廣西南寧市第三中學(xué)初中部青秀校區(qū)（530029）廖小舟

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)方式也隨之發(fā)生了新變化，教學(xué)方法更加多樣化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，現(xiàn)代信息技術(shù)越來越得到重視，逐漸成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的強有力的工具。幾何畫板是一種強有力的可視化動態(tài)軟件，它能有效促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，對初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可有效應(yīng)用幾何畫板輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)多種有助于學(xué)生思考、觀察的問題情境，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，活躍學(xué)生的思維，提升學(xué)生的動手操作能力。本文主要討論幾何畫板在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)圖像的教學(xué)和數(shù)學(xué)問題解決中的作用及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、幾何畫板在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的作用

一般來說，數(shù)學(xué)概念的形成是一個抽象的過程，傳統(tǒng)的教學(xué)方法不能將這個抽象的過程具體化和形象化，學(xué)生無法深入理解概念，更不能很好地把握概念的本質(zhì)。而幾何畫板可以將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動態(tài)，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，能夠清晰、直觀地“展示”概念的抽象過程。借助幾何畫板，學(xué)生可以進行觀察、思考、比較和分析，增強了學(xué)生對概念本質(zhì)的理解。

例如，對于“三角形的中位線”這一內(nèi)容，教材大多是直接給出相關(guān)的概念，使得學(xué)生學(xué)習(xí)和理解概念時產(chǎn)生了不少疑惑。借助幾何畫板，可以使教學(xué)過程更加形象。如圖1，當(dāng)點P在BC邊上運動時，線段AP的中點Q的運動軌跡是怎樣的呢？借助幾何畫板的動畫功能，學(xué)生可以直觀地看到動點Q在線段MN上來回運動，線段AP的所有中點軌跡的點正好形成三角形的中位線MN。通過觀察，學(xué)生很容易理解中位線的概念，而且對中位線概念的形成也有深刻的認(rèn)識。

圖1

二、幾何畫板在展示知識間聯(lián)系時的作用

（一）可以準(zhǔn)確展示不同概念間的聯(lián)系

例如對于圓的切線，在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生往往只是停留在對教材概念“直線與圓有且只有一個交點時，該直線即為圓的切線”的文字理解上，而若應(yīng)用幾何畫板的動態(tài)功能來展示圓的割線到圓的切線的變化，則能很好地揭示圓的割線與切線之間的區(qū)別與聯(lián)系。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的切線性質(zhì)與判定時，就會更加清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且學(xué)生學(xué)習(xí)其他曲線的切線時也都可以通過類似的關(guān)系去理解。

（二）能形象展示一些性質(zhì)定理間的聯(lián)系

例如，在探索等腰三角形“三線合一”這一性質(zhì)時，借助幾何畫板的移動功能，不僅能讓學(xué)生充分認(rèn)識到等腰三角形的特殊性，還豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識。如圖2，在△ABC中，BA=BD，點C可以在AD延長線上移動，AC邊上的高BP、中線BN和∠ABC的平分線BM是三條不同的線段，當(dāng)點C在靠近點D運動時，△ABC由不等邊三角形逐漸向等腰三角形轉(zhuǎn)化，中線BN及角平分線BM隨著點C的移動也不斷向高BP“靠近”，直至與高BP重合。這樣的動態(tài)過程能更好地幫助學(xué)生理解等腰三角形“三線合一”這一特殊性質(zhì)的由來。

圖2

三、幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）幾何畫板在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“多個絕對值之和的最值問題”是初中數(shù)學(xué)比較難的內(nèi)容，學(xué)生感到非常抽象，難以入手。應(yīng)用幾何畫板的度量功能，能幫助學(xué)生直觀、形象地進行求解。教師應(yīng)進一步啟發(fā)學(xué)生分析、探索這類問題的一般求解方法，從而使學(xué)生認(rèn)識到這類問題的本質(zhì)。

［例1］如圖3，一條街道旁有A，B，C，D，E五幢居民樓。某大桶水經(jīng)銷商統(tǒng)計各幢樓內(nèi)居民每周所需大桶水的數(shù)量如下表。

圖3

該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點。若要使這五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，那么可以選擇的地點應(yīng)在什么地方？

經(jīng)討論，學(xué)生給出了如下方案。

設(shè)AB=a，BC=b，CD=c，DE=d。每戶居民每次取一桶水。

（1）若以點A為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d。

（2）若以點B為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d。

（3）若以點C為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d。

（4）若以點D為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d。

（5）若以點E為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d。

故以點D為取水點，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

這時，筆者再提出問題：如果將“該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”改為“該經(jīng)銷商計劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”，那么可以選擇的地點在什么地方？

一石激起千層浪，學(xué)生給出了各種各樣的答案，而且爭論激烈，互不相讓。筆者告訴學(xué)生，可以應(yīng)用幾何畫板的度量功能和計算功能來探究這個問題。

如圖4，在該直線上任取一個點P，選擇度量距離，在繪圖區(qū)顯示出度量出來的長度，可以得到PA，PB，PC，PD，PE的長度。拖動點P，隨著點P位置的變化，PA，PB，PC，PD，PE的值和38PA+55PB+50PC+72PD+85PE的值都在改變。當(dāng)點P與點D重合時，38PA+55PB+50PC+72PD+85PE的值最小。因此，如果將“該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”改為“該經(jīng)銷商計劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”，則在D處設(shè)立大桶水供應(yīng)點，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

圖4

這時，有學(xué)生提出問題：如果將某幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改動一下，結(jié)論還一樣嗎？

可重新編輯該運算，如果將E幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改為22桶，即PE前的數(shù)量由85改為22，拖動點P，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點P與點C重合時，38PA+55PB+50PC+72PD+22PE的值最小。

學(xué)生一下子興奮起來，躍躍欲試。于是，筆者讓學(xué)生自由修改其中的數(shù)據(jù)，然后改變點P的位置，告訴大家所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

當(dāng)一個學(xué)生將PE前的數(shù)量85改為71后，學(xué)生沸騰了，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點P位于點C和點D之間（含點C，D）時，38PA+55PB+50PC+72PD+71PE的值保持不變，而且最小。這時，學(xué)生充滿了好奇，他們很想知道到底是怎么一回事。

于是，筆者便從|x?3 |+|x?5 |的最小值談起。由絕對值的幾何意義知，|x?3 |和|x?5 |在數(shù)軸上分別表示x到3和x到5的距離。在x軸上任取一點x作為動點，仿照上一環(huán)節(jié)中的步驟，即可研究|x?3|+|x?5 |的最小值。仿照|x?3 |+|x?5|最小值的研究方法，再探究|x?3 |+|x?5 |+|x?2|，|x?3 |+|x?5 |+|x?2 |+|x+1|，|x?3 |+|x?5 |+|x?2 |+|x+1|+|x+7 |的最小值。結(jié)合數(shù)軸、絕對值的幾何意義等相關(guān)知識，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律。

若a1≤a2≤a3≤…≤an?1≤an，對于|x?a1|+|x?a2|+|x?a3|+…+|x?an?1|+|x?an|。

（1）若n為奇數(shù)，則當(dāng)x=an+1時，原式有最小值。

（2）若n為偶數(shù)，則當(dāng)an≤x≤an+1時，原式有最小值。

至此，學(xué)生恍然大悟。原來例1 中的街道相當(dāng)于數(shù)軸，A，B，C，D，E五幢樓則是數(shù)軸上的點a1，a2，a3，a4，a5。要計算設(shè)立大桶水供應(yīng)點的位置，使得五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，則相當(dāng)于在數(shù)軸上尋找點x，使38|x?a1|+55|x?a2|+50|x?a3|+72|x?a4|+85|x?a5|的值最小。這樣，此類問題的本質(zhì)得到了很好的揭示。

（二）幾何畫板在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板為學(xué)生自主探索和自主學(xué)習(xí)提供了一個很好的平臺，它是學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)的強有力的工具。教師應(yīng)教會學(xué)生應(yīng)用幾何畫板畫圖分析、探索思考、合作交流，讓學(xué)生親歷知識的產(chǎn)生與形成過程，使“知識”發(fā)現(xiàn)、“方法”習(xí)得與“態(tài)度”形成達(dá)到高度統(tǒng)一，從而實現(xiàn)知識的自主建構(gòu)。

近年來，一類以“鏈?zhǔn)健眴栴}形式出現(xiàn)的幾何探究題可謂精彩紛呈，命題者充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在一定的情境中完成探究，使學(xué)生的才能得到充分的展示，因此此類探究題成為中考數(shù)學(xué)的一大亮點。這類探究題往往缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明。根據(jù)其特征大致可分為條件探究題、結(jié)論探究題、規(guī)律探究題和存在探究題等。探究題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度。

［例2］如圖5，點A為等邊三角形BCE內(nèi)任一點，以AB為一邊作等邊三角形ABD，連接DE，AC，則圖中哪兩個三角形全等？請說明理由。

圖5

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)并證明△ABC≌△DBE，然后以AC為一邊作等邊三角形ACF，連接EF（如圖6），同理可證△ABC≌△FEC。這時，教師提出問題，并進行師生交流。

圖6

師：除全等三角形外，你還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？你能說明其中的道理嗎？

生1：四邊形AFED是平行四邊形。易得△ABC≌△DBE和△ABC≌△FEC，所以△DBE≌△FEC，所以EF=DB=AD，DE=FC=AF，用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可證。

師：拖動點A，改變它在△BCE中的位置，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：四邊形AFED還有可能是矩形、菱形、正方形。

師：當(dāng)△ABC滿足什么條件時，會出現(xiàn)上述情形？

生3：只要△ABC滿足∠BAC=150°，四邊形AFED就是矩形。

師：你是怎么探索的？

生4：因為四邊形AFED是平行四邊形，所以要使四邊形AFED是矩形，只要有一個角等于90°或?qū)蔷€相等即可。而點A是△ABC與四邊形AFED的公共點，分析與點A相關(guān)的元素。四邊形AFED與△ABC相關(guān)的角是∠DAF，只要使∠DAF=90°即可，△ABC只要滿足∠BAC=360° ?90° ?2 ×60°=150°即可。

很快，學(xué)生的興趣被激發(fā)了，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要使四邊形AFED是正方形，首先要保證它為矩形，即△ABC滿足∠BAC=150°，而這樣的點A有無數(shù)多個，同時還應(yīng)滿足“鄰邊相等”，而四邊形AFED與△ABC相關(guān)的鄰邊為AD，AF，所以只要AD=AF即可，而AD=AB，AF=AC，需要再補充AB=AC這個條件，所以當(dāng)△ABC滿足AB=AC且∠BAC=150°時，四邊形AFED是正方形。

在探索當(dāng)△ABC滿足什么條件，四邊形AFED是菱形時，學(xué)生首先進行了分析和猜想：在上面正方形的探索中，當(dāng)△ABC滿足AB=AC時，AF=AC一定成立，這時四邊形AFED是菱形。

生5：在操作幾何畫板尋找滿足條件的點A的位置時，總是很難精準(zhǔn)地找到相應(yīng)的位置，不知有什么辦法？

生6：因為點A滿足AB=AC，且點A在△BCE內(nèi)，所以點A的軌跡為線段BC的中垂線在△BCE內(nèi)的那一部分，那么作線段BC的中垂線EM，在線段EM（不含端點E）上的任何一點均可使四邊形AFED是菱形。

由于學(xué)生的知識限制，對于使四邊形AFED是矩形及正方體時，找點的精確位置需要進行詳細(xì)的講解。因為△ABC滿足∠BAC=150°，而“同弧所對的圓周角相等”，所以只要找到一個特殊點N，使∠BNC=150°，劣弧BNC即為所求點A的軌跡，將點A與劣弧BNC合并即可。

通過上述分析與操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點A的運動引起△ABC的形狀發(fā)生變化，進而使得四邊形AFED變成不同的形狀。這樣的課堂生動形象而又有趣，減少了教師畫圖的時間，提高了教學(xué)效率，激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的探究熱情。

綜上，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效；要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意投入到探索性的數(shù)學(xué)活動中去。數(shù)學(xué)課程改革要反映信息技術(shù)所引發(fā)的變革，就必須將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與信息技術(shù)進行整合。幾何畫板在作圖的過程中動態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。利用幾何畫板可以按給定的數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系來制作圖形（或圖像、表格）。學(xué)生在通過觀察、類比和分析提出問題后，還可以借助幾何畫板驗證問題的真假，從而發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。

課堂教學(xué)魅力無窮、潛力巨大，結(jié)合信息技術(shù)，可使課堂教學(xué)精彩紛呈。幾何畫板具備強大的圖形生成功能，彌補了傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，大大提高了教學(xué)效率和教學(xué)效果，但課堂教學(xué)也不能由信息技術(shù)“牽”著走，教師應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容擇優(yōu)使用，不能太過依賴信息技術(shù)。信息技術(shù)的本質(zhì)是輔助教學(xué)，幾何畫板的使用應(yīng)以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生思考、提高學(xué)習(xí)效率為目的，讓學(xué)生學(xué)會主動探究，理解概念和結(jié)論，知其所以然。