王藝淇，辛世界，曲寶軍，魏家曉，曲浩

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是汽車底盤的重要組成部分，線控轉(zhuǎn)向(steer-by-wire，SBW)系統(tǒng)采用驅(qū)動(dòng)電機(jī)、控制器和多傳感器技術(shù)提供主動(dòng)轉(zhuǎn)向等功能并作為新一代轉(zhuǎn)向系統(tǒng)得到了國(guó)內(nèi)外專家的關(guān)注[1-2]。

SBW系統(tǒng)中存在許多不確定性因素的干擾，很難對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效控制，傳統(tǒng)的PID控制器難以協(xié)調(diào)不同工況下的需求[3-5]。汽車行駛中對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的跟蹤速度和跟蹤誤差要求相對(duì)較高[6-7]。為提高系統(tǒng)抗干擾性能和動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，本文設(shè)計(jì)了一種新型快速全局滑?？刂破?fast global sliding mode control,FGSMC)，并用仿真實(shí)驗(yàn)證明了該控制器的有效性和實(shí)用性。

1 線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

SBW系統(tǒng)轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)如圖1所示，采用電機(jī)代替?zhèn)鹘y(tǒng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的機(jī)械連接裝置，通過轉(zhuǎn)向電機(jī)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩使齒輪齒條轉(zhuǎn)向器產(chǎn)生齒條位移，最后通過轉(zhuǎn)向臂傳遞給前輪，保證前輪可以準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)轉(zhuǎn)角。

圖1 SBW系統(tǒng)轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)

本文采用永磁同步電機(jī)(PMSM)作為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī)，不考慮減速器和齒輪齒條的傳動(dòng)誤差，SBW系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(1)

式中：Je為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Be為轉(zhuǎn)向電機(jī)阻尼系數(shù)；fe為作用在轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)上的等效摩擦力矩；Te為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；Jfw為前輪繞主銷的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bfw為前輪主銷的阻尼系數(shù)；δf為前輪轉(zhuǎn)角；Tat為前輪轉(zhuǎn)向回正力矩；kr為轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比。

前輪轉(zhuǎn)向回正力矩Tat主要由主銷回正力矩和輪胎拖距回正力矩組成，在正常行駛條件下，假設(shè)輪胎拖距為常量，其計(jì)算公式為

(2)

式中：Q為車輪載荷；D為主銷內(nèi)移量；γ為主銷內(nèi)傾角；ξ1為氣胎拖距；ξ2為后傾拖距；m為汽車質(zhì)量；v為車速；l為軸距；lr為質(zhì)心到后軸距離；lf為質(zhì)心到前軸距離；Cr為后輪側(cè)偏剛度；Cf為前輪側(cè)偏剛度。

為方便研究，將方程(1)改寫為

(3)

由方程(3)可以得到SBW系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

(4)

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 趨近律設(shè)計(jì)

SBW系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)耦合、多變量的非線性系統(tǒng)，在設(shè)計(jì)控制器前，本文對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，引入冪次項(xiàng)和正切函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了更快的收斂速度和控制精度。

指數(shù)趨近律為

(5)

式中：k1、k2為常數(shù)。

式(5)中趨近律可以在初始狀態(tài)時(shí)快速逼近滑模面，但在逼近過程中速率會(huì)逐漸變慢，系統(tǒng)精度降低，造成系統(tǒng)抖振。因此本文對(duì)該指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，即

(6)

其中sat為切換函數(shù)，且

(7)

式中：0<α<1；sn=|s0|+σ，s0為初始狀態(tài)，σ為正數(shù)；ε為抖振指數(shù)，ε>0。

在式(6)中，引入的|s|s/(|s|+α)可以加速靠近原點(diǎn)時(shí)趨近律收斂速度，正切函數(shù)項(xiàng)在接近初始狀態(tài)時(shí)有更大的導(dǎo)數(shù)值，通過對(duì)σ參數(shù)的調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)更快速的收斂速度，通過以上組合可以實(shí)現(xiàn)全局更大限度的快速收斂。用改進(jìn)的切換函數(shù)sat代替原有的符號(hào)函數(shù)，通過對(duì)抖振指數(shù)ε的調(diào)節(jié)，在保證系統(tǒng)精度的情況下抑制了抖振的發(fā)生。

2.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

本文定義系統(tǒng)滑模面函數(shù)為

s=ce1+e2，

(8)

根據(jù)式(8)設(shè)計(jì)的滑模面和式(6)設(shè)計(jì)的指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)了FGSMC，即

(9)

式中Dc為待設(shè)計(jì)與干擾相關(guān)的參數(shù)。

根據(jù)式(5)—式(9)可以將方程(4)描述的SBW系統(tǒng)中的電機(jī)控制轉(zhuǎn)矩Te設(shè)計(jì)為

k2s+k3tan(s/sn)}。

(10)

由式(10)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，通過指數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)快速收斂，通過正切函數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)全局更大限度的快速收斂，在接近原點(diǎn)時(shí)變指數(shù)項(xiàng)提供收斂加速。該控制器有效地解決了收斂速度和抖振問題，并能保證整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)快速精準(zhǔn)地收斂到平衡狀態(tài)。

利用李雅普諾夫理論對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。選取

(11)

滑模面導(dǎo)數(shù)為

k1|s|s/(|s|+α)sat(s/ε)-

k2s-k3tan(s/sn)-Dc}。

(12)

因此當(dāng)s≠0，|s/ε|>1時(shí)，

k2s-k3tan(s/sn)-Dc)}=

{cse2-k1s|s|s/(|s|+α)sgns-

k2s2-k3stan(s/sn)-Dc)}≤

-k1(|s|s/(|s|+α)ssgns)≤0；

(13)

當(dāng)s/ε≤1時(shí)，則

k2s2-k3tan(s/sn)s-Dc}≤

-k1s(|s|s/(|s|+α)s/ε)≤0。

(14)

3 仿真與試驗(yàn)

3.1 模型參數(shù)選擇

在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建SBW系統(tǒng)仿真模型，模型參數(shù)見表1。

表1 模型參數(shù)

設(shè)定本文所提出快速全局滑?？刂破?FGSMC)參數(shù)為：c=5，k1=10，k2=10，k3=20，α=0.5，ε=0.05，σ=1，Dc=15，初始轉(zhuǎn)角δf=0 rad。

為驗(yàn)證FGSMC的有效性，將傳統(tǒng)滑?？刂破?SMC)作為對(duì)比控制器進(jìn)行仿真分析。

3.2 仿真結(jié)果與分析

3.2.1 角階躍信號(hào)輸入仿真

設(shè)車輛縱向速度vx=15 m/s，直線行駛1 s后設(shè)置前輪轉(zhuǎn)角的角階躍輸入為0.5 rad，取擾動(dòng)為0 rad，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 角階躍信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果

圖3 角階躍信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤誤差

由圖2可以看出，F(xiàn)GSMC和GSMC可以快速有效地跟蹤設(shè)定的轉(zhuǎn)角，但FGSMC速度更快，在1.2 s時(shí)就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。由圖3可以更加直觀地看出FGSMC和GSMC二者誤差都在可承受范圍內(nèi)，但在階躍輸入的瞬間FGSMC的誤差更小，有更強(qiáng)的魯棒性。

3.2.2 正弦參考信號(hào)輸入仿真

設(shè)置車輛縱向速度vx=15 m/s，前輪目標(biāo)轉(zhuǎn)角δfr=sintrad，設(shè)置系統(tǒng)干擾隨時(shí)間取以下不確定擾動(dòng)：D=0,t∈(0,15]；D=15sin(0.5t),t∈(15,30]；D=30sin(t),t∈(30,50]。圖4和圖5為SBW系統(tǒng)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果和跟蹤誤差。

圖4 正弦信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果

圖5 正弦信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤誤差

由圖4可以看出，本文提出的FGSMC可以快速準(zhǔn)確地跟蹤轉(zhuǎn)角設(shè)定值，而SMC跟蹤出現(xiàn)一定程度的滯后，跟蹤速度較慢。由圖5可以看出，在擾動(dòng)發(fā)生變化的15 s和30 s時(shí)，SMC的誤差出現(xiàn)明顯波動(dòng)，F(xiàn)GSMC的波動(dòng)很小，變化不明顯。這表明，本文設(shè)計(jì)的控制器穩(wěn)定性和跟蹤性能都優(yōu)于傳統(tǒng)的SMC，可以使汽車行駛更加穩(wěn)定，從而提高了安全性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮回正力矩和摩擦力矩等未知因素對(duì)SBW系統(tǒng)控制器的影響，對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種快速全局滑模控制器，建立了穩(wěn)定的數(shù)字仿真模型，并對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了仿真。該控制方案有效地緩解了不確定性因素對(duì)SBW系統(tǒng)控制的影響，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性，削弱了滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振現(xiàn)象。