徐殿勝,張志鋒

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)廣泛應(yīng)用于電動汽車、風(fēng)力發(fā)電和工業(yè)自動化等領(lǐng)域，因為其具有結(jié)構(gòu)靈活、效率高、功率密度高等優(yōu)點[1]。與磁場定向控制(FOC)相比，直接轉(zhuǎn)矩控制(DTC)成為一種高性能的控制策略，因為不依賴于PMSM的參數(shù)。然而，磁滯比較器只選擇一個電壓矢量，不可避免地會引起轉(zhuǎn)矩脈動[2]。

有限控制集模型預(yù)測控制(FCS-MPC)廣泛應(yīng)用于電力電子和電力傳動領(lǐng)域，具有直觀性和靈活的成本函數(shù)，可以為約束條件靈活地設(shè)置成本函數(shù)[3-4]。FCS-MPC可以有效利用逆變器的離散性，通過離散的數(shù)學(xué)模型預(yù)測系統(tǒng)變量的未來行為，然后通過最小化價值函數(shù)選擇最優(yōu)電壓矢量[5-6]。FCS-MPC易于實現(xiàn)，具有動態(tài)響應(yīng)快、無參數(shù)整定、多變量控制和易于處理非線性約束的優(yōu)點。與DTC相比，F(xiàn)CS-MPC選擇的電壓矢量更精確、更有效，有效解決了bang-bang控制方式存在開關(guān)頻率不固定、電流脈動較大的問題。與磁場定向控制(FOC)相比，可以實現(xiàn)更快的動態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)預(yù)測控制對象的不同，模型預(yù)測控制(MPC)又可分為模型預(yù)測電流控制(MPCC)和模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制(MPTC)等。MPCC主要以電流為控制目標，成本函數(shù)只包含電流一項，因此不需要計算權(quán)重系數(shù)[7-8]。MPTC以轉(zhuǎn)矩和磁鏈為控制目標，且兩者的量綱不一致，需要設(shè)計權(quán)重系數(shù)[9-10]。與MPCC相比，MPTC不需要通過控制電流和磁鏈來間接控制轉(zhuǎn)矩，而是直接控制轉(zhuǎn)矩。在此基礎(chǔ)上還可以添加其他的控制目標，結(jié)構(gòu)靈活，穩(wěn)態(tài)性能更好[11]。根據(jù)每個控制周期使用的電壓矢量個數(shù)不同，還可以將MPC分為單矢量MPC[12]，雙矢量MPC[13-14]和三矢量MPC[15-16]，本文主要是針對已有的兩種雙矢量MPC方法進行分析和改進。文獻[17]提出一種快速矢量選擇的預(yù)測控制策略，只需要計算一次就可以選出最優(yōu)電壓矢量，降低算法的復(fù)雜度和計算量，但是每個控制周期還是僅用一個電壓矢量，精度遠遠不夠。為提高控制精度，文獻[18]提出一種雙矢量MPC策略，每個周期選用一個零電壓矢量和一個非零電壓矢量，通過占空比計算，使控制效果得到改善。但是最優(yōu)電壓矢量的選擇比較局限，文獻[19]提出了一種改進的雙矢量MPC策略，每個控制周期內(nèi)靈活的選用兩個電壓矢量，使得控制效果提升，并且降低了開關(guān)頻率，但是最優(yōu)電壓矢量是通過兩步計算，分別選出兩個最優(yōu)電壓矢量，計算量較大。

以前述的兩種雙矢量MPC為基礎(chǔ)，提出一種兼顧控制效果和開關(guān)頻率的MPC策略。對扇區(qū)進行了重新劃分，劃分成18個扇區(qū)以減小誤差；在電流離散化過程采用精度更高的四階龍格-庫塔的離散化方法；扇區(qū)判斷時采用一種MPTC方法避免arctan的使用,有利于在嵌入式系中(如C語言)使用，并且在占空比計算時采用拉格朗日乘子法。通過對三種控制方法進行仿真對比，證明本文所提方法具有更好的控制性能。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

在所提出的驅(qū)動系統(tǒng)中，PMSM的電壓由如圖1所示的三相兩級電壓源逆變器(VSI)提供。該拓撲結(jié)構(gòu)可以提供8個基本電壓矢量，包括6個非零電壓矢量和2個零電壓矢量，可以在靜止的α-β坐標系下表示，如圖2所示。

圖1 逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)

圖2 電壓空間矢量

本文以一種表貼式PMSM為例，PMSM在同步旋轉(zhuǎn)d-q坐標系下的定子電壓方程可表示為

(1)

式中：ud、uq和id、iq分別為定子電壓d軸q軸分量、定子電流的d軸q軸分量;Ld、Lq分別為d軸q軸電感分量;R為定子電阻;ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；ψf為永磁體磁鏈。

定子磁鏈的d-q軸分量為

(2)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(3)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)。

2 兩種傳統(tǒng)的雙矢量MPC方法

對于電壓源逆變器(VSI)供電的MPC，電壓矢量是唯一可控的輸入變量。傳統(tǒng)的MPC在整個采樣周期內(nèi)只施加一個電壓矢量，即占空比等于1。這是傳統(tǒng)MPC存在較大轉(zhuǎn)矩和磁鏈脈動的原因。為了明顯減小轉(zhuǎn)矩和磁鏈脈動，有必要在一個控制周期內(nèi)引入兩個電壓矢量。

相關(guān)學(xué)者先后提出的兩種改進方案：每個控制周期內(nèi)分別是采用零電壓矢量和非零電壓矢量結(jié)合的方法MPC1，如圖3所示；每個控制周期內(nèi)采用相鄰電壓矢量或非零電壓矢量和零電壓矢量結(jié)合的方法MPC2，如圖4所示。通過這種占空比調(diào)制的方法，使得每個控制周期合成的電壓矢量與參考電壓矢量的誤差更小，提高了控制精度。

圖3 MPC1扇區(qū)劃分方式

圖4 MPC2扇區(qū)劃分方式

MPC2這種控制方法是針對MPC1提出來的，在第二個電壓矢量選擇時，備選電壓矢量和已選電壓矢量之間只允許開關(guān)跳變一次，只有零電壓矢量和非零電壓矢量。在靜態(tài)特性有所提高的同時，開關(guān)頻率有所下降，使得系統(tǒng)損耗更低，更加可靠。

3 優(yōu)化的MPC方法

針對傳統(tǒng)的兩種雙矢量MPC策略，本文提出一種新的控制方法，命名為MPC3，在提高控制穩(wěn)態(tài)特性的同時，開關(guān)頻率也保持與MPC2近似，保持在較低水平。

3.1 扇區(qū)劃分

傳統(tǒng)的兩種雙矢量MPC方法，在進行扇區(qū)劃分時，每一個區(qū)域內(nèi)均存在參考電壓矢量與合成的電壓矢量誤差較大的區(qū)域，可能是產(chǎn)生較大轉(zhuǎn)矩脈動和電流諧波的原因。為此，本文將每個扇區(qū)中誤差較大的區(qū)域劃分出來，如圖5所示。如果參考電壓矢量在該區(qū)域，則在下一周期內(nèi)，用一個采用固定占空比合成的虛擬電壓矢量作為備選電壓矢量。

圖5 MPC3扇區(qū)劃分方式

合成的電壓矢量是選用兩個相鄰的電壓矢量和一個零電壓矢量，三個電壓矢量的作用時間均是Ts/3，Ts為采樣周期，合成虛擬電壓矢量u8～u13。

選用固定占空比的小三角形區(qū)域的劃分原則是：以u1、u2區(qū)域為例，小區(qū)域邊界到合成虛擬電壓矢量的距離與到大三角形邊界距離相等，但是會使得所劃分區(qū)域為不規(guī)則圖形，為后期扇區(qū)判斷造成困難，因此定義虛擬電壓矢量到所劃分區(qū)域邊界的直線與虛擬電壓矢量到邊界垂直方向成30°時，即d1=d2，來確定小三角形區(qū)域的邊界，如圖6確定小三角形區(qū)域的大小。表1為每個扇區(qū)對應(yīng)的調(diào)制電壓矢量。

圖6 小三角形區(qū)域的劃分

3.2 電流離散化

為提高控制精度，在離散的過程中不再采用歐拉法，而是采用四階龍格-庫塔法進行離散化，使得在離散過程中產(chǎn)生的誤差更小，離散精度更高。

根據(jù)式(1)得:

離散后可以表示為

(5)

d軸對應(yīng)的狀態(tài)變量分別為

(6)

q軸對應(yīng)的狀態(tài)變量分別為

(7)

整理后得到(k+1)時刻d-q軸電流值為

(8)

3.3 扇區(qū)判斷

扇區(qū)判斷方式大多是用靜止坐標系下參考電壓矢量的位置角，判斷期望電壓矢量所在扇區(qū)，這種方法的確能減少計算量，但是對于本文提出的這種扇區(qū)劃分方法并不適用。在位置角計算時會用到arctan計算， arctan計算范圍是-π/2～π/2，需要擴展成-π～π比較麻煩，并且不利于在嵌入式系統(tǒng)中(如C語言)使用。

為了解決上述問題，本文采用一種MPTC方法，得到α-β坐標系下的參考電壓矢量[12]，然后判斷參考電壓矢量所在的扇區(qū)，在保證系統(tǒng)控制性能的同時顯著減小了系統(tǒng)計算量。

聯(lián)立經(jīng)過一拍補償?shù)拇沛湻匠淌?2)與電壓方程式(3)，消除電流量并進行離散化，則有：

(9)

進一步，將磁鏈方程式(2)的ψq代入轉(zhuǎn)矩方程式(3)可得:

(10)

對式(10)求導(dǎo)，并離散化可得:

(11)

將式(9)代入式(11)，可得電磁轉(zhuǎn)矩與電壓之間的關(guān)系:

(12)

因為在電機穩(wěn)定運行時，定子端電壓遠大于定子電阻的壓降，所以可忽略式(9)中的包含電阻項，可得到定子磁鏈幅值與電壓之間的關(guān)系：

(14)

(15)

3.4 占空比計算

占空比的計算精度對控制精度的影響較大，因此本文采用一種拉格朗日乘子法來計算占空比[20]?？紤]到非常高的采樣頻率，在采樣周期中由每個電壓矢量引起的平均跟蹤誤差，即加權(quán)誤差，近似表示為

εj={dijeij|i∈Tk}

(16)

式中:eij為扇區(qū)j中單個電壓矢量ui引起的跟蹤誤差;dij為電壓矢量ui的占空比；Tk為扇區(qū)判斷得到小區(qū)域?qū)?yīng)的單個電壓矢量。

加權(quán)誤差的均方根值為

(17)

加權(quán)誤差的均值定義為

(18)

(19)

這個優(yōu)化問題可以用著名的拉格朗日乘子方法來解決。為了找到在等式g(x,y)=0約束下的函數(shù)f(x,y)駐點，形成拉格朗日函數(shù):

L(x,y,λ)=f(x,y)+λ·g(x,y)

(20)

在給定扇區(qū)中，確定兩個最優(yōu)電壓矢量ud和uc。因此，優(yōu)化問題的目標是最小化以下函數(shù):

(21)

式中：dc和dd為兩個最優(yōu)電壓矢量的占空比；gc和gd為兩個最優(yōu)電壓矢量的電流價值函數(shù)值。

價值函數(shù)值由下式計算:

(22)

計算了這些最優(yōu)矢量的占空比。對于拉格朗日乘數(shù)法，約束條件如下：

g(dc,dd)=dc+dd-1

(23)

因此，拉格朗日函數(shù)可以寫成:

“每個醫(yī)生都擁有自己的數(shù)字證書和簽章，可開具電子申請單和書寫電子病歷，各種信息都通過信息系統(tǒng)進行傳遞，并通過數(shù)字化病案管理系統(tǒng)實現(xiàn)了病案的電子化歸檔及管理，節(jié)省了工作時間，提高了工作效率?！?/p>

(24)

梯度計算如下：

(25)

用式(24)代入式(25)得：

?dc,dd,λL(dc,dd,λ)=

(gcdc+λ,gddd+λ,dc+dd-1)

(26)

考慮最小化條件：

?dc,dd,λL(dc,dd,λ)=0

(27)

利用式(26)和式(27)，占空比可以表示為

(28)

考慮約束條件dc+dd= 1，可得:

(29)

(30)

(31)

綜上所述，MPC3控制原理框圖如圖7所示。

圖7 MPC3控制原理框圖

4 仿真分析

為驗證所提出的這種MPC方法的可行性和有效性，使用MATLAB/Simulink分別對已有的兩種雙矢量MPC方法和改進的MPC方法進行建模仿真，采樣頻率為20 kHz,并對結(jié)果進行比較和分析。PMSM的主要參數(shù)如表2所示,其中Ls=Ld=Lq。

表2 電機主要參數(shù)

在仿真過程中,電機首先空載啟動,轉(zhuǎn)速由0升至所設(shè)置的額定轉(zhuǎn)速,然后穩(wěn)定運行。穩(wěn)定運行0.2 s之后,突加10 N負載,再進行穩(wěn)定運行。運行至0.5 s再空載運行。

圖8為三種控制方式下的a相電流波形及諧波分析，可以看出本文提出的控制方法得到的電流波形更加平滑，電流畸變率THD為4.15%，比前兩種方法的THD 6.94%和5.78%更低，電流的正弦性更好，穩(wěn)定性能也更佳。

圖8 三種控制方式下帶載穩(wěn)定運行時a相電流波形及諧波分析

圖9為三種控制方式下轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形，三種控制方式下均有較好的轉(zhuǎn)速性能。MPC1控制策略下轉(zhuǎn)矩脈動大約在2.5 N·m、MPC2控制策略下轉(zhuǎn)矩脈動大約在2 N·m、MPC3控制策略下轉(zhuǎn)矩脈動約在1.8 N·m?？梢钥闯霰疚乃岢龅目刂撇呗詫D(zhuǎn)矩脈動也有一定的抑制效果。

圖9 三種控制方式下轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形

圖10為三種控制方式下判斷電壓矢量所在扇區(qū)。MPC1策略劃分6個扇區(qū)，MPC2策略劃分12個扇區(qū)，MPC3策略劃分18個扇區(qū)。

圖10 三種控制方式下電壓矢量所在扇區(qū)

如圖11所示,在采樣頻率為20 Hz時，三種方式下的平均開關(guān)頻率，可以看出本文所提控制策略也具有較低的開關(guān)頻率。

圖11 三種控制方式下開關(guān)頻率對比

5 結(jié) 語

本文在兩種傳統(tǒng)的雙矢量MPC基礎(chǔ)上進行了改進，得到改進的MPC策略。該方法沒有遍歷計算，有效控制計算量的增長；在電流離散化的過程中采用精度更高的四階龍格-庫塔離散化方式，使控制精度更高；占空比計算應(yīng)用拉格朗日乘子法，使得算法更簡單。仿真結(jié)果表明，該方法不僅有良好的動靜態(tài)性能，還具有開關(guān)頻率較低的優(yōu)勢。