黨選舉 馬樑海

（①桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541004；②廣西智能綜合自動(dòng)化高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004）

近年來(lái)，協(xié)作機(jī)器人在高端制造、醫(yī)療服務(wù)、防災(zāi)抗疫等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，這對(duì)協(xié)作機(jī)器人的執(zhí)行精度提出了更高要求。但作為柔性關(guān)節(jié)核心部件的諧波減速器在動(dòng)力傳動(dòng)過(guò)程中，由于柔輪受載變形時(shí)的彈性變形能量損失，故而柔輪與剛輪齒合時(shí)產(chǎn)生摩擦損失，這一固有的機(jī)械結(jié)構(gòu)特性致使柔性關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可避免地出現(xiàn)復(fù)雜遲滯特性，嚴(yán)重影響協(xié)作機(jī)器人的位置執(zhí)行精度[1-2]。因此，為了滿(mǎn)足高精度控制要求，對(duì)關(guān)節(jié)中諧波減速器的遲滯特性進(jìn)行建模尤為重要。

柔性關(guān)節(jié)遲滯特性一般指輸出力矩與扭轉(zhuǎn)角（輸入軸與輸出軸夾角）的關(guān)系，具有多值對(duì)應(yīng)、強(qiáng)非線性和非對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。針對(duì)遲滯特性的建模方法中，除傳統(tǒng)的物理模型如Preisach模型[3]、PI模型[4]和Maxwell模型[5]，非線性微分模型如Bouc-Wen模型[6]和Duhem模型[7]，近年來(lái)出現(xiàn)具有較高全局優(yōu)化能力和泛化能力的智能遲滯模型，典型的有采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）的遲滯建模方法[8-10]等。

智能建模方法中的LSSVM是結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)與結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化理論的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法。與一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)比，LSSVM具有較高的建模速度和泛化能力，常應(yīng)用于遲滯建模。文獻(xiàn)[11]借助LSSVM對(duì)氣動(dòng)肌肉的位移和氣壓遲滯關(guān)系進(jìn)行建模研究。文獻(xiàn)[12]和[13]基于LSSVM理論對(duì)壓電作動(dòng)器進(jìn)行建模和控制研究。文獻(xiàn)[9]利用基于非線性自回歸模型結(jié)構(gòu)的LSSVM對(duì)構(gòu)成驅(qū)動(dòng)器的智能復(fù)合材料實(shí)現(xiàn)遲滯建模與控制。但無(wú)論是LSSVM還是基于非線性自回歸模型結(jié)構(gòu)的LSSVM遲滯模型，都用于遲滯特性表現(xiàn)為對(duì)稱(chēng)性、正逆程弱非線性特性的壓電陶瓷或氣動(dòng)肌肉等對(duì)象的建模，不適用于協(xié)作機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)所表現(xiàn)出的正逆程強(qiáng)非線性、非對(duì)稱(chēng)的復(fù)雜遲滯特性建模。

而加權(quán)最小二乘支持向量機(jī)（WLSSVM）通過(guò)引入加權(quán)規(guī)則改善LSSVM的抗干擾性能和建模精度欠佳的問(wèn)題[14]，使之能更好地適用于柔性關(guān)節(jié)的復(fù)雜遲滯建模。并且?guī)е虚g變量的非線性自回歸移動(dòng)平均滑動(dòng)（NARMAX）模型結(jié)構(gòu)是針對(duì)非線性系統(tǒng)的一種輸入輸出描述，能有效地表征其動(dòng)態(tài)特性，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)復(fù)雜非線性輸出的能力。因此，本文為構(gòu)建協(xié)作機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)高精度遲滯模型，結(jié)合實(shí)際關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于NARMAX結(jié)構(gòu)框架，將PI算子產(chǎn)生的中間變量、輸出力矩歷史值和扭轉(zhuǎn)角歷史值作為模型輸入，利用LSSVM模型輸出誤差信息，在目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)中采用具有自適應(yīng)調(diào)整因子的輸出誤差信息構(gòu)成的正則化項(xiàng)，建立改進(jìn)的WLSSVM遲滯模型。

1 基于 NARMAX 結(jié)構(gòu)的改進(jìn) WLSSVM 遲滯模型

1.1 LSSVM 遲滯模型的構(gòu)建

LSSVM將原本數(shù)據(jù)空間借助核函數(shù)定義的非線性映射，轉(zhuǎn)換到高維特征空間中，使非線性回歸問(wèn)題變成高維特征空間下線性回歸問(wèn)題的求解[11]。在高維空間中構(gòu)建關(guān)節(jié)的回歸函數(shù)如下。

式中： γ為正則化因子； ξk為模型輸出與實(shí)際輸出之間的誤差。為求解式（2）的優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造拉格朗日方程如下

式中： λk表示拉格朗日乘子。為求目標(biāo)函數(shù)的最小值，令式（3）中的變量ω 、b、 ξk及λk偏導(dǎo)數(shù)等于0，即

消去式（4）中的 ω 和 ξ，則所求的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下線性方程組

式 中 ： λ =[λ1,λ2,···,λN]T， Δ θ′=[Δθ1,Δθ2,···,ΔθN]T，E=[1,1,···,1]T，I代表單位矩陣。因此，LSSVM的優(yōu)化問(wèn)題由式（2）轉(zhuǎn)化為式（5）線性方程組的求解，該方程組用最小二乘法計(jì)算。

為避免上述映射函數(shù)與高維特征內(nèi)積φ(x)Tφ(xk)的求解，根據(jù)Mercer條件，存在映射函數(shù) φ和核函數(shù)K，使得

式中：選取高斯徑向核函數(shù)， σ為核函數(shù)寬度，‖·‖代表歐氏距離。因此，得到協(xié)作機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)的LSSVM遲滯模型表達(dá)式為

LSSVM遲滯模型的輸入向量選取如下，為

式中：τJ(k-1)和τJ(k-2)表示k-1和k-2時(shí)刻實(shí)際測(cè)得關(guān)節(jié)力矩， Δ θ(k-1)和 Δ θ(k-2)表示k-1和k-2時(shí)刻實(shí)際測(cè)得關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角。選取合適核函數(shù)參數(shù)及正則化參數(shù)后，利用LSSVM得到模型的預(yù)測(cè)輸出扭轉(zhuǎn)角 Δ θ′(k)，如圖1所示為L(zhǎng)SSVM遲滯模型結(jié)構(gòu)圖。

圖1 LSSVM 遲滯模型結(jié)構(gòu)圖

通過(guò)協(xié)作機(jī)器人關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)對(duì)LSSVM遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證。如圖2所示為模型預(yù)測(cè)輸出與誤差，其中，圖2a實(shí)線表示關(guān)節(jié)實(shí)際扭轉(zhuǎn)角輸出，點(diǎn)畫(huà)線表示LSSVM遲滯模型預(yù)測(cè)輸出，圖2b虛線表示預(yù)測(cè)誤差。結(jié)果表明，LSSVM遲滯模型在預(yù)測(cè)復(fù)雜非線性特性的能力不足，具體表現(xiàn)為關(guān)節(jié)往返切換運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的預(yù)測(cè)誤差較大。

1.2 改進(jìn) WLSSVM 遲滯模型的構(gòu)建

1.2.1 基于 PI遲滯算子的中間變量

由圖2可知，針對(duì)協(xié)作機(jī)器人關(guān)節(jié)的強(qiáng)非線性、非對(duì)稱(chēng)的復(fù)雜遲滯特性，LSSVM遲滯模型的預(yù)測(cè)能力不足。為此，基于NARMAX模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在引入輸出力矩和扭轉(zhuǎn)角歷史值的基礎(chǔ)上，采用PI遲滯算子產(chǎn)生中間變量，將關(guān)節(jié)遲滯特性的多值映射關(guān)系轉(zhuǎn)化為一對(duì)一映射。PI遲滯算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式

圖2 LSSVM 遲滯模型預(yù)測(cè)輸出與誤差

式中：u(k)表示算子輸入，h(k)為算子輸出，閾值r取值為10。當(dāng)k=0時(shí)PI遲滯算子初始化為

1.2.2 自適應(yīng)調(diào)整因子kξ的設(shè)計(jì)

為了提高模型的精度和抗干擾能力，根據(jù)LSSVM模型輸出與目標(biāo)值的訓(xùn)練誤差構(gòu)成目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的正則項(xiàng)。本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)調(diào)整因子kξ，正則項(xiàng)不同的權(quán)重，決定數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)建模過(guò)程的影響大小，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式（11）中所提出kξ表達(dá)式如下。

為了求解式（11）的優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造拉格朗日方程

為求目標(biāo)函數(shù)的最小值，令式（13）中變量 ω、b、 ξk及 λ*k偏導(dǎo)數(shù)等于0。則所求優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組。

1.2.3 模型參數(shù)的優(yōu)化

在建模過(guò)程中，需要預(yù)先給定正則化因子 γ和核函數(shù)寬度 σ。參數(shù)選取能有效提升遲滯模型的預(yù)測(cè)和泛化能力。而SSA作為一種新的智能優(yōu)化算法，在收斂速度、搜索精度和局部最優(yōu)值的避免上具有較高的優(yōu)勢(shì)[15]，故將SSA用于改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的參數(shù)選取。

SSA是受麻雀群體捕食行為啟發(fā)而提出的優(yōu)化算法，其運(yùn)算過(guò)程由發(fā)現(xiàn)者、追隨者及預(yù)警者組成。具有良好適應(yīng)度值的發(fā)現(xiàn)者負(fù)責(zé)引導(dǎo)麻雀群覓食，其位置更新公式為

式中：j=1,2,···,d為當(dāng)前維度；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)；表示t+ 1次迭代下第i只麻雀在第j維的位置； α ∈(0,1]表示隨機(jī)數(shù)；Q表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；L為 1 ×d且元素均為1的矩陣；R2∈[0,1]為預(yù)警值；ST∈[0.5,1]為安全值。

追隨者比發(fā)現(xiàn)者的適應(yīng)度值低，需根據(jù)發(fā)現(xiàn)者的位置來(lái)進(jìn)行捕食，其位置更新公式為

式中：XPt+1表示第t+ 1次迭代時(shí)發(fā)現(xiàn)者的最優(yōu)位置；Xwtorst為當(dāng)前全局最差位置；A+=AT(AAT)-1且A是元素隨機(jī)為1或 - 1的 1 ×d維矩陣，n為麻雀總數(shù)。

當(dāng)意識(shí)到危險(xiǎn)時(shí)，預(yù)警者會(huì)做出反捕食行為，其位置更新公式為

SSA同時(shí)優(yōu)化模型參數(shù) γ和 σ步驟如下：

（1）參數(shù)設(shè)置及種群初始化，具體為初始參數(shù) γ和 σ，麻雀總數(shù)n，最大迭代次數(shù)tmax，預(yù)警值R2，發(fā)現(xiàn)者和預(yù)警者數(shù)量。

（2）以訓(xùn)練和驗(yàn)證均方誤差為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每只麻雀適應(yīng)度值fi并排序，得出全局最優(yōu)和最差適應(yīng)度值fg和fw。

（3）利用式（16）~（18）更新發(fā)現(xiàn)者、追隨者及預(yù)警者新位置及對(duì)應(yīng)適應(yīng)度值，如果適應(yīng)度值優(yōu)于前次，則更新。

（4）重復(fù)步驟（3）的更新過(guò)程直到最大迭代次數(shù)，最優(yōu)解為所有迭代中適應(yīng)度值最低的那只麻雀，輸出對(duì)應(yīng)最優(yōu)參數(shù) γ和 σ。

通過(guò)上述步驟優(yōu)化后獲得模型參數(shù)取值為γ=2.73， σ =5。

綜上，改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的輸入向量選取如下

式中：τJ(k-1)和τJ(k-2)表示k-1和k-2時(shí)刻實(shí)際測(cè)得輸出力矩； Δ θ(k-1)和 Δ θ(k-2)表示k-1和k-2時(shí)刻實(shí)際測(cè)得關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角；h(k-1)和h(k-2)表示k-1和k-2時(shí)刻PI遲滯算子的輸出。利用SSA獲取最優(yōu)核函數(shù)參數(shù)及正則化參數(shù)后，通過(guò)改進(jìn)WLSSVM，得到預(yù)測(cè)輸出扭轉(zhuǎn)角 Δ θ′(k)，如圖3所示為改進(jìn)WLSSVM遲滯模型結(jié)構(gòu)圖。

圖3 改進(jìn) WLSSVM 遲滯模型結(jié)構(gòu)圖

2 遲滯模型的建模與驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

本文搭建協(xié)作機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)遲滯特性實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到輸出力矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)。以最大絕對(duì)誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）作為模型精度的評(píng)判指標(biāo)，分別比較LSSVM遲滯模型、在 IEEE-ASME T MECH期刊中文獻(xiàn)[16]所提NARMAX遲滯模型和改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的建模與驗(yàn)證效果。

2.1 關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)的采集

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由FRANKA協(xié)作機(jī)器人、控制器和工作站PC組成。工作站PC需為配置實(shí)時(shí)內(nèi)核的Ubuntu環(huán)境，并裝有Libfranka庫(kù)。在Visual Studio Code中利用C++編程訪問(wèn)FCI，使FRANKA協(xié)作機(jī)器人指定關(guān)節(jié)按給定位置信號(hào)做雙邊正弦衰減運(yùn)動(dòng)，同步采集扭轉(zhuǎn)角與輸出力矩的數(shù)據(jù)。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下，給定關(guān)節(jié)位置信號(hào)qd為

式中：A為 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)幅度，（°）；T為關(guān)節(jié)一個(gè)回環(huán)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，s；時(shí)間常數(shù)τ取為0.02，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)回環(huán)設(shè)為6個(gè)，采樣頻率設(shè)為10 ms。

為充分驗(yàn)證所提模型的性能，采集不同幅度和周期下的關(guān)節(jié)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，取值分別為：①A=π/6,T=4s； ②A=π/6,T= 6s； ③A=π/8,T= 4s ；④A=π/7,T= 5s。將所采集數(shù)據(jù)分別用于改進(jìn)WLSSVM遲滯模型和對(duì)比遲滯模型的建模與驗(yàn)證。

2.2 建模與驗(yàn)證結(jié)果

將A=π/6,T= 4s時(shí)的關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)作為模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)。如圖4所示為建模輸出遲滯圖，如圖5所示為建模輸出和誤差時(shí)域圖。分析圖5可知，LSSVM遲滯模型、NARMAX遲滯模型和改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的建模MAE分別為 0.004 53°、0.003 48°和0.001 87°， 對(duì) 應(yīng) 的 建 模RMSE分 別 為 0.001 81、0.001 20和0.000 45。所提模型比LSSVM遲滯模型的建模MAE降低2.4倍，建模RMSE降低4.0倍，比NARMAX遲滯模型的建模MAE降低1.9倍，建模RMSE降低2.7倍。

圖4 建模輸出遲滯圖

圖5 建模輸出和誤差時(shí)域圖

將A=π/6,T= 6s時(shí)的關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)用作模型第一組驗(yàn)證數(shù)據(jù)，其驗(yàn)證輸出遲滯關(guān)系如圖6所示，時(shí)域下的驗(yàn)證輸出和誤差如圖7所示。分析圖7可知，LSSVM遲滯模型、NARMAX遲滯模型和改進(jìn)WLSSVM遲滯模型驗(yàn)證MAE分別為 0.003 24°、0.003 13°和0.001 39°，對(duì)應(yīng)驗(yàn)證RMSE分別為0.001 06、0.001 11 和0.000 41。所提模型比LSSVM遲滯模型和NARMAX遲滯模型的驗(yàn)證MAE均降低2.3倍，而驗(yàn)證RMSE分別降低2.6倍和2.7倍。

圖6 第一組驗(yàn)證數(shù)據(jù)輸出遲滯圖

圖7 第一組驗(yàn)證數(shù)據(jù)輸出和誤差時(shí)域圖

將A=π/8,T= 4s時(shí)的關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)用作模型第二組驗(yàn)證數(shù)據(jù)，如圖8所示為驗(yàn)證輸出遲滯圖，如圖9所示為驗(yàn)證輸出和誤差時(shí)域圖。分析圖9可得，LSSVM遲滯模型、NARMAX遲滯模型和改進(jìn)WLSSVM遲滯模型驗(yàn)證MAE分別為 0.003 32°、0.003 12°和0.001 65°，對(duì)應(yīng)驗(yàn)證RMSE分別為0.001 32、0.001 14和0.000 41。所提模型比LSSVM 遲滯模型和NARMAX遲滯模型的驗(yàn)證MAE分別降低2.0倍和1.9倍，而驗(yàn)證RMSE分別降低3.2倍和2.8倍。

圖8 第二組驗(yàn)證數(shù)據(jù)輸出遲滯圖

將A=π/7,T= 5s時(shí)的關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)用作模型第三組驗(yàn)證數(shù)據(jù)，得到驗(yàn)證輸出遲滯曲線如圖10所示，時(shí)域下驗(yàn)證輸出和誤差對(duì)比如圖11所示。分析圖11可得，LSSVM遲滯模型、NARMAX遲滯模型和改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的驗(yàn)證MAE分別為0.003 31°、0.003 22°和0.001 74°，對(duì)應(yīng)驗(yàn)證RMSE分別為0.001 14、0.001 10和0.000 40。所提模型比LSSVM 遲滯模型和NARMAX遲滯模型的驗(yàn)證MAE均降低1.9倍，而驗(yàn)證RMSE分別降低2.9倍和2.8倍。

圖10 第三組驗(yàn)證數(shù)據(jù)輸出遲滯圖

圖11 第三組驗(yàn)證數(shù)據(jù)輸出和誤差時(shí)域圖

不同周期和幅度下的模型驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比如表1所示。可知，相較于LSSVM遲滯模型，所提模型的驗(yàn)證MAE最多降低2.3倍，驗(yàn)證RMSE最多降低3.2倍。相較于NARMAX遲滯模型，所提模型的驗(yàn)證MAE最多降低2.3倍，驗(yàn)證RMSE最多降低2.8倍。綜上，改進(jìn)WLSSVM遲滯模型的模型精度和泛化能力均優(yōu)于LSSVM遲滯模型和NARMAX遲滯模型。

表1 不同周期和幅度下的模型驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)由諧波減速器構(gòu)成協(xié)作機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)所表現(xiàn)出的多值對(duì)應(yīng)、強(qiáng)非線性和非對(duì)稱(chēng)性的復(fù)雜遲滯特性問(wèn)題，提出基于NARMAX結(jié)構(gòu)的改進(jìn)WLSSVM遲滯模型。利用PI算子所產(chǎn)生的中間變量、輸出力矩歷史值和扭轉(zhuǎn)角歷史值作為模型輸入，解決多值映射問(wèn)題。在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的正則化項(xiàng)中引入自適應(yīng)調(diào)整因子，使模型可以有效預(yù)測(cè)非對(duì)稱(chēng)和強(qiáng)非線性特性。結(jié)果表明，相較對(duì)比模型，所提遲滯模型具有較優(yōu)的驗(yàn)證精度。