封居強(qiáng)，孫亮東，蔡 峰，伍 龍，盧 俊

(1.淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽淮南 232038；2.安徽理工大學(xué)深部煤礦開采響應(yīng)與災(zāi)害防控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽淮南 232001；3.淮南市礦用電子技術(shù)研究所，安徽淮南 232002)

鋰離子電池以其長(zhǎng)壽命、高安全可靠性、高能量密度、低自放電率等優(yōu)點(diǎn)，成為電動(dòng)汽車的主要選擇，其性能狀態(tài)的好壞直接影響到電動(dòng)汽車是否能夠長(zhǎng)期正常穩(wěn)定運(yùn)行。因此，需要開發(fā)行之有效的電池管理系統(tǒng)(battery management system，BMS)，用于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)及診斷鋰離子電池的狀態(tài)。BMS 中最主要和最核心的研究?jī)?nèi)容就是精確估計(jì)電池的荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)，SOC表示在某一溫度下，存儲(chǔ)在電池內(nèi)可供設(shè)備使用的電量與滿電狀態(tài)下電池能夠存儲(chǔ)的總電量之間的百分比，是表征鋰電池剩余可用電量的一項(xiàng)重要指標(biāo)。研究早期，鋰電池一般使用在一些較為基礎(chǔ)的設(shè)備上，性能要求較低，所以使用的估算方法也相對(duì)簡(jiǎn)單，能大致滿足估算要求即可。常用的估算方法包括安時(shí)積分法[1]、內(nèi)阻分析法、開路電壓法[2]、放電實(shí)驗(yàn)法等。這些方法都是離線估算方法，考慮因素較為簡(jiǎn)單，累積誤差較大，估算精度也較低。

卡爾曼濾波算法(Kalman filter，KF)是目前使用最為廣泛的一種最優(yōu)的估計(jì)算法。該算法根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)變量的最優(yōu)值以及觀測(cè)變量真實(shí)值與估計(jì)值的差來(lái)估算當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)變量的估計(jì)值。但該算法要求系統(tǒng)必須是線性的，而電池系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，鋰電池開路電壓、內(nèi)阻、端電壓及荷電狀態(tài)等在電池工作條件下都呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性變化。為將KF 算法應(yīng)用于非線性領(lǐng)域，后發(fā)展出擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)算法[3]，將非線性系統(tǒng)線性化，在測(cè)量結(jié)果和估計(jì)結(jié)果附近進(jìn)行一階泰勒展開[4]，但估計(jì)結(jié)果會(huì)引起泰勒截?cái)嗾`差，高階項(xiàng)被忽視，有可能導(dǎo)致濾波發(fā)散；EKF 算法在每一次循環(huán)估算時(shí)都需要重復(fù)計(jì)算雅可比矩陣，極大增加了系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度[5]。

為了克服EKF 算法的上述缺點(diǎn)所帶來(lái)的一系列問題，將EKF 使用的非線性系統(tǒng)強(qiáng)制線性化的方式轉(zhuǎn)換為對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率密度分布的近似值，將無(wú)跡變換(unscented transform，UT)和卡爾曼濾波算法相結(jié)合，以無(wú)跡變換為基礎(chǔ)，采用合適的采樣策略來(lái)逼近狀態(tài)變量分布，這種算法稱為無(wú)跡卡爾曼濾波算法(unscented Kalman filter，UKF)[6]。UKF 可以有效地提高對(duì)非線性分布統(tǒng)計(jì)量的估算精度，但這很大程度上取決于電池模型的精度和系統(tǒng)噪聲的預(yù)定變量，系統(tǒng)噪聲的預(yù)定變量設(shè)置不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)誤差，甚至造成系統(tǒng)發(fā)散[7]。

基于以上研究，本文為更加準(zhǔn)確地表征鋰離子電池的動(dòng)態(tài)特性，建立改進(jìn)的PNGV 模型[8]，同時(shí)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，采用改進(jìn)的UKF 算法對(duì)鋰離子電池的SOC進(jìn)行估計(jì)，并采用兩個(gè)非線性變換來(lái)提高系統(tǒng)的精度[9]。改進(jìn)卡爾曼增益，增加自適應(yīng)動(dòng)態(tài)增益調(diào)節(jié)模塊[10]，解決了BMS 狀態(tài)突然變化時(shí)SOC值振蕩的問題。

1 等效電路模型的建立與參數(shù)辨識(shí)

1.1 電池模型的建立

鋰離子電池是具有復(fù)雜性噪聲特點(diǎn)的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，且其工作狀態(tài)受環(huán)境和負(fù)載工況影響較大，因此建立一個(gè)能夠準(zhǔn)確可靠地反應(yīng)鋰離子電池工作特性的模型十分重要[11]。目前，最常用模型有三類：依據(jù)電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)而建立的電化學(xué)模型、模擬人腦工作的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及使用電子元器件建立的等效電路模型[12]。電化學(xué)模型搭建相當(dāng)復(fù)雜[13]，幾乎沒辦法應(yīng)用到電動(dòng)汽車上；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[14]在樣本數(shù)據(jù)不夠的情況下估算誤差將會(huì)很大，并且算法的收斂性和穩(wěn)定性暫時(shí)還得不到保證；等效電路模型由理想元器件(電阻、電容、可控電源等)構(gòu)成，采用線性變參數(shù)方法模擬鋰離子電池非線性工作特性，精度往往相對(duì)較低，但簡(jiǎn)單而實(shí)用的模型結(jié)構(gòu)會(huì)縮短開發(fā)周期，降低開發(fā)成本。

等效電路包含很多種模型結(jié)構(gòu)，常見的包括Rint 模型、RC 模型、Thevenin 模型和PNGV 模型。其中Rint 模型電路參數(shù)簡(jiǎn)單，但不能反映電池的動(dòng)態(tài)特性；RC 模型彌補(bǔ)了Rint 模型的不足，但電路方程非常復(fù)雜，模型狀態(tài)方程的建立比較困難[15]；Thevenin 模型具有Rint 模型和RC 模型的優(yōu)點(diǎn)[16]，但該模型將電池的內(nèi)阻作為一個(gè)定值，不能代表電池電壓的穩(wěn)態(tài)變化，也不容易估計(jì)電池的運(yùn)行時(shí)間；PNGV 模型[17]彌補(bǔ)了Thevenin 模型相對(duì)簡(jiǎn)單、易于識(shí)別模型參數(shù)的缺點(diǎn)，但不能完全代表電池的松弛效應(yīng)，本文對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)另外一個(gè)平行RC 電路模擬了原始PNGV 模型中未表示的松弛效應(yīng)，使模型更能充分地滿足鋰離子電池在復(fù)雜工況下參數(shù)測(cè)量的要求。改進(jìn)后的PNGV 模型如圖1 所示。

圖1 中，E是理想電壓源，R0是歐姆電阻，RS和RL為極化電阻，CS和CL為極化電容，電池充放電電流以I為參數(shù)，UL為電池端電壓。其中RS和CS組成的并聯(lián)電路具有較小的時(shí)間常數(shù)，用來(lái)模擬電流突變時(shí)電壓快速變化的過(guò)程；用RL和CL組成的并聯(lián)電路模擬電流突然變化時(shí)電壓的快速變化，因此它們的時(shí)間常數(shù)比較大。

圖1 改進(jìn)的PNGV 模型

1.2 參數(shù)辨識(shí)

針對(duì)鋰離子電池在充放電過(guò)程中的內(nèi)阻差異，對(duì)選定的鋰離子電池進(jìn)行主要充電過(guò)程和主要放電過(guò)程的HPPC 測(cè)試[18]。主要放電過(guò)程的HPPC 測(cè)試步驟如下[19]：

步驟1：首先將鋰離子在標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境下進(jìn)行放電，靜置2 h后，以恒流恒壓將鋰離子電池充電至100%SOC。其中，充電電流設(shè)為1C(68 Ah)，充電電壓設(shè)為4.2 V，截止條件設(shè)為3.4 A。

步驟2：將鋰離子電池靜置12 h 后激活，測(cè)量并記錄電池兩端電壓值。

步驟3：在鋰電池上進(jìn)行電流脈沖測(cè)試。先以1C電流放電10 s，然后靜置40 s，再1C電流充電10 s，使電池恢復(fù)放電前的SOC值，完成一組脈沖充放電測(cè)試。

步驟4：以0.5C電流開始放電，放電12 min(剩余電池SOC90%)，然后靜置1 h，截止條件為3 V。

步驟5：重復(fù)步驟(3)和(4)，每次循環(huán)放電10%的容量，分別記錄SOC為0.9、0.8、0.7…0.1 時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)，為下一個(gè)參數(shù)識(shí)別做好準(zhǔn)備。

同樣的，改變上述步驟4，以0.5C電流開始充電，充電時(shí)間為12 min 并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這就是主充電過(guò)程的HPPC 測(cè)試過(guò)程。在HPPC 測(cè)試過(guò)程中，單組鋰離子電池電壓的變化如圖2 所示。

圖2 HPPC 測(cè)試中電壓曲線示意圖

由HPPC 測(cè)試步驟可以得出，電池在開始放電(t1-t2)和停止時(shí)(t3-t4)端電壓的突然變化是由歐姆內(nèi)阻引起的。因此，通過(guò)歐姆定律可以計(jì)算歐姆內(nèi)阻，如式(1)所示：

當(dāng)鋰離子電池處于HPPC 測(cè)試的脈沖放電階段時(shí)，將電流流動(dòng)的正方向設(shè)為Ib。根據(jù)圖1 中電壓和電流的參考方向，可以列出KCL 和KVL 方程，如式(2)所示：

式中：U1、U2分別為RS和CS與RL和CL組成的并聯(lián)電路的端電壓。電池在t1-t3期間持續(xù)放電10 s，其余時(shí)間保持靜置狀態(tài)。通過(guò)對(duì)兩個(gè)串聯(lián)的RC 電路進(jìn)行時(shí)域分析，得到RC 網(wǎng)絡(luò)的電壓如式(3)所示：

式中：t1為放電開始時(shí)間；t2為放電停止時(shí)間；t3為擱置停止時(shí)間；τS為RS和CS并聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)；τL為RL和CL并聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)。其中τS和τL的計(jì)算公式如式(4)所示：

鋰離子電池在放電時(shí)，極化電容CS與CL處于充電狀態(tài)，并聯(lián)連接的RC 電路電壓呈指數(shù)上升，電池從放電到靜置，電容CS和CL分別并聯(lián)電阻放電，指數(shù)下降模型中R 和C 的電壓值與電池的SOC有關(guān),利用MATLAB 對(duì)HPPC 測(cè)試數(shù)據(jù)曲線進(jìn)行擬合，再利用待定參數(shù)法即可計(jì)算出模型中RS、RL、CS、CL的值。取出圖2 中U4到U5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)HPPC 測(cè)試步驟，t2-t3期間，極化電容對(duì)極化電阻放電，是兩個(gè)RC 電路串聯(lián)的零輸入響應(yīng)，電池端電壓輸出方程如式(5)所示：

簡(jiǎn)化參數(shù)識(shí)別，如式(6)所示：

以f,a,b,c,d為待定參數(shù)，以式(6)為目標(biāo)方程進(jìn)行雙指數(shù)曲線擬合。根據(jù)雙指數(shù)曲線的擬合結(jié)果，通過(guò)比較式(5)和(6)，得到參數(shù)識(shí)別結(jié)果如式(7)所示：

2 SOC 估計(jì)算法

2.1 無(wú)跡卡爾曼濾波算法

非線性變換是UKF 算法的核心，其基本原理是用適當(dāng)?shù)牟蓸狱c(diǎn)分布來(lái)表征隨機(jī)變量的概率密度分布。結(jié)合鋰離子電池組改進(jìn)的PNGV 模型，以SOC為狀態(tài)方程的變量，開路電壓為觀測(cè)方程的變量，構(gòu)造了狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的表達(dá)式。經(jīng)過(guò)非線性函數(shù)變換得到Sigma 數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后通過(guò)加權(quán)得到變換后的均值和協(xié)方差，得到它們的加權(quán)因子。SOC估計(jì)的具體方法和步驟[20-21]如下：

(1)構(gòu)造Sigma 點(diǎn)集

(2)計(jì)算權(quán)重

(3)更新狀態(tài)變量

(4)更新狀態(tài)方差

(5)再次計(jì)算Sigma 數(shù)據(jù)點(diǎn)序列、更新觀測(cè)值

(6)計(jì)算均值和協(xié)方差

(7)計(jì)算增益矩陣

(8)狀態(tài)和誤差協(xié)方差更新

2.2 雙無(wú)跡變換卡爾曼濾波算法

為了提高UKF 算法估計(jì)SOC的精度和速度，本文通過(guò)兩個(gè)非線性變換對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)電壓進(jìn)行預(yù)測(cè)[22]，采用參數(shù)的動(dòng)態(tài)修正提高估計(jì)值收斂速度。改進(jìn)算法的計(jì)算過(guò)程示意圖如圖3 所示。

圖3 改進(jìn)算法的迭代流程

圖3 黑色方框中的內(nèi)容以及(1)、(2)…(8)為上文中UKF估計(jì)SOC的步驟；紅色橢圓圖中的非線性變換和動(dòng)態(tài)參數(shù)修正為本文改進(jìn)的部分。

通過(guò)非線性變換得到兩個(gè)Sigma 數(shù)據(jù)點(diǎn)序列的SOC值及其對(duì)應(yīng)的權(quán)值。然后通過(guò)狀態(tài)方程得到兩個(gè)Sigma 數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值，再加權(quán)求和處理得到單個(gè)SOC預(yù)測(cè)值。對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果再次進(jìn)行非線性變換，并將變換結(jié)果應(yīng)用到觀測(cè)方程中，以提高估計(jì)精度。

2.3 動(dòng)態(tài)參數(shù)修正

當(dāng)卡爾曼濾波進(jìn)行濾波估計(jì)時(shí)，如果系統(tǒng)的狀態(tài)突然發(fā)生變化，往往跟蹤真實(shí)狀態(tài)很慢，從而降低了估計(jì)精度。本文通過(guò)增加動(dòng)態(tài)參數(shù)修正模塊對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，使算法在估計(jì)過(guò)程中具有更好的跟蹤效果。

若工作電流變化滿足式(16)所示條件：

式中：ΔImax為當(dāng)前最大變化設(shè)定值。即當(dāng)工況電流發(fā)生跳變時(shí)，則改進(jìn)的卡爾曼增益和狀態(tài)估計(jì)測(cè)量值更新，如式(17)所示：

式中：γ為增益因子，其值可以大于1，從而加速算法估計(jì)過(guò)程中估計(jì)值的收斂速度。

為了增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將增益設(shè)置為動(dòng)態(tài)值，并根據(jù)電流的變化自動(dòng)調(diào)整。在工作條件下，當(dāng)電流變化較大時(shí)，可動(dòng)態(tài)調(diào)整增益為較大的值，使算法估計(jì)收斂速度增大。當(dāng)電流變化稍微平緩一點(diǎn)時(shí)，增益值會(huì)逐漸恢復(fù)到原來(lái)的值。然后更新動(dòng)態(tài)增益計(jì)算和狀態(tài)估計(jì)測(cè)量，如式(18)所示：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 模型驗(yàn)證

本文選用容量為68 Ah 的三元聚合物鋰離子電池進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試過(guò)程設(shè)置采樣率為0.1 s，采樣精度為±0.05%、電壓分辨率為0.1 mV、電流分辨率為0.1 mA。首先將主充電HPPC實(shí)驗(yàn)和主放電HPPC 實(shí)驗(yàn)的參數(shù)引入到改進(jìn)的PNGV 模型中，實(shí)驗(yàn)得到的終端電壓對(duì)比曲線如圖4～7 所示。

圖4 充電端電壓及電壓估計(jì)值

圖6 和圖7 所示的改進(jìn)PNGV 模型估計(jì)值能夠較好地估計(jì)和跟蹤充放電過(guò)程中的端電壓。圖6 和圖7 所示的主充電過(guò)程HPPC 實(shí)驗(yàn)的最大參數(shù)識(shí)別誤差小于0.015 V，主放電過(guò)程HPPC 實(shí)驗(yàn)的最大參數(shù)識(shí)別誤差小于0.01 V。產(chǎn)生誤差主要有三個(gè)原因：其一是采樣分辨率造成的0.1 mV 誤差；其二是采樣間隔0.1 s 期間，默認(rèn)模型的參數(shù)為不變值而造成的誤差；其三是模型精確度造成的估計(jì)誤差。其中前兩種原因可認(rèn)為量化誤差，對(duì)于電流平穩(wěn)時(shí)0.3 mV 的誤差影響較大，側(cè)面也反映了該模型的精確度，為SOC精準(zhǔn)估計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

圖5 放電端電壓及電壓估計(jì)值

圖6 充電端電壓估計(jì)誤差

圖7 放電端電壓估計(jì)誤差

3.2 混合放電比實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了混合放電比實(shí)驗(yàn)，更準(zhǔn)確地分析和描述鋰離子電池的工作特性。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，結(jié)合5 種不同放電電流倍數(shù)的變換器仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜變換器條件下SOC估計(jì)性能測(cè)試。放電電流曲線如圖8 所示。

圖8 混合放電比實(shí)驗(yàn)的電流曲線

依據(jù)混合放電比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于改進(jìn)的PNGV 模型進(jìn)行了安時(shí)積分法、EKF 法、UKF 法和本文改進(jìn)的UKF 法進(jìn)行SOC估計(jì)，并與理論值(雙指數(shù)曲線獲得)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9 所示，SOC估計(jì)的誤差如圖10 所示。通過(guò)最大誤差、平均絕對(duì)誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)對(duì)四種方法的估計(jì)誤差進(jìn)行分析對(duì)比，如表1 所示。

圖9 不同方法的估計(jì)結(jié)果比較

圖10 不同方法估計(jì)誤差比較

表1 不同方法估計(jì)誤差對(duì)比分析 %

由圖9、圖10 的曲線和表1 的數(shù)據(jù)可得，EKF、UKF 和本文估計(jì)方法均在初始時(shí)產(chǎn)生最大誤差，分別為5.42%、5.09%和2.28%，安時(shí)積分法存在累加誤差，因此在接近結(jié)尾時(shí)產(chǎn)生了最大誤差，為2.02%。

由圖10 可得，由于混合放電比實(shí)驗(yàn)電流周期性變化，且相對(duì)劇烈，安時(shí)積分法、EKF 和UKF 估計(jì)方法產(chǎn)生周期性誤差，本文算法受電流變化影響相對(duì)較小。表1 中，本文算法的RMSE為0.15%，表明魯棒性較好。UKF 算法的RMSE值相對(duì)最小，但仍是本文算法的3 倍，也解釋了其它方法受電流周期性變化影響。

由圖10 和表1 可知，經(jīng)過(guò)372 s 后，安時(shí)積分法除外的三種方法均能保持在0.3%以內(nèi)的估計(jì)誤差，平均絕對(duì)誤差為0.29%、0.26%和0.11%，相比較，本文算法精度至少提高了58%。

4 總結(jié)

為了充分滿足鋰離子電池在復(fù)雜工作環(huán)境下參數(shù)測(cè)量的要求，本文建立了描述動(dòng)態(tài)環(huán)境下電池狀態(tài)的二階電路模型。除此之外,為了解決當(dāng)脈沖電流變化率較大時(shí)，算法不理想、估計(jì)誤差較大、算法跟蹤效果不理想等問題，本文采用兩個(gè)非線性變換預(yù)測(cè)系統(tǒng)的閉環(huán)電壓，采用動(dòng)態(tài)功能模塊提高卡爾曼增益改進(jìn)UKF 算法。以68 Ah 的三元聚合物鋰離子電池為對(duì)象進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)HPPC 測(cè)試和混合放電比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型和算法在不同狀態(tài)下的可行性。結(jié)果表明，改進(jìn)的PNGV 模型具有較高的精度，改進(jìn)的算法能夠精準(zhǔn)估計(jì)SOC值，且穩(wěn)定性和一致性較強(qiáng)。