潘光勇 (浙江省青田縣中學(xué) 323900)

在網(wǎng)絡(luò)信息發(fā)達(dá)的今天，各地的高考模擬試題如雨后春筍般冒出來，“好題”不斷，給一線的數(shù)學(xué)教師提供了很多可以拓展的知識素材，也為各種“秒殺技”提供了肥沃的土壤．利用某些特殊的二級結(jié)論(即一些拓展知識)可以在解題過程中實現(xiàn)“秒殺”，在追求“秒殺”的過程中教師總是主動(或被動地)進(jìn)行各種“秒殺”知識的拓展．這些拓展知識除了讓學(xué)生聽得“云里霧里”、似懂非懂外，也極大地影響著教師對知識拓展方向和拓展深度的判斷，嚴(yán)重影響高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量．同時也增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，學(xué)生總覺得有學(xué)不完的數(shù)學(xué)知識；打擊了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，對學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的落實以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)產(chǎn)生不可估量的負(fù)面影響，實在是得不償失．對于一線高三數(shù)學(xué)教師來說，對某些重要的學(xué)科主干知識進(jìn)行拓展延伸是一件正常的事，但在復(fù)習(xí)教學(xué)時要拓展什么內(nèi)容、拓展到什么程度、按什么邏輯順序進(jìn)行拓展，這些問題卻讓很多教師糾結(jié)、迷茫，很多教師只是“隨卷而動”“隨題拓展”，盲目跟風(fēng)．

本文以2020年11月浙江省衢州、麗水、湖州三地市教學(xué)質(zhì)量檢測試卷第21題解析幾何題為例，從案例展現(xiàn)、拓展有理，真題研磨、拓展有向，反思教學(xué)、拓展有法三個方面出發(fā)，談?wù)勅绾卧诟呷龜?shù)學(xué)教學(xué)時進(jìn)行知識的有效拓展．

1 案例展現(xiàn)，拓展有理

(1)當(dāng)點G在橢圓T上時，求GF的值；

(2)如圖1，過點G的直線l1與橢圓T交于P,Q兩點，與拋物線M交于A,B兩點，且G是線段PQ的中點，過點F的直線l2交拋物線M于C,D兩點．若AC∥BD，求l2的斜率k的取值范圍．

圖1

1.1 數(shù)據(jù)查因，精準(zhǔn)診斷

筆者對學(xué)生答題情況和后臺數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生只能完成第(1)小題的解答，對第(2)小題無從下手或者解題思維混亂，平均得分為5.86分，解析幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)欠缺明顯．通過對學(xué)生答卷重新進(jìn)行面批以及對答題數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，學(xué)生的錯誤原因初步診斷如下．

診斷1 圖形復(fù)雜直線多，起步艱難缺方法．學(xué)生畏難情緒嚴(yán)重，靜不下心來分析試題中各幾何元素間的關(guān)系．

診斷2 在已知中點的情況下，不會求弦l1的斜率，說明學(xué)生對重要知識的掌握不嫻熟，數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待提高．

診斷3 對試題中的直線與橢圓、直線與拋物線的關(guān)系不清晰，沒能從直線AC與直線BD平行這一條件找到解題的化簡目標(biāo)．

從整個改卷情況看，多數(shù)學(xué)生對解析幾何涉及的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的掌握還不到位，沒有明確的解題目標(biāo)，缺少積極的思維心態(tài)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

1.2 理清關(guān)系，破解難點

本例中涉及的圖形有橢圓、雙曲線、過點G的直線、過點F的直線．點G是橢圓弦PQ的中點，由點差法可以求出弦PQ所在直線l1的斜率，故可以求出l1的方程．由AC∥BD知，兩直線的斜率相等，必然涉及到A,B,C,D四個點的坐標(biāo)，必須要讓直線l1,l2分別與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找出坐標(biāo)間的關(guān)系，從而實現(xiàn)順利求解．

1.3 再現(xiàn)基礎(chǔ)，順勢拓展

1.4 靈活應(yīng)用，簡化運(yùn)算

從本例的解析可以看出，對橢圓的中點弦問題進(jìn)行知識拓展顯得非常必要．抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用已掌握的拓展知識，簡化直線l1方程的求解，對本題的順利求解起到非常重要的作用．

2 真題研磨，拓展有向

“磨刀不誤砍柴功”，在高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中明確復(fù)習(xí)方向，才能讓知識拓展“有的放矢”．然而，高中數(shù)學(xué)知識點中可以拓展的知識點多，僅圓錐曲線中可以拓展的“二級結(jié)論”就多達(dá)上百條，如此多的“二級結(jié)論”全部拓展一遍，不僅耗時耗力，學(xué)生也掌握不了．對于如何把握知識拓展內(nèi)容和拓展方向，教師可以從以下幾個方面進(jìn)行操作．

2.1 重做真題，拓展有向

比如，引例中出現(xiàn)的拓展知識點：橢圓中的“垂徑定理”，在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，有沒有必要對此進(jìn)行拓展、拓展到什么程度，這樣的拓展能否有助于學(xué)生解決相關(guān)試題？我們可以通過研磨歷年的浙江高考數(shù)學(xué)真題，從中尋找答案．

圖2

圖3

從近五年浙江高考卷的解析幾何題中我們可以發(fā)現(xiàn)，橢圓中的“垂徑定理”這一拓展知識的運(yùn)用還是比較常見的．對于涉及橢圓中點弦的相關(guān)問題，學(xué)生容易運(yùn)用這一結(jié)論簡化運(yùn)算、理清解題思路，尋找試題的解決方向和目標(biāo)，避免繁雜的運(yùn)算．像這種在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的知識，我們進(jìn)行重點知識拓展是非常必要的，而且是必須的．這種知識拓展不僅不會增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，還能優(yōu)化運(yùn)算，何樂而不為？

2.2 寬度拓展，發(fā)展素養(yǎng)

橢圓中具有這樣精美的結(jié)論，那么雙曲線、拋物線中否也具有相似的結(jié)論呢？

這樣拓展操作，我們可以輕松實現(xiàn)從知識“點”到知識“面”的拓展，圍繞著“中點弦問題”這個知識“點”作縱深的挖掘，起到鞏固和發(fā)展的作用．這樣的拓展既讓學(xué)生有興趣又有挑戰(zhàn)性，更方便架構(gòu)知識的網(wǎng)絡(luò)．因此，教師要根據(jù)高考考試要求，善于對知識點進(jìn)行適度拓展，引導(dǎo)學(xué)生深入思考．

3 反思教學(xué)，拓展有法

“數(shù)學(xué)教學(xué)要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度分析問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題．”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要善于適度拓展，豐富、創(chuàng)新教學(xué)方式，讓學(xué)生真正掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

3.1 “鏈”式追問，“單點”拓展

在精選試題、立足基礎(chǔ)、優(yōu)化運(yùn)算、找準(zhǔn)拓展知識點后，教師通過對問題的引申、層層遞進(jìn)，對問題涉及的知識點進(jìn)行分析討論，引向深入，重點突出，自然拓展．可以通過“問題鏈”的形式，精心設(shè)計“問題鏈”，從易到難，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生從知識拓展的深度出發(fā)，不斷深化對拓展知識點的認(rèn)知．這樣的設(shè)計有力地牽引著學(xué)生正確迅速地掌握新知、理清知識脈絡(luò)．可以緊扣教學(xué)重點，輕松地化解了學(xué)生理解中的難點，不僅關(guān)注了學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，也關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)以及意志品質(zhì)的磨練，還能實現(xiàn)“做一題、會一類”的教學(xué)目標(biāo)，擺脫題海，提升效率；同時提升學(xué)生的思維深刻性、靈活性、廣闊性．

3.2 找準(zhǔn)“標(biāo)靶”，“串聯(lián)”拓展

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，知識的邏輯體系決定了知識間的聯(lián)系，這種內(nèi)在聯(lián)系為學(xué)生掌握新知架起了橋梁，實現(xiàn)各知識點間的“串聯(lián)”拓展．為了提高各知識間的有效“串聯(lián)”，我們可以在問題猜想處進(jìn)行知識點的“串聯(lián)”拓展，主動拓展探究空間，引導(dǎo)學(xué)生主動探索，使學(xué)生真正成為探索創(chuàng)造者．認(rèn)知心理學(xué)指出：人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是平衡的，一旦出現(xiàn)不平衡就會自然產(chǎn)生一種趨力去力求改變這種狀態(tài)，重新恢復(fù)認(rèn)知系統(tǒng)的內(nèi)在平衡，即恢復(fù)其內(nèi)在的一致性．因此我們還可以在主要知識概念的矛盾處進(jìn)行“串聯(lián)”拓展，拓展學(xué)生的積極思維空間．此外，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有通過自身的操作活動和主動參與去做才能產(chǎn)生效果．所以我們還可以在教學(xué)關(guān)鍵處進(jìn)行“串聯(lián)”拓展，讓學(xué)生去主動學(xué)習(xí)，自主建構(gòu)概念．總之，對學(xué)科知識進(jìn)行拓展的方法是多樣的、靈活的，教學(xué)時應(yīng)抓住教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)課堂教學(xué)的需要，在知識拓展的寬度、深度方面靈活設(shè)計各類問題，營造一種探究式的數(shù)學(xué)場景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動探索，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)．

知識的拓展沒有固定的方法與模式，教師作為教學(xué)的直接推進(jìn)者和課堂決策的制定者，應(yīng)在研究高考試題的基礎(chǔ)上，明確主干知識的拓展方向.在知識拓展的方法上，可以根據(jù)課堂的預(yù)設(shè)與生成，通過各種檢測數(shù)據(jù)的積累和綜合分析，科學(xué)準(zhǔn)確地診斷學(xué)生知識掌握的優(yōu)劣，精準(zhǔn)剖析問題錯因，靈活地在核心知識概念的形成、限用范圍、深度提升等方面進(jìn)行拓展，精心設(shè)計各種“問題鏈”，鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，破解教學(xué)難點，以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．