吳守尊，張小勇

(國(guó)網(wǎng)平?jīng)龉╇姽?，甘肅 平?jīng)?744000)

0 引 言

齒輪傳動(dòng)是兩個(gè)相互嚙合的齒輪傳遞力和運(yùn)動(dòng)的一種傳動(dòng)方式，具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)且精確、傳動(dòng)效率高以及使用壽命長(zhǎng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，在大型發(fā)電設(shè)備、水泥機(jī)械、軋鋼設(shè)備、汽車、飛機(jī)、輪船以及航天航空等多個(gè)領(lǐng)域廣泛使用[1-2]。 齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中使用最廣泛的方式之一，也是其中的核心元件，一旦出現(xiàn)故障將導(dǎo)致設(shè)備的停工檢修，造成巨大的產(chǎn)能損失。 如風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中齒輪失效導(dǎo)致的故障問(wèn)題高達(dá)60%[3]，因此對(duì)齒輪損傷、失效以及壽命的研究是提高設(shè)備工作效率和使用安全性的關(guān)鍵問(wèn)題。

不同工作條件下齒輪發(fā)生失效的原因不同，主要失效形式分為齒面點(diǎn)蝕、齒面磨損、齒面塑性變形和齒根斷裂，多種失效形式也可能同時(shí)發(fā)生[4]。 大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，齒根斷裂是導(dǎo)致齒輪副失效的最常見形式，52%以上齒輪都會(huì)發(fā)生齒根斷裂[5]。 常見的齒根斷裂形式有疲勞斷裂和過(guò)載折斷兩種，而齒根的疲勞斷裂占據(jù)三分之二以上。 因此對(duì)齒根裂紋的擴(kuò)展和齒輪疲勞壽命的計(jì)算十分重要。 筆者將采用應(yīng)力分析和數(shù)值建模的方法對(duì)齒根彎曲強(qiáng)度以及疲勞裂紋的萌生、擴(kuò)展和斷裂進(jìn)行理論研究分析，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬對(duì)齒輪的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)。 目的是為齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度及壽命的相關(guān)研究提供參考坐標(biāo)。

1 齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算

齒輪主要失效方法是齒根的疲勞斷裂，因此對(duì)齒輪輪齒的彎曲應(yīng)力分析是齒輪設(shè)計(jì)以及安全可靠性分析中必不可缺的。 經(jīng)驗(yàn)表明齒輪輪齒所受應(yīng)力在齒根處發(fā)生應(yīng)力集中，從而齒根是輪齒彎曲疲勞強(qiáng)度的薄弱處。 計(jì)算齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度時(shí)，通常將輪齒等效為一個(gè)懸臂梁，而齒根的危險(xiǎn)界面采用30°切線法來(lái)確定[6]，根據(jù)圖1 的受力分析計(jì)算輪齒的彎曲應(yīng)力σF，如式(1):

圖1 30 °切線法確定齒根危險(xiǎn)界面示意圖

式中:K是載荷因數(shù)；T1是傳遞的轉(zhuǎn)矩；B、d1和m分別是齒輪的寬度、分度圓直徑和模數(shù)；YFa、YSa、Y∈分別是是齒形系數(shù)、應(yīng)力修正系數(shù)和重合度系數(shù)。

對(duì)于齒輪來(lái)說(shuō)，其分度圓上的齒厚h與齒高l的比值約為0.7，這一數(shù)值大于工程計(jì)算中可等效為懸臂梁的臨界值，這種情況下齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度近似計(jì)算將產(chǎn)生不可避免的誤差。 通過(guò)有限元的方法可以對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行修正，研究表明，采用有限元計(jì)算的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的精確度比傳統(tǒng)計(jì)算方法提高了10%以上[7]。

2 齒根彎曲疲勞裂紋擴(kuò)展

齒輪工作時(shí)，輪齒在載荷的作用下受彎曲應(yīng)力的作用，且齒根處應(yīng)力最大。 齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，輪齒從開始嚙合到嚙合結(jié)束再到重新嚙合的過(guò)程，某一點(diǎn)處的載荷不斷重復(fù)循環(huán)。 在交變應(yīng)力的反復(fù)作用下，齒根處將發(fā)生疲勞裂紋的萌生、擴(kuò)展直至齒根斷裂[8]。對(duì)齒輪疲勞裂紋的研究和分析是研究齒輪疲勞斷裂的重要內(nèi)容。

2.1 裂紋類型

斷裂力學(xué)中，根據(jù)裂紋形成的幾何特征和受力分析將裂紋分為如圖2 所示三種[9-10]。

圖2 3 種類型裂紋的受力情況及幾何示意圖

Ⅰ型:張開型裂紋是受到垂直于裂紋面的拉應(yīng)力的作用，使裂紋兩側(cè)發(fā)生分離并形成一定的角度而形成的。

Ⅱ型:滑開型裂紋是受到對(duì)平行于裂紋面且垂直于裂紋源前端的剪切應(yīng)力的作用，使裂紋面兩側(cè)發(fā)生相對(duì)滑移從而形成的。

Ⅲ型:撕開型裂紋是受到平行于裂紋面、平行于裂紋前端的切應(yīng)力作用，導(dǎo)致裂紋面兩側(cè)發(fā)生沿切應(yīng)力方向的相對(duì)滑動(dòng)而形成的。

直齒圓柱齒輪在嚙合過(guò)程中受到的力可分解為垂直于裂紋表面的拉應(yīng)力和垂直于裂紋前端切應(yīng)力。因此，齒輪嚙合過(guò)程中張開型裂紋和滑開型裂紋都可能發(fā)生。 實(shí)驗(yàn)研究和模擬仿真結(jié)果表明:直齒圓柱齒輪的裂紋主要是張開型裂紋，其次是滑開型裂紋[11]，即為Ⅰ型裂紋和Ⅱ型裂紋的復(fù)合型裂紋。

2.2 裂紋尖端的應(yīng)力及強(qiáng)度因子計(jì)算

根據(jù)彈性斷裂力學(xué)，裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)如式(2):

式中:σij(r，θ)表示裂紋的極坐標(biāo)，其中r和θ分別表示半徑和角度；KⅠ、KⅡ、KⅢ分別代表張開型應(yīng)力強(qiáng)度因子、滑開型應(yīng)力輕度因子和撕開型強(qiáng)度因子；fij(θ)是關(guān)于角度的函數(shù)。

對(duì)于直齒圓柱齒輪而言，裂紋是以Ⅰ型裂紋為主的Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋，所以KⅢ的值取0。 齒根處裂紋尖端的應(yīng)力如式(3)、(4)。 研究表明，裂紋尖端的角度與應(yīng)力場(chǎng)附近的強(qiáng)度因子有關(guān)，如式(5)[12]。

2.3 基于Paris 理論的裂紋擴(kuò)展過(guò)程

根據(jù)Paris 理論將疲勞裂紋的擴(kuò)展過(guò)程分為裂紋萌生階段、裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段和裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段[13]，如圖3 所示。

圖3 疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程

第1 階段:裂紋萌生階段，齒輪在連續(xù)的交變應(yīng)力作用下，即使應(yīng)力幅值沒有達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度，也能使齒輪材料在性能較差、組織有缺陷的表面發(fā)生滑移或塑性變形，從而形成微裂紋源，此時(shí)裂紋擴(kuò)展較慢。

第2 階段:裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段，形成的微裂紋源在交變應(yīng)力的作用下將使裂紋沿某一路徑繼續(xù)擴(kuò)展。該階段裂紋尺寸還較小，裂紋擴(kuò)展緩慢，此過(guò)程形成的裂紋不足以嚴(yán)重影響齒輪的正常工作和機(jī)械運(yùn)行，不會(huì)發(fā)生疲勞破壞。

第3 階段:裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段，裂紋繼續(xù)擴(kuò)展到齒輪達(dá)到臨界值時(shí)，齒輪強(qiáng)度降低，使其不足以支撐工作載荷，裂紋快速擴(kuò)展到整個(gè)齒根，齒根發(fā)生斷裂。

研究表明，裂紋的擴(kuò)展速度與裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子有關(guān)，Paris 通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)得到了裂紋擴(kuò)展速度與裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系，如式(6)[14]:

式中:da/dN是裂紋擴(kuò)展速度；C、m是與齒輪材料有關(guān)的常數(shù)，可通過(guò)查閱手冊(cè)獲得。 根據(jù)裂紋擴(kuò)展速度大小將疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程分為了3 個(gè)階段，第1 階段擴(kuò)展速度接近于0(da/dN＜10～10 m/c)，第2 階段裂紋擴(kuò)展速度一般為10-9～10-5m/c，裂紋擴(kuò)展速度超過(guò)這一范圍即達(dá)到了第3 階段[15]。

3 疲勞壽命計(jì)算理論與方法

齒輪疲勞失效將嚴(yán)重影響設(shè)備的運(yùn)行，對(duì)工業(yè)生產(chǎn)效益具有重大影響。 對(duì)齒輪使用壽命的研究具有重要價(jià)值。 齒輪的使用壽命通常指齒輪的疲勞壽命，即指齒輪在發(fā)生疲勞失效前在一定的交變應(yīng)力下所經(jīng)歷的作用次數(shù)[16]。

3.1 計(jì)算理論

齒輪疲勞壽命是裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展前的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，因此齒輪疲勞壽命的計(jì)算可以分為疲勞裂紋萌生壽命和裂紋擴(kuò)展壽命的計(jì)算兩部分[17]。

3.1.1 疲勞裂紋萌生壽命

疲勞裂紋萌生壽命指零件出現(xiàn)一個(gè)宏觀裂紋所經(jīng)歷的交變應(yīng)力次數(shù)，用Nf表示。 對(duì)于齒輪而言，疲勞裂紋的萌生速率與應(yīng)力集中的齒根處的應(yīng)變、應(yīng)力密切相關(guān)。 研究表明塑性應(yīng)變與載荷循環(huán)次數(shù)的對(duì)數(shù)呈線性關(guān)系，由此用來(lái)研究裂紋的萌生壽命。 疲勞裂紋萌生壽命與應(yīng)變具有如式(7)的關(guān)系，而零件的應(yīng)變可通過(guò)式(8)進(jìn)行計(jì)算:

式中:E是材料的彈性模量；σf'、b是材料的疲勞系數(shù)和疲勞指數(shù)；εf'、c是材料的疲勞延性系數(shù)和疲勞延性指數(shù)；n'表示材料循環(huán)應(yīng)變發(fā)生硬化的指數(shù)，以上與材料屬性相關(guān)的參數(shù)均可通查閱書目及資料獲得。

3.1.2 裂紋擴(kuò)展壽命

裂紋擴(kuò)展壽命Np用于判斷零件是否達(dá)到損傷容限，并使用極限進(jìn)行估算。 基本思路是通過(guò)斷裂力學(xué)理論和試驗(yàn)的方法研究初始裂紋在交變應(yīng)力下的裂紋擴(kuò)展特性，齒輪材料內(nèi)預(yù)制裂紋達(dá)到臨界尺寸時(shí)經(jīng)歷的交變應(yīng)力循環(huán)次數(shù)即為零件的裂紋擴(kuò)展壽命[18]。 而裂紋擴(kuò)展速度da/dN與零件內(nèi)裂紋的尺寸、形狀和位置相關(guān)，可通過(guò)積分求解得到裂紋擴(kuò)展壽命，如式(9):

式中:a0、ac分別表示零件內(nèi)裂紋的初始長(zhǎng)度和臨界長(zhǎng)度；A和m是由實(shí)驗(yàn)決定的常數(shù)。

3.2 雨流計(jì)數(shù)法

從式(7)～(9)中可以看出，傳動(dòng)過(guò)程中的應(yīng)力集中、平均應(yīng)力等是影響疲勞壽命的重要因素。 如圖4 所示，實(shí)際齒輪傳動(dòng)過(guò)程中齒輪的載荷譜很復(fù)雜，只有將較大的應(yīng)力循環(huán)分解成單個(gè)較小的應(yīng)力循環(huán)，才能減小對(duì)疲勞損傷的預(yù)算偏差。 為了保證載荷譜中每個(gè)循環(huán)都被準(zhǔn)確記錄，通常采用雨流計(jì)數(shù)法對(duì)載荷譜進(jìn)行處理。

圖4 齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的載荷譜

將力-時(shí)間曲線旋轉(zhuǎn)90°，以某一個(gè)絕對(duì)值最大的峰或谷作為起點(diǎn)，讓雨點(diǎn)沿峰或谷的內(nèi)測(cè)往下流并在下一個(gè)峰或谷處滴落，直到遇到比起始點(diǎn)更大的峰或谷時(shí)停止滴落。 取下一個(gè)峰或谷繼續(xù)進(jìn)行同樣的操作，當(dāng)遇到之前的雨滴時(shí)計(jì)數(shù)立即停止，直至取出所有的循環(huán)，并記錄每個(gè)循環(huán)的應(yīng)力幅值和均值，通過(guò)該方法可以獲得疲勞載荷的特性[19]。

4 計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算

傳統(tǒng)計(jì)算方法中往往需要一些近似處理來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算，但有些近似處理是不合理的，這種處理會(huì)使預(yù)測(cè)與實(shí)際結(jié)果大相徑庭，如齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算過(guò)程中的將輪齒等效為懸臂梁的處理產(chǎn)生的偏差是不可忽視的。 此外，傳統(tǒng)計(jì)算方法過(guò)程繁瑣，迭代過(guò)程容易出錯(cuò)。 在工程問(wèn)題求解中，最常用的方法是有限元分析。 有限元分析是一種有效的分析手段，它可以將整個(gè)目標(biāo)劃分成若干個(gè)作用單元，通過(guò)對(duì)有限個(gè)作用單元的數(shù)學(xué)計(jì)算和物理模擬來(lái)無(wú)限逼近實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果。 如使用CAD、Pro/E、SolidWorks 等軟件建模，再導(dǎo)入到ABAQUS、ANSYS 和MSC 等有限元軟件，通過(guò)調(diào)試參數(shù)模擬實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)而對(duì)齒輪的疲勞強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算[20]， 對(duì)齒輪傳動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析可以有效模擬齒輪嚙合過(guò)程中彎曲應(yīng)力的分布情況，并對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行模擬，對(duì)疲勞壽命進(jìn)行精確的預(yù)測(cè)。

賀藝等[21]采用ANSYS 對(duì)漸開線圓柱齒輪嚙合過(guò)程中的彎曲強(qiáng)度進(jìn)行了計(jì)算，獲得了彎曲應(yīng)力在輪齒的分布規(guī)律和如圖5 所示的齒根處的最大彎曲應(yīng)力值。

圖5 齒輪應(yīng)力分布圖

對(duì)風(fēng)機(jī)發(fā)電齒輪組的齒根處裂紋擴(kuò)展進(jìn)行有限元模擬，獲得裂紋長(zhǎng)度和循環(huán)次數(shù)的關(guān)系如圖6 所示。

圖6 裂紋長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)關(guān)系圖

圖6 中裂紋擴(kuò)展的各個(gè)階段是十分明顯的，在經(jīng)歷1. 41×106次循環(huán)后裂紋擴(kuò)展進(jìn)入失穩(wěn)階段，即疲勞失效。 2.5 MW 風(fēng)電三級(jí)齒輪箱齒輪裂紋和模擬結(jié)果對(duì)比如圖7 所示，裂紋擴(kuò)展路徑和深度一致性較好，裂紋曲率的微小差別是由于溫度、變載及磨損等因素造成的[12]。

圖7 實(shí)際疲勞裂紋擴(kuò)展與模擬結(jié)果對(duì)比

以Von Mises 應(yīng)力作為疲勞壽命的有限元分析計(jì)算參量大大提高了齒輪疲勞強(qiáng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)的計(jì)算精度。 如表1 所列，計(jì)算壽命和試驗(yàn)壽命的比值在0.3～1.5 之間[22]，完全滿足工程使用需求。

表1 齒輪彎曲疲勞計(jì)算與試驗(yàn)壽命

5 結(jié) 語(yǔ)

在一定程度上，高精密齒輪的生產(chǎn)水平的突破是我們從制造大國(guó)到制造強(qiáng)國(guó)的關(guān)鍵影響因素之一。文中闡述了齒輪受載過(guò)程中的彎曲疲勞應(yīng)力分析、疲勞裂紋的萌生、擴(kuò)展和斷裂及疲勞壽命的計(jì)算預(yù)測(cè)和計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，結(jié)果顯示預(yù)測(cè)計(jì)算和有限元分析結(jié)果與實(shí)際結(jié)果具有較好的一致性，證實(shí)了齒輪齒根疲勞壽命預(yù)測(cè)的重要價(jià)值。 希望通過(guò)以上工作達(dá)到保證齒輪正常工作、定期修檢的目的，從而實(shí)現(xiàn)工作效率和工業(yè)產(chǎn)值的提高。