李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣州 511300）

0 引言

在過去的幾十年中,關(guān)于線性和非線性拋物方程解的存在性以及爆破現(xiàn)象一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn),產(chǎn)生了大量的成果[1-9].這些文獻(xiàn)大多研究的是拋物方程解的全局存在性、漸近性質(zhì)、爆破時間的上界和下界.過去人們一直強(qiáng)調(diào)爆破時間上界的重要性,近來人們開始意識到爆破時間的下界同樣重要.例如,在航天飛機(jī)返回遇到大氣層時會產(chǎn)生大量的熱量,只需保證溫度變得足夠高之前著陸就是安全的.

不少學(xué)者開始關(guān)注耦合的拋物方程解的存在性及爆破現(xiàn)象.Wang[10]研究了非線性邊界條件下的半線性拋物方程

上式中:Ω為有界光滑區(qū)域;p1,p2為大于零的常數(shù).

李遠(yuǎn)飛[4]研究了Robin 邊界條件下Keller-Segel 系統(tǒng)

上式中:t*是爆破發(fā)生的最大時刻;?是梯度算子;p＞1;m1,m2,k1,k2,k3是大于零的常數(shù).在一定的約束條件下文獻(xiàn)[4]獲得了爆破時間的上界.當(dāng)爆破發(fā)生時,推導(dǎo)了爆破時間的下界.

Chipot等[12]研究了以下帶梯度項(xiàng)的拋物問題

上式中:p,q為大于零的常數(shù).

文獻(xiàn)[12]通過對u0(x)和p,q做出一定的限制,證明了解在有限時刻一定爆破.在文獻(xiàn)[13-14]中,當(dāng)Ω?R3時,作者獲得了爆破時間的下界.

在本文中研究帶非線性梯度項(xiàng)的耦合反應(yīng)擴(kuò)散方程

上式中:Ω?RN(N≥3)是有界區(qū)域并具有光滑的邊界?Ω;m,p,q,r,s≥0;α＞1 .該模型模擬了雙組分可燃混合物中的熱傳播[15]、化學(xué)反應(yīng)[16]和兩個無自限生物基團(tuán)的相互作用[17]等.非負(fù)初始數(shù)據(jù)u0(x)和v0(x)是滿足相容性條件的C1函數(shù).因此,根據(jù)經(jīng)典拋物理論,方程 (1)—(4)的解是唯一存在的,并且是非負(fù)的.這種研究的關(guān)鍵就是構(gòu)建適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),然而文獻(xiàn)中所構(gòu)建的輔助函數(shù)并不適合本文的模型.例如,文獻(xiàn)[4]給出了輔助函數(shù)

上式中:α是大于零的常數(shù).本文通過定義一個更加簡化的輔助函數(shù)(式 (10)),從而能夠在方程中的參數(shù)更寬的限制情形下,利用一階微分不等式技巧和能量估計(jì)的方法,推導(dǎo)爆破時間的下界,并且給出了解全局存在的充分條件.

1 準(zhǔn)備工作

為了推導(dǎo)本文的主要結(jié)果,給出一些有用的定理.注意到文獻(xiàn)[3]已經(jīng)取得了以下結(jié)果.

引理 1設(shè)Ω是 RN(N≥2) 上的有界星型區(qū)域.若w∈C1(Ω),則有

除了引理1—4,本文給出文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)的一個結(jié)果.

引理 5設(shè)Ω是 RN(N＞2) 上的有界星型區(qū)域,則存在一個依賴于Ω和N的常數(shù)k9＞0,使得

2 爆破時間的下界

本章推導(dǎo)爆破發(fā)生時爆破時間的下界.為此,建立以下輔助函數(shù)

其中m＞0 .

獲得的主要結(jié)果是以下定理.

定理 1設(shè)u和v是方程 (1)—(4)的非負(fù)解,其中Ω是 R3上的一個有界光滑的凸區(qū)域.假設(shè)m＞1,m+1＞max{p,r}≥α＞1,如果方程 (1)—(4)的解在φ(t) 的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破,則爆破時間一定具有下界,即

證明首先對φu(t) 求導(dǎo),再利用散度定理和方程 (1)—(4),可得

接下來估計(jì)I1,I3,I4.利用H?lder 不等式、Young 不等式和引理3,可得

式 (12)中:kij是大于零的常數(shù);i=4,5,6,7;j=1,2 .

再次利用H?lder 不等式和Young 不等式,可得

式 (21)中:ci(i=1,2,···,8)是大于零的常數(shù).對式 (21)中右邊第二項(xiàng)使用Young 不等式,可得

如果方程(1)—(4)的解在φ(t)的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破,則對式 (23)從0 到t*積分即可得到爆破時間的下界.證畢.

注 1如果式 (3)中的邊界條件用條件

如果方程 (1)—(4)的解在φ(t) 的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破,則由式 (25)可知必存在一個時刻t0＜t*,使得φ′(t)≤0,t∈[t0,t*),所以φ(t*)＜φ(t0),這與“解在t*處發(fā)生爆破”矛盾.因此方程的解是全局存在的.將上述結(jié)論總結(jié)為以下定理.

定理 2設(shè)u和v是方程 (1)—(4)的非負(fù)解,其中Ω是 R3上的一個有界光滑的凸區(qū)域.假設(shè)則方程 (1)—(4)的解是全局存在的.

注 3如果邊界條件(式 (3))由式 (24)代替,并要求f1,f2滿足注1 中的條件,則定理2 仍然成立.

3 結(jié)論

本文研究了具有非線性邊界條件的一類拋物方程解的爆破現(xiàn)象,得到了爆破解的下界,并獲得了全局解的存在性.同時本文所提出的方法為研究更一般化的模型提供了研究思路,例如,可以繼續(xù)研究二元熱量方程

上式中:b1,b2,k1,k2是大于零的常數(shù);f1,f2是非負(fù)連續(xù)函數(shù).通過對非線性項(xiàng)做適當(dāng)?shù)南拗?該問題可以繼續(xù)深入研究下去.