米 顯,庫(kù)祥臣,馬東陽,楊星濤,趙歡樂

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003)

0 引 言

由于機(jī)器人具有高效、可靠、精度高等特點(diǎn),目前已在裝配、碼垛、焊接、噴涂等各種各樣的領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[1]。

當(dāng)機(jī)器人處于某些特殊位姿時(shí),如在某一個(gè)或多個(gè)方向同時(shí)失去運(yùn)動(dòng)能力的位姿,則稱為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異。這種奇異使機(jī)器人不能達(dá)到預(yù)期的工作空間,限制了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)范圍[2]。因此,對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異性研究是有必要的。

機(jī)器人的機(jī)構(gòu)奇異性分析主要有以下幾種:

(1)線幾何理論[3]。即從幾何學(xué)角度看各關(guān)節(jié)軸線是否線性相關(guān);(2)螺旋理論[4]。從靜力學(xué)角度看是否存在一個(gè)或多個(gè)力螺旋對(duì)末端執(zhí)行器產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)影響;(3)代數(shù)理論[5]。從代數(shù)學(xué)角度看關(guān)節(jié)速度到末端執(zhí)行器速度的傳遞矩陣是否滿秩。

在以上3類方法中,相比較而言,基于代數(shù)理論的方法可以盡可能多地求解出奇異位形。

徐可欣等人[6]針對(duì)自主研制機(jī)器人奇異位姿問題,通過求解雅可比矩陣得到了奇異因子,以此判斷機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程是否接近奇異點(diǎn)。CUI Hong-xin等人[7]將6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)(6 revolute joints,6R)機(jī)械臂分離為前臂和手腕,分別計(jì)算了其相應(yīng)奇異因子,并對(duì)機(jī)器人的奇異性進(jìn)行了分析。袁媛[8]采用末端點(diǎn)位姿誤差的敏感方向構(gòu)建了雅可比矩陣,對(duì)機(jī)械臂工作空間內(nèi)的奇異形位進(jìn)行了研究。

但以上研究人員未對(duì)得到的奇異構(gòu)型的正確性進(jìn)行進(jìn)一步論證。

基于微分變換法,張付祥等人[9]求解了雅可比矩陣,對(duì)UR5機(jī)器人的奇異性進(jìn)行了分析。費(fèi)雄等人[10]基于矢量積法求解了雅可比矩陣,對(duì)6軸旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的奇異性進(jìn)行了分析,但對(duì)雅可比矩陣的求解過程過于繁瑣。李憲華等人[11]基于機(jī)器人的連桿速度求解了雅可比矩陣,對(duì)模塊化機(jī)械臂奇異位型進(jìn)行了分析,但未對(duì)機(jī)器人奇異位型的幾何性質(zhì)做進(jìn)一步的討論。

基于以上分析,筆者針對(duì)6R關(guān)節(jié)式機(jī)器人奇異構(gòu)型的問題,為簡(jiǎn)化雅可比矩陣進(jìn)行求解,采用連桿速度遞推法求解雅可比矩陣,得到機(jī)器人所有奇異構(gòu)型;然后對(duì)得到的奇異構(gòu)型幾何性質(zhì)進(jìn)行討論分析;最后運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)提出的機(jī)器人靈活度指標(biāo)進(jìn)行仿真,比較仿真結(jié)果與分析結(jié)果。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)器人模型

筆者以6R關(guān)節(jié)式工業(yè)機(jī)器人IRB 4600-40/2.55為研究對(duì)象,首先建立機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。

針對(duì)上述機(jī)器人,筆者采用DH建模方法，建立其連桿坐標(biāo)系,如圖1所示。

圖1 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

根據(jù)圖1得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)的DH參數(shù)[12，13],如表1所示。

表1 機(jī)器人的DH參數(shù)表

1.2 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

從坐標(biāo)系{Oi-1}到坐標(biāo)系{Oi}之間的坐標(biāo)變換,可以看作是坐標(biāo)系{Oi-1}通過繞xi-1軸轉(zhuǎn)動(dòng)αi-1角、繞xi-1軸移動(dòng)ai-1、繞zi轉(zhuǎn)動(dòng)θi角、沿zi移動(dòng)di。

(1)

其中:cθi=cos(θi);sθi=sin(θi)。

根據(jù)表1中DH參數(shù)及機(jī)器人相鄰兩連桿變換式(1),可得到機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

(2)

2 機(jī)器人奇異構(gòu)型分析

雅可比矩陣指關(guān)節(jié)速度到末端執(zhí)行器速度的傳動(dòng)比。當(dāng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生奇異時(shí),即在一個(gè)或多個(gè)方向同時(shí)失去運(yùn)動(dòng)能力的位姿,會(huì)導(dǎo)致雅可比矩陣不滿秩,即:

(3)

2.1 雅可比矩陣

機(jī)器人機(jī)構(gòu)奇異是自身固有的機(jī)械特性,與機(jī)器人位置及建立雅可比參考點(diǎn)無關(guān)。該處機(jī)器人末端參考點(diǎn)相對(duì)于腕部固定。因此,筆者以腕部為參考點(diǎn),采用機(jī)器人連桿速度遞推法構(gòu)造物體雅可比矩陣,根據(jù)定義建立下式:

(4)

機(jī)器人關(guān)節(jié)4、5、6軸線相交于一點(diǎn),方便對(duì)雅可比矩陣進(jìn)行求解。

對(duì)矩陣分塊計(jì)算,求得雅可比矩陣如下:

(5)

2.2 奇異構(gòu)型分析

雅可比矩陣不滿秩,即det(J(q))=0時(shí)機(jī)器人產(chǎn)生奇異構(gòu)型。雅可比矩陣與子矩陣存在關(guān)系為:

det(J(q))=det(J11)det(J22)

(6)

當(dāng)det(J22)=0時(shí)存在:

-s5=0

(7)

當(dāng)det(J11)=0時(shí)存在:

a2(a1+a3c23-d4s23+a2c2)(d4c3+a3s3)=0

(8)

其中:s23=sin(θ2+θ3);c23=cos(θ2+θ3)。

機(jī)器人的3種奇異構(gòu)型:

(1)腕部。滿足式(7)時(shí)存在θ5=0,此時(shí)機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線4、6重合,機(jī)器人腕部出現(xiàn)奇異構(gòu)型。

具體奇異位姿如圖2所示。

圖2 θ5=0時(shí)機(jī)器人奇異構(gòu)型

(2)肘部。滿足式(8)時(shí)存在d4c3+a3s3=0,即:

(9)

由式(9)可解得θ3=arctan(-d4/a3)。

當(dāng)θ3=arctan(-d4/a3)時(shí),機(jī)器人奇異構(gòu)型及位姿如圖3所示。

圖3 θ3=arctan(-d4/a3)時(shí)機(jī)器人奇異構(gòu)型

從圖3的幾何角度分析可知:(p5-p3)相對(duì)于(p3-p2)的角度偏移為arctan(d4/a3)和π+arctan(d4/a3),因此,當(dāng)θ3=arctan(-d4/a3)時(shí),機(jī)器人肘部出現(xiàn)奇異構(gòu)型,θ4=0時(shí)，關(guān)節(jié)軸線2、3、5在一個(gè)平面內(nèi)且平行;

(3)肩部。滿足式(8)時(shí)存在:

a1+a3c23-d4s23+a2c2=0

(10)

機(jī)器人關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3存在一定關(guān)系,這使得雅可比矩陣存在不滿秩,導(dǎo)致機(jī)器人產(chǎn)生奇異。

θ2與θ3關(guān)系如圖4所示。

圖4 θ2與θ3關(guān)系圖

為分析機(jī)器人具體奇異構(gòu)型,筆者取滿足式(10)的一組θ2、θ3值,當(dāng)θ3=0時(shí)存在:

a1+c2(a2+a3)-d4s3=0

(11)

θ3=0且與θ2滿足奇異關(guān)系時(shí),機(jī)器人奇異構(gòu)型及位姿如圖5所示。

圖5 θ3=0且與θ2滿足奇異關(guān)系時(shí)機(jī)器人奇異構(gòu)型

從圖5中的幾何角度分析,可知關(guān)節(jié)4的位置矢量為:

p4=[a1+c2(a2+a3)-d4s3,0,pz]T

(12)

因此,當(dāng)px=0時(shí),機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線1、4、5、6相交于一點(diǎn),這時(shí)機(jī)器人肩部出現(xiàn)奇異構(gòu)型。

2.3 奇異構(gòu)型幾何性質(zhì)分析

筆者進(jìn)一步對(duì)奇異構(gòu)型做幾何性質(zhì)分析。

在含轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的6自由度(6 degree of freedom, 6-DOF)開鏈機(jī)器人中:

(1)若存在2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(i,j)共軸,機(jī)器人產(chǎn)生奇異構(gòu)型。通過式(4)可得關(guān)節(jié)i和j單位關(guān)節(jié)的雅可比矩陣列向量如下:

(13)

單位關(guān)節(jié)i的線速度傳遞部分變換如下:

zi×(pw-pi)=zi×[(pw-pj)+(pj-pi)]

(14)

其中:當(dāng)zi=zj時(shí),(pj-pi)與zi同向,即Ji(q)與Jj(q)線性相關(guān),det(J(q))=0;

(2)若存在3個(gè)平面轉(zhuǎn)動(dòng)副(i,j,k)軸線平行,機(jī)器人產(chǎn)生奇異構(gòu)型。選擇關(guān)節(jié)i坐標(biāo)為基坐標(biāo),三關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立在同一直線上,取zi=zj=zk,通過式(4)可得雅可比矩陣:

(15)

其中:位置矢量pj與pk共線且同向,三列單關(guān)節(jié)雅可比矩陣顯然線性相關(guān),即det(J(q))=0;

(3)若存在4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(i,j,k,m)相交于一點(diǎn)時(shí),機(jī)器人產(chǎn)生奇異構(gòu)型。選擇相交點(diǎn)為基坐標(biāo)原點(diǎn)以及4個(gè)單關(guān)節(jié)的坐標(biāo)原點(diǎn),此時(shí)存在:pi=pj=pk=pm=0,通過式(4)得到雅可比矩陣如下:

(16)

其中:zi、zj、zk、zm相交于一點(diǎn),顯然其中一列可以寫成其他3列的線性組合,即det(J(q))=0。

3 機(jī)器人奇異性仿真分析

3.1 可操作度橢球

圖在空間內(nèi)的橢球可視化

橢球的體積與主軸半徑長(zhǎng)的乘積成正比,即:

(17)

由于線速度與角速度的量綱不同,可將雅可比矩陣寫為:

(18)

筆者由此得到2個(gè)三維可操作度橢球,分別表示線速度和角速度。

線速度可操作橢球空間為:

(19)

角速度可操作橢球空間為:

(20)

筆者利用可操作度橢球,可以量化給定姿態(tài)與奇異構(gòu)型的接近程度。

3.2 靈巧度指標(biāo)

YOSHIKAWA T[15]將“可操作度橢球”的體積作為衡量機(jī)器人整體靈活性的指標(biāo),即定義可操作度ω表達(dá)式為:

(21)

其中:ω=0時(shí),機(jī)器人處于奇異構(gòu)型;ω>0時(shí),處于非奇異構(gòu)型。

KLEIN C A等人[16]將雅可比矩陣的最小奇異值作為機(jī)器人靈巧度的性能指標(biāo)。該研究定義矩陣A的最小奇異值以衡量機(jī)器人的靈巧度,即為可操作度橢球的最短軸半徑平方(λmin)。當(dāng)λmin→0時(shí),機(jī)器人靈巧度變差,機(jī)器人處于奇異構(gòu)型。

SALISBURY J K等人[17]將雅可比矩陣最大奇異值和最小奇異值的比值稱為條件數(shù),以此作為評(píng)定機(jī)器人尺度的最優(yōu)化準(zhǔn)則。筆者在可操作橢球基礎(chǔ)上,定義最長(zhǎng)軸半徑與最短軸半徑的比值的平方作為矩陣A的條件數(shù)(k),即:

k=λmax(J(q)JT(q))/λmin(J(q)JT(q))

(22)

其中:1≤k≤∞,當(dāng)k=1時(shí)，機(jī)器人具有最佳傳遞性能;k→∞時(shí),機(jī)器人趨于奇異構(gòu)型。

3.3 奇異構(gòu)型仿真分析

筆者運(yùn)用MATLAB中的Robotic工具箱對(duì)衡量機(jī)器人是否產(chǎn)生奇異的靈巧性指標(biāo),進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

(1)θ5=0時(shí),在確定其余關(guān)節(jié)不使機(jī)器人產(chǎn)生奇異的條件下,讓?duì)?在關(guān)節(jié)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng),即各關(guān)節(jié)取值為:q=(0,0,0,0,25π/36～2π/3,0),分析θ5=0時(shí),可操作度橢球狀態(tài)。

具體仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 θ5與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數(shù)的關(guān)系

由圖7(a～e)依次可知:機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中,θ5=0時(shí)，存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機(jī)器人角速度橢球退化為一個(gè)平面、最小奇異值為0、條件數(shù)無窮大;

(2)當(dāng)d4c3+a3s3=0時(shí),在確定其余關(guān)節(jié)不使機(jī)器人產(chǎn)生奇異的條件下,讓?duì)?在關(guān)節(jié)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng),即各關(guān)節(jié)取值為:q=(0,0,-π～5π/12,0,π/2,0),分析θ3=arctan(-d4/a3)≈-1.43狀態(tài)下的橢球狀態(tài)。

具體仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 θ3與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數(shù)的關(guān)系

由圖8(a～e)依次可知:機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中,θ3=arctan(-d4/a3)時(shí),存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機(jī)器人線速度橢球退化為一個(gè)平面、最小奇異值為0、條件數(shù)無窮大;

(3)取一組滿足式(10)的θ2、θ3值。θ3=0時(shí),θ2≈-2.45或θ2≈0.88滿足等式關(guān)系。在確定其余關(guān)節(jié)不使機(jī)器人產(chǎn)生奇異的條件下,取θ3=0,讓?duì)?在關(guān)節(jié)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng),即q=(0,-π～π/3,0,0,π/2,0)。對(duì)于可操作度橢球,則分析當(dāng)θ3=0時(shí),θ2=-2.45和θ2=0.88的橢球形狀,即q=[0,-2.45(0.88),0,0,π/2,0]。

具體仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 θ3=0時(shí)θ2與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數(shù)的關(guān)系

當(dāng)關(guān)節(jié)2、3的關(guān)系滿足式(10)時(shí),由圖9(a～e)依次可知:機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機(jī)器線速度橢球退化為一個(gè)平面、最小奇異值為0、條件數(shù)無窮大。

機(jī)器人在可行關(guān)節(jié)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生奇異時(shí),存在一個(gè)或多個(gè)關(guān)節(jié)速度無法傳遞至末端執(zhí)行器速度:

通過式(3)可知:機(jī)器人雅可比矩陣不滿秩,存在矩陣A∈Rm×m的特征值為0,即矩陣A的最小奇異值為0;

通過式(19,20)可知:機(jī)器人可操作度橢球退化為一個(gè)平面或直線;

通過式(21)可知:可操作度為零;

通過式(22)可知:矩陣A的條件數(shù)趨于無窮大。

4 結(jié)束語

筆者對(duì)6R關(guān)節(jié)式機(jī)器人進(jìn)行了DH建模,并得到了其正運(yùn)動(dòng)學(xué),使用機(jī)器人連桿速度遞推法,構(gòu)建了以腕部為參考點(diǎn)的機(jī)器人物體雅可比矩陣,求解得到了機(jī)器人的奇異構(gòu)型,對(duì)奇異構(gòu)型的幾何性質(zhì)做了進(jìn)一步分析,最后通過MATLAB,對(duì)提出的機(jī)器人靈活度指標(biāo)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明:

(1)得到了該關(guān)節(jié)機(jī)器人的所有奇異構(gòu)型,即6R關(guān)節(jié)機(jī)器人存在3種奇異構(gòu)型,以及3種奇異情況之間的組合奇異構(gòu)型;

(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的6-DOF開鏈機(jī)器人中,若存在2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副共軸、3個(gè)平面轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行、4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線共點(diǎn),則該機(jī)器人存在奇異構(gòu)型;

(3)仿真結(jié)果與理論結(jié)果一致,表明基于機(jī)器人可操作度橢球提出的靈活度指標(biāo)具有可行性,驗(yàn)證了機(jī)器人前期奇異構(gòu)型求解的正確性。

筆者已經(jīng)得到了關(guān)節(jié)機(jī)器人的全部奇異構(gòu)型情況,因此,在下一階段,筆者可將其作為理論依據(jù),進(jìn)一步對(duì)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中如何規(guī)避這些奇異構(gòu)型進(jìn)行研究。