李 平 張嘉媛 孫中華

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 合肥 230601)

1 引言

自正交碼包含自對(duì)偶碼，它是一類非常重要的碼。文獻(xiàn)[1]利用經(jīng)典的2元自正交線性碼構(gòu)造了量子碼，自此自正交碼的構(gòu)造成為編碼理論研究的一個(gè)熱點(diǎn)[2–6]。文獻(xiàn)[4]研究了3元域上對(duì)偶距離為3的自正交碼的構(gòu)造，并得到了參數(shù)好的量子碼。文獻(xiàn)[5]研究了4元域上自正交碼的構(gòu)造方法，得到了一些最優(yōu)的3維自正交碼。

線性互補(bǔ)對(duì)偶(Linear Complementary Dual,LCD)碼作為一類特殊的線性碼，在編碼理論中有著豐富的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[7]證明有限域上LCD碼能夠防御信道攻擊。文獻(xiàn)[8]最先提出線性互補(bǔ)對(duì)偶(LCD)碼，同時(shí)證明存在漸進(jìn)好的LCD碼。文獻(xiàn)[9]證明LCD碼能達(dá)到漸進(jìn)(gilbert-varshamov)界，從而激發(fā)學(xué)者研究LCD碼的興趣[9–16]。文獻(xiàn)[10]總結(jié)有限域上LCD碼的一些主要研究成果及其進(jìn)展，并提出了一些未解決的重要問題。

文獻(xiàn)[11]證明q>3元 LCD碼和q元線性碼等價(jià)。因此，LCD碼的研究重點(diǎn)聚焦于研究2元LCD碼和3元LCD碼。文獻(xiàn)[12]解決了5元域上3維和4維最優(yōu)LCD碼的構(gòu)造問題。文獻(xiàn)[13]利用合適的定義集構(gòu)造了2元LCD碼和2元自正交碼。文獻(xiàn)[14]推廣到q元域，其中q是素?cái)?shù)。文獻(xiàn)[15]通過合適的定義集構(gòu)造了4元厄米特LCD碼和厄米特自正交碼。受這3篇文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究了合適的定義集下的3元LCD碼和3元自正交碼的構(gòu)造。利用有限域上線性碼是LCD碼或自正交碼的判定條件，構(gòu)造了4類3元LCD碼和一些自正交碼。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)q是素?cái)?shù)的冪，F(xiàn)q是q元域，是Fq上n維向量空間。對(duì)中的任意向量x=(x0,x1,...,xn?1)和y=(y0,y1,...,yn?1) ， 定義x和y的歐幾里得內(nèi)積為

設(shè)C是一個(gè)q元[n,k] 線性碼，則C⊥是一個(gè)q元[n,n ?k]線 性碼。若C?C⊥，則稱C為自正交碼。若C ∩C⊥={0}， 則稱C為LCD碼。

D={g1,g2,...,gn}?D

設(shè)集合 。由集合 構(gòu)造

易證，CD是一個(gè)碼長為n的q元線性碼，并稱D是 碼CD的定義集。設(shè)G是由向量形成的m×n矩陣

且Rank(G) =k。則CD是一個(gè)[n,k]線性碼。特別地，如果k=m，則G恰 好是CD的生成矩陣。由文獻(xiàn)[13]，可得以下結(jié)論。

引理1[13]CD和CD ∩的維數(shù)分別等于Rank(G) , R ank(G)?Rank(GGT)。

推論1[13]CD是LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)Rank(GT)=Rank(GGT)。CD是 自正交碼當(dāng)且僅當(dāng)GGT=0。

3 主要結(jié)果

設(shè)m和t是兩個(gè)任意正整數(shù)且1≤t ≤m ?1，設(shè)Dt表 示上重量為t且第1個(gè)非0位上的數(shù)為1 的向量集合。設(shè)D≤t是上重量小于等于t且第1個(gè)非0位上的數(shù)為1的向量集合。定義

其中，1m是上分量全為1的向量。下文通過以上4個(gè)集合，構(gòu)造LCD碼和自正交碼。

3.1 定義集為D t 的3元線性碼

引理2設(shè)1≤t ≤m ?1， 則R ank(Gt)=m。

證明當(dāng)t=1 時(shí)，Gt=Em，其中Em表示m階單位矩陣，顯然 R ank(Gt)=m。

當(dāng)t ≥2 時(shí)，則Gt中一定包含m列線性無關(guān)的向量

因此R ank(Gt)=m。 證畢

引 理3設(shè) 1≤t ≤m ?1 ,M=(mij)m×m=Gt，則

(1) 當(dāng)t=1 時(shí)，M=Em， 其中Em表 示m階單位矩陣。

證明(1) 當(dāng)t=1時(shí)，結(jié)論顯然正確。

情形1第1個(gè)部分不出現(xiàn)非0元，第2個(gè)部分不出現(xiàn)非0元，則第3個(gè)部分必須出現(xiàn)t?2個(gè)非0元，因此情形1在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形2第1個(gè)部分出現(xiàn)s≥1個(gè)非0元且這部分第1個(gè)非0元為1，則第2個(gè)部分不出現(xiàn)非0元，則第3個(gè)部分必須出現(xiàn)t ?s ?2個(gè)非0元。因此情形2在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形3第1個(gè)部分不出現(xiàn)非0元，第2個(gè)部分出現(xiàn)k≥1個(gè) 非0元，則第3個(gè)部分必須出現(xiàn)t?k ?2個(gè)非0元。因此情形3在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形4第1個(gè)部分出現(xiàn)s≥1個(gè)非0元且這部分第1個(gè)非0元為1，第2個(gè)部分出現(xiàn)k≥1個(gè)非0元，則第3個(gè)部分必須出現(xiàn)t ?s ?k ?2個(gè)非0元。因此情形5在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形1第1個(gè)部分不出現(xiàn)非0元，則第2個(gè)部分必須出現(xiàn)t?1個(gè) 非0元。因此情形1在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形2第1個(gè)部分出現(xiàn)s ≥1個(gè)非0元，則第2部分必須出現(xiàn)t ?s ?1個(gè)非0元。因此情形2在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

情形3第1個(gè)部分出現(xiàn)s≥1個(gè)非0元且這部分第1個(gè)非0元為1，則第2個(gè)部分必須出現(xiàn)t?s ?1個(gè)非0元。因此情形3在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計(jì)

在Gt中( 10)出 現(xiàn)的情況有情形1、情形2。在Gt中(01)出 現(xiàn)的情況有情形1、情形3。在Gt中( 02)出現(xiàn)的 情 況 有 情 形3。則δ10=h1+h2,δ01=h1+h3,δ02=h3，又 因 為h2=2h3，所 以δ10=δ01+δ02。所以c1和cj中的非0數(shù)目都是相等

綜上所述，引理得證。

根據(jù)引理3，有如下結(jié)論。

引理4設(shè)m≥3且 2≤t ≤m ?1，則

命題1設(shè)m≥3且 2≤t ≤m ?1，則

?m。 因此，的維數(shù)達(dá)到最大值。由文獻(xiàn)[17]中的定義5.1.1，對(duì)于給定的碼長和最小距離的線性碼，如果其維數(shù)達(dá)到最大值，則稱該碼為最優(yōu)碼。因此，是最優(yōu)碼。

一個(gè)3元[ 6,3]線 性碼。經(jīng)MAGMA計(jì)算，CDt的最小距離為3，則碼CDt是一個(gè)3元[ 6,3,3]線性碼。由定理2，碼是一個(gè)3元[ 6,3,3]LCD最優(yōu)碼。

例2 當(dāng)m=4和t=2時(shí) ，nt=12且

由 定 理1，碼CDt是 一 個(gè)3 元[ 12,4]線 性 碼。經(jīng)MAGMA計(jì)算，CDt的最小距離為6，則碼CDt是一個(gè)3元[ 12,4,6] 線 性碼。由定理2，碼是一個(gè)3元[12,8,3]自正交最優(yōu)碼。

3.2 定義集為 Dt的 3元線性碼

引 理5設(shè)m ≥2 且1≤t ≤m ?1 ，則Rank()=m。

由引理3，可得

由引理1和引理5，得到

因此，本文得到以下結(jié)論。

(2)CDt不可能是自正交碼。

由定理2與定理3，類似可得如下結(jié)論。

3.3 定義集為D ≤t 的3元線性碼

由引理3

其中，mii=P(m ?1，t ?1),mij= 0,i?=j。 因此

因此，如下結(jié)論成立。

與定理2和定理4，類似可得如下結(jié)論。

例5若m=4和t=2，則

由定理5，碼CD≤t是一個(gè)3元[ 16,4]線 性碼。經(jīng)MAGMA計(jì)算，CD≤t的最小距離為7，則碼CD≤t是一個(gè)3元[16,4,7] 線 性碼。由定理6，碼是一個(gè)3元[ 16,12,3]LCD最優(yōu)碼。

3.4 定義集為D ≤t∪{1m}的3元線性碼

即mii=P(m ?1,t ?1) + 1。mij=1,i?=j。

由引理3因此，可以得到以下結(jié)論：

(1)CD≤t是 LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)P(m ?1,t ?1)≡1(mod3) 且m ?≡2(mod3)或P(m ?1,t ?1)≡2(mod3)且m ?≡1(mod3)。

(2)CD≤t不可能是自正交碼。

與定理2和定理5類似，可得如下結(jié)論。

4 比較

5 結(jié)束語

本文研究了3元LCD碼和自正交碼的構(gòu)造。根據(jù)有限域Fq上線性碼是LCD碼和自正交碼的充要條件，通過選擇了4類合適的定義集構(gòu)造出3元LCD碼和自正交碼，接著研究了這4類線性碼的對(duì)偶碼，得到一些3元最優(yōu)碼。下一步研究的問題是通過選擇合適的定義集構(gòu)造一般域上的自正交碼。