歐陽柏平

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣州 511300）

0 引言

本文考慮下列非局部多孔介質(zhì)系統(tǒng)在非線性邊界條件下解的全局存在性和爆破問題

近幾十年來,拋物方程和拋物系統(tǒng)解的性態(tài)研究,包括解的全局存在性、解的爆破時間上下界估計、解的爆破率、解的漸近估計等,受到了學(xué)者們廣泛的關(guān)注,并取得了豐碩的成果[1-8].早期的研究主要是基于不同的初邊值條件,在低維空間上探討其解的性態(tài).后來,學(xué)者們將其推廣到高維空間,進(jìn)一步考慮其解的性態(tài).目前,具有時變或空變系數(shù)的拋物方程和拋物系統(tǒng)成為研究的熱點,尤其是非局部的情況.究其原因,主要是非局部數(shù)學(xué)模型在一定意義上更接近實際情況.然而,非局部的研究相比局部的情況來說更復(fù)雜而且難度更大,因為局部的理論不適合非局部的情況.總體而言,空間維數(shù)、初邊值條件、時變或空變系數(shù)、非線性項、局部或非局部以及吸收項等因素影響著解的爆破研究.目前,在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域,有關(guān)拋物方程和拋物系統(tǒng)下界的研究是一個重要方向,其成果在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[9-10].

文獻(xiàn)[1]考慮了齊次Dirichlet和齊次Neumann 邊界條件下具有吸收項的非局部多孔介質(zhì)方程爆破問題

其中m,p,q,s＞0,得到了在3 維空間中爆破發(fā)生時解的爆破時間的下界估計.

文獻(xiàn)[2]考慮了Dirichlet 邊界條件下一類拋物方程解的爆破問題

得到了全空間上解的非全局存在條件和爆破發(fā)生時解的爆破時間的上界和下界估計.

文獻(xiàn)[3]考慮了齊次Dirichlet 邊界條件下拋物系統(tǒng)解的爆破問題

得到了3 維空間上解的全局存在條件以及在給定的約束條件下3 維空間上解的爆破時間的上下界估計.

文獻(xiàn)[4]考慮了非線性邊界條件下多孔介質(zhì)拋物系統(tǒng)解的如下爆破現(xiàn)象

得到了 Rn(n≥2) 上解的爆破條件以及爆破發(fā)生時解的爆破時間的上界和下界估計.

到目前為止,尚未發(fā)現(xiàn)有論文研究問題(1)的具有空變系數(shù)和吸收項的非局部多孔介質(zhì)系統(tǒng)解的爆破現(xiàn)象.非線性邊界條件下 Rn(n≥3) 上解的全局存在性條件及爆破發(fā)生時解的爆破時間的上下界的估計是本文的研究目標(biāo).研究的難點是合理構(gòu)造輔助函數(shù)并且恰當(dāng)處理高維空間、非線性邊界條件、非局部項、吸收項以及空變系數(shù)對解的爆破影響.

1 兩個重要的不等式

引理 1[8]設(shè)Ω是 Rn(n≥3) 上的有界凸區(qū)域,則對于w∈C1(Ω),s＞0,有

引理 2[11]設(shè)Ω是 Rn(n≥3) 上的有界凸區(qū)域,則有

式(3)中:w∈W1,2(Ω),W1,2(Ω) 表示定義在Ω上的索伯列夫空間;C=C(n,Ω)是依賴于n和Ω的正常數(shù).

2 全局存在性

定理 1若u(x,t),v(x,t)是問題(1)在有界凸區(qū)域Ω上的經(jīng)典非負(fù)解,且如下條件成立

則問題(1)的解在φ(t) 的測度下,在任何有限時間內(nèi)都是有界的,也就是說,問題(1)的解是全局存在的.

證明首先,對式(4)求導(dǎo)并結(jié)合式(5),得

下面處理式(6)右邊的第一項.運用散度定理,有

對于式(7)的右邊第一項,利用式(2),推出

式(7)右邊第二項和式(8)右邊第二項使用H?lder 不等式和Young 不等式,得

接下來處理式(6)的右邊第二項.利用H?lder 不等式和Young 不等式,得到

從式(25)可得,u在φ(t) 測度下是全局存在的,即對于任意的t(t＞0) 都不會爆破.不然,若在某個t*爆破,即

由式(25)可知φ′(t)≤0,?t∈[t0,t*).因此,φ(t)≤φ(t0) .當(dāng)t→(t*)-時,有

矛盾.于是定理1 得證.

3 爆破時間的上界

本章考慮解的爆破時間上界估計.設(shè)

則有如下定理.

定理 2若u(x,t),v(x,t)是問題(1)在有界凸區(qū)域Ω上的經(jīng)典非負(fù)解且滿足條件

4 爆破時間的下界

本章考慮解的爆破時間下界估計.若問題(1)滿足下列條件

則有如下定理.

定理 3若u(x,t),v(x,t)是問題(1)和式(40)在有界凸區(qū)域Ω上的經(jīng)典非負(fù)解,則式(41)中定義的能量φ(t) 滿足

由此可得爆破時間t*的下界

其中,M3,M4,M51見式(63)、式(65)和式(66).

證明對式(41)求導(dǎo),并考慮到條件(40)成立,得

對于式(43)的右邊第一項,利用散度定理和式(2),有

其中,δ,b1,σ,m,r1,B1,a1(x) 見式(40)和(42),ρ0,d見式(2).

下面處理式(44)的右邊第二項和第三項.應(yīng)用H?lder 不等式和Young 不等式,得到

由式(3)和式(42),應(yīng)用H?lder 不等式和Young 不等式于式(58)的右邊第二項,有