付 偉，柯 濤，宋 佳，吳 儉

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

隨著數(shù)字集成電路技術(shù)的重大突破，采用數(shù)字T/R組件的有源相控陣?yán)走_(dá)能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)發(fā)射數(shù)字波束形成和接收數(shù)字波束形成的功能。相比通過(guò)接收數(shù)字波束零點(diǎn)控制技術(shù)提高雷達(dá)抗干擾能力和復(fù)雜環(huán)境下的目標(biāo)檢測(cè)能力，發(fā)射波束零點(diǎn)控制技術(shù)[1-2]更加能夠提高雷達(dá)的低截獲性能，并且能避免對(duì)其他設(shè)備的電磁頻譜干擾。

對(duì)于理想的陣列結(jié)構(gòu)(假設(shè)陣元為各向同性的等幅同相理想點(diǎn)源，陣元之間沒(méi)有相互影響，陣元位置精確已知且沒(méi)有擾動(dòng)誤差)，文獻(xiàn)[3]～[5]采用遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等搜索解空間實(shí)現(xiàn)波束的零點(diǎn)控制，存在解的不確定性和不能在線實(shí)時(shí)計(jì)算的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]～[8]通過(guò)求解附加的多點(diǎn)線性約束優(yōu)化問(wèn)題獲得發(fā)射波束的最優(yōu)權(quán)值的解析解。為了提高算法的穩(wěn)健性，文獻(xiàn)[9]～[10]通過(guò)最小二乘約束優(yōu)化來(lái)展寬零點(diǎn)。然而，在工程實(shí)際中，陣列天線存在互耦效應(yīng)、陣元通道幅相誤差、陣元位置擾動(dòng)誤差、正北標(biāo)校誤差等非理想因素，傳統(tǒng)的零點(diǎn)控制算法性能下降，甚至引起波束主瓣產(chǎn)生畸變，以及零點(diǎn)方向不能正確地指向期望方向。因此，研究陣列誤差下發(fā)射波束零點(diǎn)產(chǎn)生算法的穩(wěn)健性具有重大的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

本文針對(duì)陣列誤差下穩(wěn)健的寬零點(diǎn)約束發(fā)射波束形成方法，給出了陣列誤差已知和未知條件下的最優(yōu)權(quán)值矢量分析。當(dāng)陣列誤差已知時(shí)，可首先求解理想陣列條件下寬零點(diǎn)約束的最優(yōu)權(quán)值矢量，然后根據(jù)陣列誤差矩陣進(jìn)行修正。當(dāng)陣列誤差精確值不可知時(shí)，可首先求解陣列誤差條件下無(wú)零點(diǎn)約束的常規(guī)穩(wěn)健最優(yōu)權(quán)值矢量，然后通過(guò)最小二乘誤差逼近求解寬零點(diǎn)約束下的最優(yōu)權(quán)值矢量。數(shù)值仿真結(jié)果表明，所提方法能夠解決陣列誤差下寬零點(diǎn)約束發(fā)射波束形成的穩(wěn)健性問(wèn)題。

1 信號(hào)模型

本文以均勻矩形陣列為例闡述穩(wěn)健的發(fā)射波束零點(diǎn)產(chǎn)生方法，應(yīng)用于均勻矩形陣列的方法同樣適用于其他結(jié)構(gòu)布局的平面陣列和立體陣列。

假設(shè)空間存在一均勻矩形陣列，如圖1所示。

圖1 均勻矩形陣列幾何坐標(biāo)示意圖

(1)

工程實(shí)際中，由于加工工藝誤差以及安裝誤差等因素，陣列天線存在位置誤差、通道幅相誤差、互耦以及目標(biāo)指向誤差，則式(1)可修正為：

(2)

式中：x′m′n′(t)=s(t-τ′mn)+snoise,mn(t)；aΔmn和φΔmn分別表示通道幅度誤差和相位誤差;υmn,m′n′表示陣元(m′,n′)對(duì)陣元(m,n)的耦合;τ′mn表示帶有位置誤差和目標(biāo)指向誤差的發(fā)射信號(hào)空間傳播延時(shí)，τ′mn=(R+(mdx+dΔxm)u′+(ndy+dΔyn)ν′)/c，dΔxm和dΔyn分別表示x軸方向和y軸方向陣元位置誤差，u′=cos(β+Δβ)sin(α+Δα)，ν′=sin(β+Δβ)，Δβ和Δα分別表示俯仰和方位目標(biāo)指向誤差。

將所有陣元發(fā)射信號(hào)求和，式(2)的矩陣形式可以寫為：

y′(t)=wHυgΔ(s+snoise)

(3)

式中：上標(biāo)H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；w表示幅相加權(quán)矩陣；υ表示互耦矩陣；gΔ表示通道幅相誤差矩陣；s表示陣元發(fā)射信號(hào)矩陣；snoise表示噪聲矩陣。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

當(dāng)發(fā)射信號(hào)s(t)為窄帶信號(hào)時(shí)，s(t-τ′mn)可近似表示為[11]：

(9)

式(3)可另寫為：

(10)

式中：dΔ表示陣元位置誤差矩陣；v表示陣列導(dǎo)向矩陣，具體表示為：

(11)

(12)

當(dāng)s(t)表示寬帶發(fā)射信號(hào)時(shí)，可采用文獻(xiàn)[9]中的方法推廣到時(shí)域?qū)拵Рㄊ纬芍?，由于篇幅所限，不再贅述?/p>

2 穩(wěn)健寬零點(diǎn)約束的發(fā)射波束形成方法

2.1 陣列誤差已知

本節(jié)首先給出陣列誤差已知的穩(wěn)健寬零點(diǎn)約束發(fā)射波束形成方法。不失一般性，假設(shè)目標(biāo)指向?yàn)?u0,v0)，則理想陣列條件下空間合成信號(hào)為：

(13)

為了使(u0,v0)方向陣列信號(hào)輸出最大，常規(guī)波束方向圖歸一化權(quán)值選為：

(14)

基于以上最優(yōu)權(quán)值，為了使波束在(ui,vi),i=1,2,…,r方向產(chǎn)生r個(gè)零點(diǎn)，采用最小二乘誤差逼近建立如下優(yōu)化模型[11]：

(15)

為求解式(15)的優(yōu)化問(wèn)題，利用拉格朗日乘子法得到最優(yōu)的權(quán)值矢量為：

(16)

工程實(shí)際中，由于安裝誤差等因素，存在方位和俯仰角估計(jì)誤差，目標(biāo)指向不能精確獲得。為了有效避免己方設(shè)備間的電磁干擾或防止被敵方截獲，在零點(diǎn)附近進(jìn)行展寬設(shè)計(jì)，建立如下的優(yōu)化模型：

(17)

相比于文獻(xiàn)[9]，上式減少了r-1個(gè)約束，從而增加了陣列自由度，能夠更好地抑制干擾。上述最優(yōu)權(quán)值可采用文獻(xiàn)[10]中的方法進(jìn)行求解。

當(dāng)存在陣列誤差時(shí)，式(17)的優(yōu)化模型可修正為：

(18)

式中：E=υgΔ表示誤差矩陣。

對(duì)比式(17)和式(18)可知，陣列誤差下穩(wěn)健寬零點(diǎn)約束的最優(yōu)權(quán)值矢量wopt滿足：

(19)

2.2 陣列誤差未知

由于陣元位置誤差矩陣dΔ的值隨指向變化，或者當(dāng)陣列誤差矩陣的精確值未知時(shí)，式(19)不再適用。利用收發(fā)天線的互易性求解接收狀態(tài)下的權(quán)值，建立如下優(yōu)化模型：

(20)

為求解式(20)陣列誤差下穩(wěn)健零點(diǎn)波束最優(yōu)權(quán)值矢量，定義ε=E-I，I表示MxMy×MxMy的單位矩陣，則：

(21)

式中：εmax表示‖εv(u0,v0)‖2的最大值。

從上式可以看出，要使wHEv(u0,v0)=1成立，式(21)需要滿足：

(22)

式中：κ1表示小的正數(shù)。

式(20)等價(jià)為：

(23)

式中：Rn=PHP，表示矩陣的cholesky分解。

更進(jìn)一步地，式(23)可以表示為二階錐規(guī)劃問(wèn)題，借助凸優(yōu)化工具箱SeDuMi[12]或者CVX[13]進(jìn)行求解，如下式所示：

(24)

通過(guò)求解式(24)可獲得陣列誤差下穩(wěn)健零點(diǎn)波束最優(yōu)權(quán)值矢量。考慮到實(shí)際中干擾源位置誤差、外界環(huán)境影響以及接收通道成本等因素，提出一種次優(yōu)的求解方法，如下所述。

建立如下優(yōu)化模型：

(25)

(26)

因?yàn)椋?/p>

wHC-ε′max‖w‖2≤wHEC≤wHC+ε′max‖w‖2

(27)

(28)

所以可建立如下的優(yōu)化模型：

(29)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置如下：均勻矩形陣列，陣元數(shù)10×10，陣元間距為最小波長(zhǎng)的一半，陣列波束指向?yàn)?0,0)，期望零點(diǎn)方向(0.5,0.5)，方位展寬0.2，通道幅度和相位均方根誤差分別假設(shè)為1 dB和10°，互耦矩陣元素假設(shè)為υmn,m′n′=0.4|m+n-m′-n′|，陣元位置誤差假設(shè)服從陣元間距5%的均勻分布?；谝陨戏抡鎱?shù)，為了驗(yàn)證本文方法的有效性，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 陣列誤差已知

圖2(a)給出了理想陣列條件下常規(guī)零點(diǎn)波束方向圖。從圖中可以看出,波束在(0,0)方向值最大，形成了主波束，在(0.5,0.5)方向值最小，形成了深零點(diǎn)。圖2(b)給出了陣列誤差條件下的零點(diǎn)展寬波束方向圖。從圖中可以看出，由于誤差的影響，陣列雖然在(0,0)方向形成了主波束，但在(0.5,0.5)方向波束失真嚴(yán)重，未能形成理想的寬零點(diǎn)。圖2(c)給出了誤差校正后的展寬零點(diǎn)波束方向圖。從圖中可以看出，通過(guò)對(duì)陣列誤差進(jìn)行補(bǔ)償，可在期望零點(diǎn)方向形成理想的展寬深零點(diǎn)波束。

為更直觀地展現(xiàn)所提方法的有效性，圖3給出了v=0.5時(shí)的剖面圖。從圖中可以看出，常規(guī)零點(diǎn)波束方向圖僅在方位為0.5時(shí)具有深零點(diǎn)，誤差校正后的展寬零點(diǎn)波束方向圖在u為0.4～0.6之間均具有深零點(diǎn)，而誤差校正前的展寬零點(diǎn)波束方向圖未能形成較深零點(diǎn)。

圖2 零點(diǎn)波束方向圖對(duì)比

圖3 v為0.5時(shí)零點(diǎn)波束方向圖剖面對(duì)比圖

3.2 陣列誤差未知

圖4給出了采用干擾源法形成的波束零點(diǎn)方向圖。從圖中可以看出，不同的干擾源數(shù)量對(duì)形成的寬零點(diǎn)波束有很大影響。1個(gè)干擾源可在1個(gè)方向形成深零點(diǎn)，2個(gè)干擾源可在2個(gè)方向形成深零點(diǎn)，3個(gè)干擾源可在一定的區(qū)間范圍形成零點(diǎn)，但零點(diǎn)深度受限。4個(gè)或4個(gè)以上干擾源才能在理想的方向形成展寬深零點(diǎn)波束。在實(shí)際應(yīng)用中該方法會(huì)受到測(cè)試條件、實(shí)施成本以及環(huán)境因素等影響，實(shí)用性有待商榷。

圖4 不同干擾源數(shù)的寬零點(diǎn)波束方向圖

作為一種次最優(yōu)方法，圖5給出了式(29)求解的權(quán)值形成的波束方向圖在v=0.5時(shí)的剖面圖。從圖中可以看出，由于受陣列誤差影響，在u為0.4～0.6之間形成了低于-35 dB的零點(diǎn)，能在一定程度上提高雷達(dá)的低截獲性能以及避免對(duì)其他設(shè)備電磁頻譜的干擾。

圖5 本文方法寬零點(diǎn)波束方向圖

4 結(jié)束語(yǔ)

陣列誤差下穩(wěn)健的寬零點(diǎn)發(fā)射波束能夠有效減小特定方向的發(fā)射能量，避免對(duì)己方設(shè)備的電磁頻譜干擾及被敵方接收機(jī)捕獲，一定程度上提高了雷達(dá)的低截獲性能。本文分析了陣列誤差已知和未知情況下的穩(wěn)健寬零點(diǎn)波束產(chǎn)生方法。當(dāng)陣列誤差已知時(shí)，通過(guò)對(duì)誤差的精確校正可以形成理想的展寬深零點(diǎn)波束。當(dāng)陣列誤差未知時(shí)通過(guò)遠(yuǎn)場(chǎng)干擾源法，利用收發(fā)天線的互易性可以得到接收寬零點(diǎn)波束權(quán)值，應(yīng)用于發(fā)射波束形成穩(wěn)健發(fā)射寬零點(diǎn)波束。針對(duì)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，本文也提出了一種次最優(yōu)的寬零點(diǎn)發(fā)射波束權(quán)值產(chǎn)生方法。仿真分析結(jié)果表明所提方法能在一定程度上形成展寬的零點(diǎn)波束，能夠改善多設(shè)備間的電磁頻譜干擾及低截獲性能，具有較好的工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。