加工質(zhì)量。因此，減小機(jī)床熱誤差對加工精度的影響成為國內(nèi)外眾多學(xué)者的研究方向。

目前降低機(jī)床熱誤差主要有兩個(gè)著手方向[2]：(1)改善結(jié)構(gòu)和裝配工藝、加強(qiáng)散熱和改善各部件溫度升降不均等情況；(2)通過檢測熱誤差，運(yùn)用一定數(shù)學(xué)方法建立預(yù)測模型，并對可能產(chǎn)生的熱誤差預(yù)先加以補(bǔ)償，稱為熱誤差補(bǔ)償法。熱誤差補(bǔ)償法成本低、實(shí)用性強(qiáng)，是提高工件加工質(zhì)量的重要方法[3-4]。如何建立精度高、泛化能力強(qiáng)的預(yù)測模型成為要點(diǎn)難題，近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者提出了很多有價(jià)值、應(yīng)用性強(qiáng)的建模方法。鄺錦祥等[5]根據(jù)誤差值、工況轉(zhuǎn)速和時(shí)間的某種規(guī)律，建立了自然指數(shù)函數(shù)模型，其模型簡單、精度較高，但是該模型的預(yù)測精度取決于用于建模的函數(shù)，對不同情況的適應(yīng)性不足。戴野等人[6]利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)建立了熱誤差模型，該模型魯棒性強(qiáng)、預(yù)測精度高，在不同轉(zhuǎn)速條件下適應(yīng)能力強(qiáng)、抗干擾能力強(qiáng)。鞠萍華和黃洛[7]建立了灰色GM(1,4)預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果與實(shí)際熱誤差殘差在1 μm以內(nèi)，但此模型對非線性數(shù)據(jù)樣本預(yù)測效果差。張捷等人[8]建立了遺傳RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，遺傳RBF模型的精度和魯棒性均優(yōu)于傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和多元線性回歸法。LIU等[9]結(jié)合深度學(xué)習(xí)與灰狼尋優(yōu)算法建立了長短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，利用變分模態(tài)分解將非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化至較平穩(wěn)，取得了良好的效果。TAN等[10]利用LASSO回歸法篩選溫度測點(diǎn)，建立最小二乘支持向量回歸模型，結(jié)果表明此方法建立的LS-SVM模型預(yù)測性能好、泛化能力強(qiáng)，并且支持向量回歸(Support Vector Regression，SVR)模型在小樣本情況表現(xiàn)良好、泛化能力強(qiáng)，有大量的核函數(shù)可以使用，可以靈活解決回歸問題。

本文作者采用模糊聚類的方法，消除溫度變量間的多重共線性，利用灰色關(guān)聯(lián)度分析(Grey Relation Analysis，GRA)法對各溫度變量進(jìn)行關(guān)聯(lián)度排序，篩選出溫度關(guān)鍵點(diǎn)；針對支持向量回歸模型的不足，采用鯨魚優(yōu)化算法獲得關(guān)鍵參數(shù)c和g的最優(yōu)值，建立電主軸熱誤差預(yù)測模型。

1 電主軸溫升和熱誤差實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

研究對象為數(shù)控加工中心某型號電主軸，該電主軸常用加工轉(zhuǎn)速為7 000～10 000 r/min，前后軸承處為油脂潤滑，外置水冷機(jī)循環(huán)冷卻，實(shí)驗(yàn)條件為空轉(zhuǎn)。

電主軸的熱源主要來自于電機(jī)損耗發(fā)熱和前后軸承處摩擦生熱[11]。溫度傳感器主要布置在前后軸承室，電機(jī)溫度由西門子840D系統(tǒng)同步采集，溫度傳感器型號選用PT100A，具體分布如圖1、圖2所示。采用電渦流位移傳感器采集軸向熱誤差數(shù)據(jù)，放置在電主軸前端0.8 mm處，如圖3所示。利用美國雄獅回轉(zhuǎn)誤差分析儀進(jìn)行位移傳感器位置的確定和校準(zhǔn)。采用電主軸安裝于機(jī)床上的方式，選取10 000 r/min轉(zhuǎn)速進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到的熱伸長量更接近實(shí)際加工工況。測量過程中環(huán)境溫度保持在27°C左右，水冷機(jī)設(shè)置為室溫同調(diào)。

圖1 后軸承附近溫度傳感器

圖2 前軸承附近溫度傳感器

圖3 位移傳感器

傳感器編號及位置說明如表1所示。

表1 傳感器位置說明

溫度傳感器T1測量電主軸后軸承室溫度的變化，T2—T6測量前軸承室周圍的溫度變化，T7測量電機(jī)溫度。

實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)速設(shè)置為10 000 r/min，運(yùn)行總時(shí)長180 min，采集儀采樣間隔34 s，空載運(yùn)轉(zhuǎn)。

實(shí)驗(yàn)中共采集到319組數(shù)據(jù)，各溫度測點(diǎn)的溫升曲線如圖4所示。軸向伸長量如圖5所示。

圖4 溫升曲線 圖5 軸向伸長量

由圖4—圖5可知：在1.5 h左右，溫度趨于穩(wěn)定，電主軸的伸長量也趨于穩(wěn)定，并且10 000 r/min轉(zhuǎn)速時(shí)，前軸承處發(fā)熱大于電機(jī)發(fā)熱。實(shí)驗(yàn)測得最大軸向伸長量為79.93 μm，平均軸向伸長量為67.96 μm。

2 電主軸溫度測點(diǎn)優(yōu)化

2.1 模糊聚類

模糊C均值(Fuzzy C-means)算法簡稱FCM算法，在數(shù)據(jù)的聚類方面應(yīng)用廣泛，理論成熟。FCM算法根據(jù)歐幾里得原理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用拉格朗日法求目標(biāo)函數(shù)的極值，推導(dǎo)出隸屬度矩陣[uij]和聚類中心點(diǎn)ci的迭代公式，不斷迭代直至達(dá)到終止條件，根據(jù)最終得到的隸屬度矩陣，對溫度測點(diǎn)進(jìn)行分類。通過分類，可以有效地消除變量間的多重共線性。

目標(biāo)函數(shù)及約束條件如式(1)[12]所示：

(1)

其中：m為模糊指數(shù)，通常取1.5～2.0；c為分類數(shù)。根據(jù)式(1)推導(dǎo)，uij和ci的迭代公式分別如式(2)和式(3)所示：

(2)

(3)

2.2 灰色關(guān)聯(lián)度分析

采用灰色關(guān)聯(lián)度分析法，分析每一組中每個(gè)溫度測點(diǎn)與熱伸長數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)度，選取關(guān)聯(lián)度最大的溫度測點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)[13]。

算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)確定分析數(shù)列。文中熱伸長數(shù)據(jù)作為母序列，又稱參考序列：

Y=Y(k)|k=1,2,…,n

各溫度測點(diǎn)的測量值作為子序列，又稱比較序列：

Xi=Xi(k)|k=1,2,…,m

(2)數(shù)據(jù)的均值化處理。樣本數(shù)據(jù)存在量綱不同的問題，如不做處理，難以得到準(zhǔn)確的結(jié)果，因此需對數(shù)據(jù)進(jìn)行均值化處理，公式如下：

(4)

(3)采用式(5)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)[14]:

ξi(k)=

(5)

(4)最后進(jìn)行關(guān)聯(lián)度排序：

(6)

2.3 溫度測點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果

經(jīng)過迭代，最終得到的隸屬度矩陣U為

聚類結(jié)果如表2所示。

表2 聚類結(jié)果

根據(jù)式(5)和式(6)，得到各溫度測點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度排序結(jié)果如表3所示。

表3 各測點(diǎn)關(guān)聯(lián)度排序

由表3可知：關(guān)聯(lián)度由大到小為T3、T5、T4、T6、T2、T1、T7。結(jié)合模糊聚類的結(jié)果，可選出溫度關(guān)鍵點(diǎn)為T3、T6、T7。

3 鯨魚算法優(yōu)化支持向量回歸電主軸熱誤差建模

3.1 支持向量回歸模型

支持向量回歸模型應(yīng)用廣泛，算法的核心為構(gòu)建超平面和間隔帶，使超平面和最遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)之間的距離最小，主要原則：在間隔帶內(nèi)的樣本點(diǎn)不計(jì)損失值，f(x)與y之間的絕對差值大于ε的樣本點(diǎn)才計(jì)入損失。并且利用核函數(shù)將低維數(shù)據(jù)映射到高維，將非線性問題近似地變成線性回歸問題。目標(biāo)函數(shù)和約束條件如式(7)[15]所示：

(7)

3.2 鯨魚算法優(yōu)化SVR模型

鯨魚算法(Whale Optimization Algorithm,WOA)提出于2016年，其整個(gè)過程主要分為三部分：包圍獵物、氣泡網(wǎng)捕食、搜索獵物。通過數(shù)學(xué)模型描述座頭鯨的捕獵行為，以尋找最優(yōu)解。該算法具備群體智能優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)簡單、穩(wěn)定性好、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

群體中其他個(gè)體朝著最優(yōu)位置收縮包圍的過程，稱為包圍獵物。使用以下公式對最優(yōu)位置的位置向量進(jìn)行更新[16]：

D=C·X*(t)-X(t)|

(8)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(9)

其中：t為迭代次數(shù)；A和C為系數(shù)；X*為群體最優(yōu)解的位置向量；X為當(dāng)前的位置向量。A和C的計(jì)算公式如下：

A=2·A·r-a

(10)

C=2·r

(11)

式中：a為收斂因子，在算法執(zhí)行過程中從2衰減到0；r為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

a=2-2t/tmax

(12)

座頭鯨捕食時(shí)采用螺旋向上游動的路徑，在游動的同時(shí)，吐出大量氣泡來形成氣泡網(wǎng)，用氣泡包圍獵物，此過程稱為氣泡網(wǎng)捕食。建立以下數(shù)學(xué)模型模擬此行為：

(13)

式中：D′表示個(gè)體當(dāng)前位置與最優(yōu)獵物的距離；b為常量；l為[-1,1]之間的隨機(jī)值。為模擬該行為，收縮包圍和螺旋上升兩種行為的概率均設(shè)定為0.5。

當(dāng)座頭鯨活動范圍內(nèi)沒有獵物時(shí)，就會擴(kuò)大搜索范圍，此過程稱為搜索獵物，根據(jù)系數(shù)向量A來模擬搜索獵物過程。當(dāng)隨機(jī)值A(chǔ)的絕對值大于1時(shí)，表示擴(kuò)大活動范圍，反之，座頭鯨包圍收縮。該過程的數(shù)學(xué)模型如下：

D=C·Xrand-X|

(14)

X(t+1)=Xrand-A·D

(15)

支持向量回歸模型不易找到最優(yōu)的c和g參數(shù)，而鯨魚算法有良好的尋優(yōu)策略,算法具體的優(yōu)化流程如圖6所示。

初始化種群數(shù)量為30、最大迭代次數(shù)為50、b為1，選擇徑向基函數(shù)RBF作為核函數(shù)，將319組溫升和熱誤差數(shù)據(jù)隨機(jī)劃分為229組訓(xùn)練集、90組測試集，預(yù)測結(jié)果及殘差如圖7所示，相關(guān)性如圖8所示。

圖6 優(yōu)化算法流程

圖7 優(yōu)化后殘差 圖8 優(yōu)化后相關(guān)性

3.3 模型預(yù)測效果對比

鯨魚算法優(yōu)化支持向量回歸模型前后殘差對比，如圖9所示。優(yōu)化后的支持向量回歸模型WOA-SVR與多元線性回歸模型MLR的殘差對比如圖10所示。

圖9 優(yōu)化前后對比對比多元線 圖10 性回歸模型

模型預(yù)測效果對比如表4所示。

表4 模型預(yù)測效果對比

4 結(jié)論

以某臺電主軸為實(shí)驗(yàn)對象，測得10 000 r/min轉(zhuǎn)速時(shí)的溫升和軸向熱伸長數(shù)據(jù)，建立鯨魚算法優(yōu)化的支持向量回歸模型，將優(yōu)化后的模型預(yù)測效果與優(yōu)化前的SVR模型、多元線性回歸MLR模型進(jìn)行對比，得出以下結(jié)論：

(1)采用FCM-GRA結(jié)合的方法篩選溫度關(guān)鍵點(diǎn)，將溫度測點(diǎn)從7個(gè)減少到3個(gè)，避免了預(yù)測模型輸入變量的冗余性和溫度變量間的多重共線性，提高了建模效率；

(2)優(yōu)化后的模型誤差最大值和平均值均小于其他兩種模型，均方根誤差在1 μm左右，與未優(yōu)化的SVR和多元線性回歸模型相比分別減少了51%和45%，驗(yàn)證了WOA-SVR模型適用于電主軸的熱誤差預(yù)測，提供了新的建模思路。