郭建博 ，楊陽(yáng) ，董蕓秀

(1. 隴東學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000；2. 甘肅省高校黃土工程性質(zhì)及工程應(yīng)用省級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

作為本構(gòu)關(guān)系的應(yīng)力-應(yīng)變方程是材料最基本的物理方程，對(duì)其結(jié)構(gòu)承載力計(jì)算、延性分析和受力全過(guò)程模擬具有重要意義。目前，混凝土常用的受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系大多采用分段表達(dá)的形式，且以強(qiáng)度峰值為界。例如規(guī)范中采用的曲線[1]，以及HOGNESTAD等[2-5]提出的曲線。然而，如此分段描述盡管與試驗(yàn)結(jié)果符合較好，但可能給正截面受彎承載力計(jì)算帶來(lái)麻煩，尤其是在多種材料共同工作時(shí)，計(jì)算分析過(guò)于復(fù)雜，這給研究及應(yīng)用帶來(lái)麻煩。為了簡(jiǎn)化混凝土梁正截面受彎承載力的計(jì)算過(guò)程，本文探索一種應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分段表達(dá)新方式——以混凝土開(kāi)裂作為分界點(diǎn)，在承載力極限狀態(tài)，無(wú)需考慮混凝土的應(yīng)變是否過(guò)了強(qiáng)度峰值，因而可以采用統(tǒng)一的函數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，這種新的分段表達(dá)式用于多種材料共同工作的情形將簡(jiǎn)化承載力計(jì)算過(guò)程。實(shí)際工程中，碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)由于具有輕質(zhì)、高強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[6]，廣泛應(yīng)用于工程加固中。采用CFRP對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗彎加固，目前主要使用膠粘劑將纖維片材粘貼在構(gòu)件上(圖1)，實(shí)現(xiàn)兩者共同受力，該方法簡(jiǎn)便、高效，經(jīng)驗(yàn)證，CFRP加固鋼筋混凝土梁的承載能力得以大大提高[7]。然而，使用傳統(tǒng)應(yīng)力-應(yīng)變方程對(duì)其承載力進(jìn)行計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。本研究基于上述背景，將所提分段應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)用于CFRP加固鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面承載力分析中，驗(yàn)證新曲線的合理性和適用性，為CFRP加固混凝土梁的承載力計(jì)算提供理論指導(dǎo)。

1 混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

混凝土受壓時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，通常認(rèn)為具有下列特點(diǎn)[4]：

1) 曲線通過(guò)原點(diǎn)；

2) 曲線最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)混凝土單軸抗壓強(qiáng)度；

3) 曲線最高點(diǎn)處的切線為水平線，即曲線最高點(diǎn)處的斜率等于0；

4) 曲線過(guò)了直線段后的上升段的斜率逐漸減小，即曲線的2階導(dǎo)數(shù)小于0；

5) 曲線原點(diǎn)切線的斜率對(duì)應(yīng)受壓混凝土的原點(diǎn)模量，其值不應(yīng)小于混凝土的彈性模量。

典型曲線如圖2所示，圖中C點(diǎn)為曲線頂點(diǎn)，D點(diǎn)為下降段處曲線拐點(diǎn)，E點(diǎn)為下降段曲率最大點(diǎn)。

為了尋求應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，已有不少學(xué)者提出了不同的曲線方程，如圖3所示[5]。

鑒于混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的復(fù)雜性，很難采用統(tǒng)一的連續(xù)函數(shù)進(jìn)行全過(guò)程描述，若不顧及應(yīng)變很大時(shí)曲線走向的變化，DESAYI等提出的方程式是可行的[5]，但其中包含的有理分式和指數(shù)形式均不便于積分運(yùn)算和分析求解。此外，CHEN等[8]所提曲線為三角函數(shù)形式，積分過(guò)程雖簡(jiǎn)便，但承載力的求解過(guò)程仍較為繁瑣。

目前更普遍的做法是分段表達(dá)，且分界點(diǎn)都取在強(qiáng)度峰值處，如HOGNESTAD等[2-5]所提曲線。這樣做的共同缺點(diǎn)在于，對(duì)受彎構(gòu)件正截面承載力進(jìn)行理論分析時(shí)，彎曲破壞極限狀態(tài)若不以混凝土壓碎為標(biāo)志(例如CFRP加固鋼筋混凝土梁發(fā)生CFRP拉斷破壞時(shí))，受壓區(qū)合力大小及位置坐標(biāo)必須根據(jù)邊緣壓應(yīng)變是否超過(guò)ε0而采取不同的表達(dá)式，因此計(jì)算不夠方便。

圖3中各曲線在上升段實(shí)際上差別不大，過(guò)強(qiáng)度峰值后則不然，RUSCH[4]提出的關(guān)系式甚至沒(méi)有下降段，到達(dá)強(qiáng)度后為一水平直線。之所以這種差異能被接受，是因?yàn)橄陆刀蔚淖呦驅(qū)Τ休d力計(jì)算的結(jié)果影響不大，所以規(guī)范采用等效矩形圖也是可行的。

2 以開(kāi)裂為界的分段表達(dá)新方式

現(xiàn)有應(yīng)力-應(yīng)變曲線大多僅滿足了混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線一般特征的前4條，而最后一條混凝土的原點(diǎn)模量不應(yīng)小于其彈性模量并未滿足(此結(jié)論通過(guò)數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法求得原點(diǎn)處切線模量，將之與彈性模量相比得出[9])，這說(shuō)明一些常用曲線仍然不能精確描述混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

鑒于此，在允許下降段存在誤差的情況下，本文提出一組完全滿足混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線一般特征的新方程。

新方程對(duì)混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍然采取分段描述的方式，不同于以往的做法是以開(kāi)裂為界，混凝土出現(xiàn)裂縫前采用線彈性關(guān)系，開(kāi)裂后采用二次函數(shù)曲線，不僅考慮了混凝土的適應(yīng)性，同時(shí)也可用作裂縫預(yù)判。

通過(guò)擬合，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系前段近似采用直線描述，可以減少受力全過(guò)程早期模擬的工作量；后期不在強(qiáng)度峰值處分段，能夠簡(jiǎn)化正截面受彎承載力計(jì)算，原因是彎曲破壞極限狀態(tài)不以混凝土壓碎為標(biāo)志時(shí)，受壓區(qū)合力大小及位置可以采用統(tǒng)一算式，不必根據(jù)邊緣壓應(yīng)變是否超過(guò)ε0而采取不同算式。

混凝土通常在應(yīng)力達(dá)到(0.4～0.5)fc時(shí)開(kāi)裂，偏低選取開(kāi)裂點(diǎn)應(yīng)力為0.4fc，此前采用直線段可以較好描述混凝土開(kāi)裂前的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

如前所述，對(duì)下降段的精度要求可以適當(dāng)放松，通過(guò)查閱文獻(xiàn)，并觀察大多經(jīng)典曲線的走向，最終根據(jù)不同的混凝土等級(jí)，使極限應(yīng)變時(shí)抗壓強(qiáng)度值處于(0.50～0.65)fc之間。

對(duì)常用曲線進(jìn)行擬合，并根據(jù)開(kāi)裂點(diǎn)以及曲線的一般條件探索了易于進(jìn)行計(jì)算的二次曲線，以開(kāi)裂為界的混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線的表達(dá)新方式如下：

其中：E為混凝土的彈性模量(同混凝土2014規(guī)范中取值)；fc為混凝土立方體抗壓強(qiáng)度代表值，令計(jì)算所得值見(jiàn)表1。二次方程曲線系數(shù)a，b和c則根據(jù)混凝土受壓應(yīng)力應(yīng)變曲線的一般特點(diǎn)通過(guò)計(jì)算得到，其取值為

表1 曲線中的系數(shù)取值Table 1 Value of coefficients in the curve

式中：x表示應(yīng)變與峰值應(yīng)力相應(yīng)應(yīng)變的比值；y表示應(yīng)力與峰值應(yīng)力的比值，即x=ε/ε0，y=σ/fc；混凝土軸心抗壓強(qiáng)度代表值fc=0.76fcu，其中fcu取為混凝土立方體軸心抗壓強(qiáng)度平均值；峰值應(yīng)變?chǔ)?取為0.002；極限應(yīng)變?chǔ)與u取為0.003 3。

曲線的直線段斜率與彈性模量成正比，因此可根據(jù)不同等級(jí)混凝土所對(duì)應(yīng)的彈性模量分別取值，從而使該曲線實(shí)用性大大增加。由于高強(qiáng)混凝土的性能往往有所不同，故此處僅分析強(qiáng)度等級(jí)不超過(guò)C50的普通混凝土。

在直線與二次曲線的分界點(diǎn)處，雖然曲線的斜率發(fā)生了微小改變，但這與混凝土開(kāi)裂時(shí)剛度存在變化這一點(diǎn)相符合，即使曲線在此處不光滑也并無(wú)太大影響。為方便計(jì)算查閱、簡(jiǎn)化計(jì)算工作量，本文對(duì)C15～C50強(qiáng)度混凝土的曲線系數(shù)取值列于表1。

為了研究新曲線的可取性，將新曲線與經(jīng)典曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

鑒于經(jīng)典曲線的下降段差異較大，因此將以強(qiáng)度等級(jí)為C30混凝土為例的新曲線與經(jīng)典曲線在上升段取6點(diǎn)(x=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0)，將應(yīng)力與峰值應(yīng)力的比值進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)過(guò)計(jì)算，新曲線與DESAYI，RUSCH，HOGNESTAD，SAHLIN和YOUNG曲線誤差平均值分別為-0.94%，2.55%，2.55%，-4.35%，7.93%。其中，新曲線與DESAYI，RUSCH及HOGNESTAD曲 線 在 上 升 段 取值相差極小，與SAHLIN與YOUNG曲線在取值點(diǎn)處的誤差在可接受范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證了該曲線與經(jīng)典曲線總體上差異不大。新曲線下降段與HOGNESTAD非常接近，這同時(shí)說(shuō)明了該曲線下降段的合理性。

3 新關(guān)系式在CFRP加固梁正截面承載力計(jì)算中的應(yīng)用

3.1 概述

外貼式CFRP加固鋼筋混凝土梁的彎曲破壞在CFRP黏貼長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)、端部錨固可靠時(shí)發(fā)生，以混凝土壓碎或CFRP拉斷為極限狀態(tài)標(biāo)志，如圖3所示。此時(shí)存在3種可能的彎曲破壞形式：鋼筋屈服前混凝土壓碎；鋼筋屈服后混凝土壓碎；鋼筋屈服后CFRP拉斷[10-12]，分別記為破壞形態(tài)a，b和c。本文所提新曲線對(duì)于3種破壞形態(tài)的受彎承載力均適用。其中破壞形態(tài)c是目前外貼式CFRP加固混凝土梁彎曲破壞的主要形式，其發(fā)生不以混凝土壓碎為標(biāo)志，此時(shí)采用本文提出的新關(guān)系式將給相應(yīng)受彎承載力計(jì)算帶來(lái)方便，簡(jiǎn)化計(jì)算量。

對(duì)于CFRP外貼加固鋼筋混凝土梁，在抗彎承載力的計(jì)算過(guò)程中，所作基本假定有5點(diǎn)：

1) 平截面假定；

2) 受拉區(qū)混凝土不承擔(dān)拉應(yīng)力；

3) CFRP的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線彈性，拉應(yīng)力σf的函數(shù)表達(dá)式為σf=Efεf；

4) CFRP與混凝土之間黏結(jié)可靠，無(wú)滑移；混凝土的應(yīng)力應(yīng)變曲線取為新曲線；

5) 鋼筋的應(yīng)力表達(dá)式如下：

當(dāng)0≤εs≤εy時(shí)，σs=Esεs，εy=fy/Es；當(dāng)εs≤εy時(shí)，σs=fy。

根據(jù)以上基本假定，并考慮這種破壞形態(tài)的特點(diǎn)，可得出如下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：εc＜εcu；εs=εy；σs=fy；εf=εfu；σf=Efεfu。

同時(shí)，根據(jù)平截面假定和無(wú)滑移假定，有：

CFRP加固梁截面應(yīng)力-應(yīng)變分布如圖6所示，由力和彎矩的平衡條件得：

根據(jù)曲線進(jìn)行積分得到式(3)中C的計(jì)算公式，從而推導(dǎo)出受彎承載力Mu的具體計(jì)算公式。分別采用常用曲線：過(guò)鎮(zhèn)海曲線和新曲線來(lái)得到受彎承載力Mu。

3.2 采用過(guò)鎮(zhèn)海關(guān)系式的計(jì)算

為了使新曲線推導(dǎo)出的結(jié)果更具說(shuō)服力，首先介紹常規(guī)做法：依據(jù)常用的過(guò)鎮(zhèn)海曲線推導(dǎo)得出受彎承載力。接著，將使用新曲線得出的受彎承載力與之進(jìn)行對(duì)比。

過(guò)鎮(zhèn)海曲線表達(dá)式[13-14]如下：

表2 過(guò)鎮(zhèn)海全曲線方程參數(shù)的選用Table 2 Selection table of equation parameter of Zhenhai Guo’s curve

CFRP拉斷時(shí)，混凝土的應(yīng)變?chǔ)與可能還未達(dá)到峰值應(yīng)變，也可能超過(guò)峰值應(yīng)變但未達(dá)到極限應(yīng)變，因此對(duì)過(guò)鎮(zhèn)海曲線這種以峰值應(yīng)變?yōu)榻绲姆侄伪磉_(dá)需考慮這2種情況分別進(jìn)行討論。

過(guò)鎮(zhèn)海曲線所提應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系分兩端用不同的函數(shù)式表達(dá)，故需根據(jù)受壓區(qū)邊緣應(yīng)變的大小，分2種情況通過(guò)積分來(lái)得到式(6)和式(7)所示的C和yc的計(jì)算公式[11,15]。

當(dāng)εc≤ε0時(shí)

考慮式(2)，根據(jù)式(6)和式(3)，可得出x0和εc。接著根據(jù)x0求得yc，然后代入式(4)中求得Mu。由于εc未知，故采用過(guò)鎮(zhèn)海曲線分析承載力時(shí)需分2種情況進(jìn)行積分計(jì)算，其過(guò)程較為復(fù)雜和困難。

3.3 采用本文新關(guān)系式的計(jì)算

本文新曲線可用于計(jì)算FRP加固梁在破壞形態(tài)a，b和c時(shí)的受彎承載力。其中，當(dāng)彎曲破壞極限狀態(tài)不以混凝土壓碎為標(biāo)志時(shí)，即破壞形態(tài)c，新曲線可簡(jiǎn)化正截面受彎承載力的計(jì)算。本節(jié)以新曲線為依據(jù)，推導(dǎo)此時(shí)受彎承載力的算式，并與用過(guò)鎮(zhèn)海建議的曲線推導(dǎo)得出的公式和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比，以驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。

由于新關(guān)系曲線在混凝土開(kāi)裂后采用一個(gè)表達(dá)式，故求解時(shí)無(wú)需分εc≤ε0和ε0＜εc≤εcu2種情況進(jìn)行積分計(jì)算，僅用一個(gè)表達(dá)式即可。

參照3.2中的步驟，通過(guò)積分來(lái)求得C和yc，分別如式(10)和式(11)所示。

其中，令

式中：εa為曲線分界點(diǎn)處混凝土的應(yīng)變值(與式(1)相對(duì)應(yīng)，其大小為0.4/k)，根據(jù)不同的混凝土強(qiáng)度而變化，取值見(jiàn)表3。

表3 分段處應(yīng)變?chǔ)臿取值Table 3 Value of εa in sectional position

考慮式(2)，將式(10)代入式(3)，并根據(jù)不同混凝土強(qiáng)度的εa值，可解出x0及εc。

接著求得yc，再代入式(4)求得極限彎矩Mu。

運(yùn)用本文探索的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系求解極限彎矩，計(jì)算積分無(wú)需分段，較規(guī)范及現(xiàn)有常用的分段曲線進(jìn)行計(jì)算更為方便。

3.4 計(jì)算結(jié)果比較

為驗(yàn)證上述根據(jù)新曲線推導(dǎo)出的受彎承載力公式，通過(guò)查閱其他研究者的相關(guān)文獻(xiàn)，從有限的試驗(yàn)資料中除去發(fā)生剪切破壞及黏結(jié)破壞的試件，得到12根混凝土梁以及外貼式CFRP加固梁彎曲破壞形態(tài)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[16-18]。

采用由本文新曲線推導(dǎo)出的受彎承載力公式進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)與過(guò)鎮(zhèn)海曲線得到的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)產(chǎn)生對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 加固試驗(yàn)梁極限荷載計(jì)算值與實(shí)測(cè)值比較Table 4 Compare calculative value with ultimate value of ultimate load in reinforcement test

結(jié)果表明，運(yùn)用新曲線計(jì)算得出的試驗(yàn)梁極限荷載計(jì)算值與過(guò)鎮(zhèn)海曲線計(jì)算得出的結(jié)果及實(shí)測(cè)值差別均不大，且與實(shí)測(cè)值之比的誤差平均值為1.75%，采用過(guò)鎮(zhèn)海曲線計(jì)算得出的結(jié)果與實(shí)測(cè)值之比的平均值為2.91%，說(shuō)明根據(jù)梁的破壞形態(tài)采用本文曲線進(jìn)行計(jì)算所得的承載力與試驗(yàn)結(jié)果比較吻合。

4 結(jié)論

1) 本文探索的曲線滿足混凝土受壓時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的一般特點(diǎn)，適用于C50及以下各種強(qiáng)度的普通混凝土。

2) 運(yùn)用新的混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，推導(dǎo)CFRP外貼加固鋼筋混凝土梁的彎曲破壞時(shí)不以混凝土壓碎為標(biāo)志的破壞形態(tài)(鋼筋屈服后CFRP拉斷)的承載力公式，較采用常用分段曲線——過(guò)鎮(zhèn)海所提曲線推導(dǎo)出的承載力公式更為簡(jiǎn)便。

3) 將基于新曲線得到的受彎承載力公式相關(guān)試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合較好，表明本文所提曲線適用于CFRP外貼加固混凝土承載力計(jì)算。