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        兩道“新距離”問題引發(fā)的思考*

        2022-11-24 17:35:06陳元中安徽省合肥市第一中學(xué)高三35班230601
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
        關(guān)鍵詞:定義

        陳元中 (安徽省合肥市第一中學(xué)高三35班 230601)

        指導(dǎo)教師 洪雨沛 (安徽省合肥市第一中學(xué) 230601)

        1 對兩道新定義類題目的思考

        在高中數(shù)學(xué)中,新定義類題目因設(shè)問情境新穎,能夠凸顯學(xué)生的能力與素養(yǎng),經(jīng)常受到出題人的青睞.除了我們最熟悉的歐氏距離外,其他“新”的距離常被設(shè)置成具體情境考查學(xué)生.下面兩道題目分別定義了兩種全新的距離.

        3 解題反思

        4 解法溯源

        4.1 等差模型

        4.2 等比模型

        問題2在平面直角坐標(biāo)系中,定義d(A,B)=max{|x1-x2|,|y1-y2|}為兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的“切比雪夫距離”.又設(shè)點(diǎn)P及l(fā)上任意一點(diǎn)Q,稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P到直線l的“切比雪夫距離”,記作d(P,l).

        思路 其中①③的討論見后文.

        綜上,①②③正確.

        2 兩種“新距離”

        上述兩個(gè)題目定義了兩種不同的距離.經(jīng)過查閱資料得知,我們最常使用的距離稱為歐幾里得距離,而問題1、問題2定義的這兩種距離分別被稱為曼哈頓距離和切比雪夫距離.距離究竟是怎樣的數(shù)學(xué)概念,這三種距離有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別,筆者在R2空間中對三種距離進(jìn)行了深入的探討.

        2.1 距離的定義

        我們所熟知的距離本質(zhì)上是泛函分析中的一個(gè)基本概念.通過查詢相關(guān)材料,我們能夠得到距離的一般定義:

        設(shè)X是任一非空集,對X中任意兩點(diǎn)x,y,有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對應(yīng)且滿足: ①非負(fù)性d(x,y)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)d(x,y)=0;②對稱性d(x,y)=d(y,x);③三角不等式d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).稱d(x,y)為x,y之間的距離,(X,d)為度量空間.

        我們不難發(fā)現(xiàn)歐氏距離顯然滿足上述定義.那么曼哈頓距離和切比雪夫距離是否滿足距離的定義呢?

        2.2 曼哈頓距離

        在R2空間中,A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的曼哈頓距離可表示為d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.

        由曼哈頓距離的定義易證非負(fù)性與對稱性,下面證明在曼哈頓距離下三角不等式是成立的:

        設(shè)M(x3,y3),則d(A,B)=|x1-x2|+ |y1-y2|,d(A,M)=|x1-x3|+|y1-y3|,d(M,B)=|x3-x2|+|y3-y2|,則d(A,M)+d(M,B)=|x1-x3|+|y1-y3|+|x3-x2|+

        |y3-y2|≥|x1-x3+x3-x2|+|y1-y3+y3-y2|=|x1-x2|+|y1-y2|=d(A,B).由此可知曼哈頓距離滿足距離的定義.

        曼哈頓距離在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.一個(gè)具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道,從一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)的距離可以用南北方向與東西方向的距離之和表示,而這種形式的距離也就是曼哈頓距離,因此曼哈頓距離又稱為“出租車距離”(圖1).

        圖1 曼哈頓距離在城市 中的應(yīng)用

        在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,屏幕由像素構(gòu)成,顯示的每一個(gè)點(diǎn)都在像素上,用坐標(biāo)的形式描述屏幕上的點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)也一般是整數(shù).如果直接使用歐氏距離,則必須要進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算,而浮點(diǎn)運(yùn)算很慢而且有誤差.如果使用曼哈頓距離,則只要進(jìn)行加減法計(jì)算即可,這就大大提高了運(yùn)算速度和運(yùn)算精度.

        但曼哈頓距離采用了將兩點(diǎn)之間的橫縱坐標(biāo)絕對值的差之和作為刻畫距離的標(biāo)準(zhǔn),多個(gè)距離間不方便運(yùn)算,在這一方面,歐氏距離更占優(yōu)勢.

        讓我們再一次回看問題1,不難發(fā)現(xiàn)問題1所提出的距離就是曼哈頓距離,但是它刻畫的是點(diǎn)到直線的曼哈頓距離.

        類比歐幾里得距離,猜測可以將點(diǎn)到直線上點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值稱為點(diǎn)到直線的曼哈頓距離.

        為了便于計(jì)算點(diǎn)到直線的曼哈頓距離,我們可以分兩種情況進(jìn)行討論:(1)對于與x軸夾角小于45°的直線,曼哈頓距離即為過點(diǎn)的豎直直線與原直線相交形成的線段的長度;(2)對于與x軸夾角大于45°的直線,曼哈頓距離即為過點(diǎn)的水平直線與原直線相交形成的線段長度.下面對情況(2)作簡要證明.

        如圖2,已知平面上有點(diǎn)A與直線l,AB平行于x軸,AB與l的夾角α>45°.M為l上除B外任一點(diǎn),求證:d(A,M)>d(A,B).

        圖2

        證明d(A,M)=AH+HM,d(A,B)=AB=AH+HB.因?yàn)棣?45°,所以HM>HB,所以d(A,M)>d(A,B).

        2.3 切比雪夫距離

        在R2空間中,A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的切比雪夫距離可表示為d(A,B)=max{|x1-x2|,|y1-y2|}.由切比雪夫距離的定義易證非負(fù)性與對稱性,下面證明在切比雪夫距離下三角不等式是成立的.

        設(shè)M(x3,y3),則d(A,B)=max{|x1-x2|,

        |y1-y2|},d(A,M)=max{|x1-x3|,|y1-y3|},d(M,B)=max{|x3-x2|,|y3-y2|},則d(A,M)+d(M,B)≥max{|x1-x3|+ |x3-x2|,|y1-y3|+|y3-y2|}≥max{|x1-x2|,|y1-y2|}=d(A,B).當(dāng)且僅當(dāng)A,B,M共線且M在線段AB上時(shí)等號成立.

        由上可知,切比雪夫距離滿足距離的定義.

        對于問題2中的③,本文給出分類討論的方法.對一般的點(diǎn)到直線的切比雪夫距離進(jìn)行研究,過程較繁瑣,有興趣的讀者可以參閱文[1].

        3 對三種距離的綜合理解

        3.1 不同距離下的曲線形態(tài)

        平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).接下來我們通過考慮方程d(O,A)=1所表示的曲線,來研究三種距離的聯(lián)系與區(qū)別.

        圖3 不同距離下的曲線形態(tài)

        3.2 平面直角坐標(biāo)系中切比雪夫距離與曼哈頓距離的轉(zhuǎn)化

        同為正方形,曼哈頓距離與切比雪夫距離之間是否存在一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系呢?

        圖4 曼哈頓距離與 切比雪夫距離的變換

        既然這三個(gè)距離之間有許多的性質(zhì)極其相似,那么是否存在一個(gè)通式可以把三種距離統(tǒng)一起來呢?

        3.3 閔可夫斯基距離

        觀察這個(gè)式子,我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)p=1時(shí)得到曼哈頓距離;當(dāng)p=2時(shí)得到歐幾里得距離;當(dāng)p→+∞時(shí)得到切比雪夫距離.以下對p→+∞時(shí)得到切比雪夫距離進(jìn)行說明.

        我們生活中隨處可見的距離,追根溯源,竟是十分高深的數(shù)學(xué)原理!上文所討論的三種距離竟然可以被統(tǒng)一為一個(gè)式子.這反映了在眾多繁雜的數(shù)學(xué)概念背后,其實(shí)隱藏著的都是相同的本質(zhì),就像一棵大樹,在外有眾多伸向四面八方的枝椏,但最終聯(lián)系它們的都是同一棵主干,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中萬變不離其宗的大道至簡之美.

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