付辰辰，姚丹，楊益，齊玉文，肖新標，金學松

(1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都，610031；2.中車長春軌道客車股份有限公司，吉林 長春，130062)

近年來，城市人口數(shù)量迅速增加，城市交通壓力也隨之增大，對節(jié)能低耗、方便快捷的交通方式需求日益迫切，兼具有軌電車和公共汽車優(yōu)點的新一代虛擬軌道列車應運而生[1]。虛擬軌道列車無須鋪設鋼軌，不破壞路面，可實現(xiàn)自動導向。具有建設周期短、基礎設施投資小、調度靈活等優(yōu)點。虛擬軌道列車已成為全新的中、低運量交通系統(tǒng)建設的首選。為降低能耗、增加載客量和減小路面負擔，虛擬軌道列車采用膠輪走行部結構[2]，車體質量占整車質量約35%[3]。另一方面，車內噪聲直接影響乘坐列車的舒適性。因此，如何在減輕列車質量[4]的同時降低列車內部噪聲是目前需要解決的難題之一。

在虛擬軌道列車運行過程中，車外聲源主要通過空氣傳聲和結構傳聲2種途徑傳遞到車內，形成車內噪聲，車體結構的聲振特性[5-7]將直接影響車內噪聲。車體結構的聲學特性可采用FE-SEA混合方法[8]研究，盧兆剛[9]基于混合FE-SEA 方法研究了汽車薄壁件的中頻聲學特性。張捷等[10]對高速列車鋁型材板進行隔聲和振動聲輻射測試，并基于FE-SEA混合方法建立了鋁型材板的聲振特性預測模型。

然而，基于FE-SEA混合方法的多參數(shù)聲學優(yōu)化設計，計算成本會顯著增大。徐涆文等[11]基于周期結構法建立了軌道的有限元模型，分析彈性短軌枕軌道各結構的聲振特性。馮青松等[12]計算了周期結構的帶隙，明顯提高了計算效率。COTONI 等[13-14]將FE-SEA 混合方法與模態(tài)綜合法和周期結構理論結合，縮短了有限元模型的計算時間。YAO 等[15]采用周期結構法，分析了鋁型材的隔聲特性，優(yōu)化了結構的傳聲損失。然而，針對輕量型虛擬軌道列車車體結構的聲振特性研究還較少。

因此，本文作者針對虛擬軌道列車的側墻結構，結合FE-SEA混合方法和周期結構理論，研究輕量型側墻結構的聲振特性，并優(yōu)化結構的傳聲損失和輻射聲功率。首先，基于FE-SEA 混合方法，預測側墻結構的隔聲和振動聲輻射特性。接著，基于側墻結構的周期特性，采用周期結構理論，建立側墻結構的聲學優(yōu)化模型，以周期單元質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級為優(yōu)化目標，降低側墻結構質量并提高側墻結構聲學性能，實現(xiàn)側墻結構的聲學優(yōu)化設計。最后，基于優(yōu)化后的周期結構，建立側墻結構的有限元模型，驗證側墻結構聲振特性優(yōu)化的有效性。本研究可為虛擬軌道列車車體結構的輕量化減振降噪優(yōu)化設計提供參考。

1 車體側墻結構聲振特性

1.1 理論方程

本文主要采用FE-SEA混合方法對結構的隔聲和振動聲輻射特性進行研究，該方法將整個結構劃分為用有限元、邊界元方法描述的確定性子系統(tǒng)和用統(tǒng)計能量法描述的非確定性子系統(tǒng)。首先，建立結構子系統(tǒng)的運動方程；接著，求解SEA子系統(tǒng)的能量響應；最后，結合各個子系統(tǒng)的能量平衡方程與擴散場互逆原理，計算子系統(tǒng)的位移響應。

結構子系統(tǒng)的運動方程可表示為

式中：q為結構子系統(tǒng)的自由度；f為作用在子系統(tǒng)上的外載荷列向量；m為組合系統(tǒng)中包含的SEA子系統(tǒng)的總數(shù)；為第i個SEA子系統(tǒng)在確定性邊界處對FE子系統(tǒng)所施加的混響場載荷；Dtot為結構子系統(tǒng)的總動剛度矩陣，即結構子系統(tǒng)本身的動剛度矩陣與各個SEA 子系統(tǒng)的直接場總動剛度矩陣的和，即

式中：Dd為FE 子系統(tǒng)本身的動剛度矩陣；D(i)dir為第i個SEA子系統(tǒng)的直接場總動剛度矩陣。

求解式(1)，可得確定性子系統(tǒng)的動態(tài)位移響應方程為

式中：Sqq為確定性子系統(tǒng)位移響應；Sff為外部激勵作用在確定性子系統(tǒng)上的交叉力譜矩陣；＜ ＞表示總體平均；Ei為第i個SEA子系統(tǒng)的統(tǒng)計能量響應；ni為第i個子系統(tǒng)的模態(tài)密度；H 表示復共軛轉置。

對SEA 子系統(tǒng)建立能量平衡方程，輸入功率流由2部分組成：外部激勵的輸入功率流和在混響激勵下各子系統(tǒng)與混響場相關的輸入功率流。

式中：為外部激勵的輸入功率流；hni為功率傳遞系數(shù)。子系統(tǒng)的輸入功率流等于子系統(tǒng)輸出功率流與自身耗散功率流之和[16]，滿足能量平衡方程

式中：Mi為模態(tài)重疊因子；htot,i為第i個子系統(tǒng)混響場輸出能量的模態(tài)能量密度。結合子系統(tǒng)的能量平衡方程，可求得各SEA 子系統(tǒng)的能量響應以及位移響應。

結構的隔聲量R可以表示如下：

式中：Pin為系統(tǒng)的入射聲功率；Pout為透射聲功率。聲功率定義為聲源在單位時間內向外輻射的聲能量，聲功率級L可表達如下：

式中：P0為系統(tǒng)的輻射聲功率；Pref為參考聲功率，Pref=10-12W。

1.2 計算模型

虛擬軌道列車車體側墻結構主要由蒙皮和鋼架組成，蒙皮為碳纖維板，鋼架按一定規(guī)則在整個側墻結構上呈周期性排布，側墻結構模型如圖1所示。

圖1 側墻結構模型Fig.1 A schematic of sidewall structure

2 種矩形鋼架的截面如圖2 所示。圖2 中，D和X分別為矩形1和矩形2的鋼架厚度；下標top表示鋼架上板，mid 表示鋼架筋板，bot 表示鋼架下板，l表示鋼架寬度；H為鋼架高度，C為蒙皮厚度。表1所示為側墻結構的相關參數(shù)。

圖2 矩形截面Fig.2 Rectangular cross-section

表1 側墻鋼架截面尺寸Table 1 Cross-section dimensions of sidewall's steel frame mm

為預測側墻結構的聲振特性，基于FE-SEA混合法建立了如圖3所示的聲振特性預測模型。有限元模型長×寬為1600 mm×1 020 mm，單元長×寬為10 mm×10 mm，蒙皮密度為700 kg/m3。模型的四周定義為自由邊界條件，計算的頻率范圍為100～3 150 Hz。在隔聲特性預測模型中，于側墻結構的蒙皮外側施加100 dB 的白噪聲激勵，側墻內側的半無限流體(semi infinite fluid,SIF)接收結構的透射聲功率，進而得到結構的隔聲特性。在振動聲輻射預測模型中，隨機選取結構中一點，并施加單位力激勵，向蒙皮輸入振動能量，SIF接收結構的輻射聲功率，得到結構的聲輻射特性。

圖3 側墻結構聲振特性預測模型Fig.3 Prediction model of vibro-acoustic characteristics of sidewall structure

1.3 計算結果

側墻結構聲振特性預測模型仿真計算得到的結果如圖4所示。側墻結構質量m為39.4 kg，計權隔聲量Rw為27.0 dB，總輻射聲功率級La為98.0 dB。

圖4 側墻結構聲振特性預測結果Fig.4 Prediction results of vibro-acoustic characteristics of sidewall structure

其中，隔聲量整體呈波動上升趨勢，在125，250，500及1 000 Hz處出現(xiàn)了低谷，對應隔聲量為15.9～23.1 dB，隔聲性能在這些頻段存在較為明顯的不足。輻射聲功率級整體呈先上升、再下降、再上升的趨勢，在500和1 000 Hz處出現(xiàn)了峰值，對應聲功率級為71.2～90.3 dB，輻射聲功率在800 Hz以后的頻段較為顯著。

2 聲學性能優(yōu)化方法

聲學性能優(yōu)化往往涉及多個參數(shù)，直接對側墻結構進行優(yōu)化會占用大量計算資源。為提高優(yōu)化計算效率，本文根據(jù)側墻的結構特性，建立周期結構模型，進行仿真分析。

基于FE-SEA 方法，本文建立如圖5 所示的周期結構模型(長×寬為560 mm×560 mm)，周期結構的自由度q分為內部自由度(qI)、邊界自由度(qL，qR，qB，qT)和角自由度[17](qLB，qRB，qLT，qRT)。其中，矩形鋼架截面1和2的長度分別為560.0 mm和460.0 mm，蒙皮邊長為560.0 mm。不直接改變側墻鋼架的寬度和高度，以側墻結構參數(shù)Dtop，Dmid，Dbot，C，Xtop，Xmid和Xbot作為輸入變量，以質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級為優(yōu)化目標，進行聲學性能優(yōu)化設計。最后，基于優(yōu)化后的模型參數(shù)，建立完整的側墻結構模型，驗證聲振特性。

圖5 周期單元Fig.5 Periodic unit

2.1 周期結構法

周期結構振動的穩(wěn)態(tài)響應可用復振幅來表示頻率為ω時的穩(wěn)態(tài)諧波振動響應，時域響應為q(t) =Re{qeiωt}。內部自由度與其他周期單元沒有關聯(lián)。左右和上下自由度之間的關系為

角自由度可以用左下角的自由度來描述：

式中：εx和εy為相位常數(shù)，變化范圍為[-π，π]。無阻尼結構受迫振動的控制方程可表達為

式中：M和K分別為質量矩陣和剛度矩陣；F為力向量。

根據(jù)無阻尼振動方程式(10)和式(9)可以得到周期單元的自由振動方程[18]：

式中：q′為等效模型的自由度向量，q′=[qI qB qL qLB]T；RH和R互為復共軛轉置矩陣。結合模態(tài)綜合法可以減少周期單元結構的自由度，簡化后的質量矩陣和剛度矩陣，使等效有限元模型自由度比原有限元模型的自由度小，模型簡化只需進行一次，便可較大程度地減小模型的計算成本。

2.2 優(yōu)化原理

對結構質量、隔聲量和聲功率級同時進行優(yōu)化，這些優(yōu)化對象是相互關聯(lián)的，通常在優(yōu)化過程中需要協(xié)調權衡和折衷處理，盡可能使優(yōu)化目標均達到最優(yōu)。即實現(xiàn)多目標參數(shù)優(yōu)化[19-20]，例如：最小化優(yōu)化可表達為

式中：xi為設計變量；xmax和xmin分別為設計變量取值的上、下限；fu(x)為第u個子目標函數(shù)；gj(x)為第j個不等式約束條件；U，I和J分別為u，i和j可取的自然數(shù)值。

相比傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化和直接搜索算法，全局搜索法適應性強，避免集中在局部區(qū)域的搜索，能求解全局最優(yōu)解。ASA 算法[21-22]是全局搜索方法的一種，具有較好的全局求解能力和計算效率，同時收斂速度較快，可用于任意的系統(tǒng)和目標函數(shù)，也可用于連續(xù)性和離散性設計空間變量。因此，本文采用基于ASA 算法進行多參數(shù)目標優(yōu)化的策略。

退火是固體金屬熱處理的一種方式：當溫度升到足夠高時，固體中的粒子在液相中隨機排列，當溫度緩慢降低時，粒子會過渡到較低能量水平的晶格狀態(tài)。當溫度足夠高和冷卻速度足夠慢時，固體在每個溫度都可以達到熱平衡條件，此時，系統(tǒng)具有能量E的概率為

式中：Pr為事件出現(xiàn)的概率；T為絕對溫度；kB為Boltzmann常數(shù)。

從式(14)可以看出：溫度越低，系統(tǒng)處于低能量狀態(tài)的概率越大。通過對比組合優(yōu)化問題與退火過程，從初始點開始，每前進一步就對目標函數(shù)進行一次評估，由Metropolis判據(jù)決定是否接受函數(shù)值上升點，反復進行，隨即搜尋，尋找目標函數(shù)的全局最優(yōu)解。

若以蒙皮厚度C為輸入變量，質量M為輸出變量，實現(xiàn)結構質量最小化的算法流程如圖6所示。

圖6 模擬退火算法流程Fig.6 Flow chart of simulated annealing algorithm

1) 優(yōu)化變量初始化：初始厚度為C，厚度下限為Cmin，初始質量M，每個C的迭代次數(shù)為N。

2) 對n=1，2，…，N，執(zhí)行第3)～6)。

3) 產生中間解Mk+1：Mk+1=Mk+ΔM；ΔM為[dmin，dmax]之間的隨機數(shù)。

4) 增量的計算：Δf=f(Mk+1)-f(M)，其中，f(M)為優(yōu)化目標。

5) 若Δf＜0，則接受Mk+1作為新的當前解，否則以概率e-Δf/(kBT)判斷是否接受Mk+1作為新的當前解。

6) 若終止條件滿足，則當前解被視為最優(yōu)解輸出，結束程序。

7)M逐漸減小，且M＞Mmin。然后，轉至2)。

與其他極小化算法不同，ASA 算法不要求每一步搜索均滿足f(Mk+1)＜f(Mk)，允許f(Mk+1)≥f(Mk)，并以一定概率e-E/(kBT)(E=Δf)出現(xiàn)。

3 聲學性能優(yōu)化分析

3.1 參數(shù)靈敏度分析

聲學性能優(yōu)化往往涉及多個參數(shù)，優(yōu)化前需要對周期單元結構的參數(shù)進行靈敏度分析，判斷參數(shù)是否對目標函數(shù)有影響，沒有影響的參數(shù)則可移除，進而提高后續(xù)多目標參數(shù)優(yōu)化的計算效率。靈敏度分析需要計算周期單元結構的計權隔聲量和總輻射聲功率級。當改變鋼架結構的上板、筋板和下板的厚度時，鋼架的寬度(Dl和Xl)和高度H都會發(fā)生改變，所以本研究選取了表2所示的參數(shù)及其范圍。由于篇幅原因，本小節(jié)僅以蒙皮厚度C為例，計算結果如圖7 所示，其中，質量為1個周期結構的質量。

圖7表明：計權隔聲量整體上隨質量增大而增大，總輻射聲功率級隨蒙皮厚度增加而降低，所以蒙皮厚度對側墻結構靈敏度存在影響。經(jīng)靈敏度分析可知，表2中的參數(shù)均對結構聲振特性存在影響。其中，蒙皮厚度對結構聲學性能影響最大，矩形截面鋼架的下板厚度影響最小。

表2 參數(shù)靈敏度分析的范圍Table 2 Range of parameters for sensitivity analysis mm

圖7 蒙皮厚度C對周期結構的聲振特性影響Fig.7 Influence of skin thickness C on vibro-acoustic characteristics of periodic structures

3.2 多目標參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)靈敏度分析結果，基于周期結構法和ASA算法，對側墻結構進行多目標參數(shù)優(yōu)化設計，以達到在降低質量的同時提高聲學性能的目的。其中，優(yōu)化設計的輸入?yún)?shù)為Dtop，Dmid，Dbot，C，Xtop，Xmid和Xbot，輸出參數(shù)為周期單元結構的質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級。優(yōu)化目標是質量最小、計權隔聲量最大和總輻射聲功率級最小，閾值取優(yōu)化前周期結構的相關參數(shù)值。多目標參數(shù)優(yōu)化設計流程如圖8所示。

圖8 多目標參數(shù)優(yōu)化算法流程Fig.8 Flow chart of multi-objective parameter optimization algorithm

首先，在Isight優(yōu)化模塊中，輸入優(yōu)化前周期結構的質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級等參數(shù)，并設置目標函數(shù)閾值；接著，輸入最初參數(shù)值并根據(jù)ASA 算法得到的新參數(shù)值，在MATLAB軟件里建立聲振特性模型；最后，將計算結果返回給Isight并記錄。不斷重復上述步驟，當達到最大優(yōu)化次數(shù)時，結束循環(huán)迭代過程并輸出全局最優(yōu)解。

在多目標參數(shù)優(yōu)化過程中，蒙皮的質量變化如圖9 所示。其中，虛線表示質量目標函數(shù)的閾值，空心點表示優(yōu)化過程的解，實心點對應最優(yōu)解。

圖9 優(yōu)化過程中質量的變化Fig.9 Variation of mass in optimization

從圖9可知：優(yōu)化過程中周期結構的質量并非一直在閾值以下。這是由于在運算過程中，為避免ASA算法受限于局部最優(yōu)，Metropolis判據(jù)需選擇超出閾值的中間解進行優(yōu)化計算。此外，隨著優(yōu)化的進行，中間解超出閾值的頻次逐漸降低。優(yōu)化過程中周期結構質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級的相關性如圖10所示。

圖10 優(yōu)化中質量與聲振特性的相關性圖Fig.10 Correlation between mass and vibro-acoustic characteristics in optimization

圖10 中虛線分別表示質量、計權隔聲量和總輻射聲功率級的目標函數(shù)閾值?？招狞c對應優(yōu)化過程中的解，實心點對應較優(yōu)解，最大實心點表示最優(yōu)解。由圖10可見：3個目標函數(shù)的最優(yōu)解一致。此外，相關性分析結果表明：并非所有優(yōu)化結果都滿足目標函數(shù)要求，優(yōu)化過程中較優(yōu)解和圖9中選取頻次較高的質量范圍一致。

表3所示為優(yōu)化前后周期結構的各項參數(shù)。其中，優(yōu)化后參數(shù)對應最優(yōu)解的結果。由表3 可見：優(yōu)化后結構的質量降低15.2%，計權隔聲量提高2.2 dB，總輻射聲功率級降低2.5 dB，實現(xiàn)了多目標參數(shù)優(yōu)化的目標。

3.3 驗證優(yōu)化結果

根據(jù)多目標參數(shù)優(yōu)化結果，重建側墻結構的聲振模型，并保持外載荷的位置和屬性與優(yōu)化前結構一致。優(yōu)化前、后側墻結構的聲振特性對比結果如圖11所示。

圖11 優(yōu)化前后側墻結構的聲振特性對比Fig.11 Comparison of vibro-acoustic characteristics of sidewall structure before and after optimization

由圖11可見：優(yōu)化后側墻結構質量為29.2 kg，總體上較優(yōu)化前降低25.9%；計權隔聲量為28.0 dB，較優(yōu)化前增大1.0 dB；總輻射聲功率級為96.3 dB，較優(yōu)化前降低1.7 dB。優(yōu)化后側墻結構的隔聲量在500～630 Hz和1 000～2 000 Hz頻段有明顯提高；優(yōu)化后側墻結構的輻射聲功率級在250～500 Hz 和800～1 600 Hz 頻段有明顯降低。聲學性能在500 Hz和1 000 Hz處均有明顯提高。

接著，本文對優(yōu)化前后的側墻結構進行了模態(tài)分析和對比，側墻結構在優(yōu)化前、后的前5階固有頻率，如表4所示。

表4 優(yōu)化前、后側墻結構的固有頻率對比Table 4 Comparison of natural frequencies of sidewall structure before and after optimization

由表4可知：與優(yōu)化前相比，側墻結構前5階模態(tài)中的第一階固有頻率有所降低，后4階固有頻率升高，變化幅度不超過10.5%，總體變化較小。結構的固有頻率受剛度分布和質量分布的影響(ω=)，優(yōu)化后的結構質量更低，固有頻率變化較小。

4 結 論

1) 優(yōu)化前側墻結構的聲振特性分析表明：優(yōu)化前側墻結構的計權隔聲量為27.0 dB，總輻射聲功率級為98.0 dB。

2) 基于周期結構理論和ASA 算法，本研究獲得了周期單元結構的最優(yōu)解，實現(xiàn)了多目標參數(shù)優(yōu)化的目標。

3) 經(jīng)聲學性能優(yōu)化設計以后的側墻結構質量降低了25.9%，計權隔聲量提高了1.0 dB，總輻射聲功率級降低了1.7 dB并且剛度變化較小，優(yōu)化結果滿足聲學性能優(yōu)化設計目標。